Уравнение в частных производных

[АленаВ]

А ,да,не увидела без $t$ слагаемого...Тогда уж завтра допишу!

P.Sewert,спасибо что хватает терпения объяснять всё это....в отличии от некоторых...

[zoo]

АленаВ писал(а):

А ,да,не увидела без $t$ слагаемого...Тогда уж завтра допишу!

P.Sewert,спасибо что хватает терпения объяснять всё это....в отличии от некоторых...

Ну уж не сердитесь так. Просто я был "пленительно груб"(с) а ewert "томительно нежен"(с).

[АленаВ]

Да,а вот у меня вопрос:можно ли было

$$T_n(t)$$

искать из уравнения

$$T'+9\lambda T=0$$

,которое вывели еще перед решением задачи Штурма-Лиувилля?А уж потом этот какой то коэффицинт

$$C_n$$

искать подставлением ряда в уравнение?

[ewert]

Считайте, что нельзя. (Т.е. гарантировать, что никак извернуться нельзя, не могу, но в любом случае это явное извращение.)

[АленаВ]

ewert писал(а):

Мне тоже, но тут уж ничего не поделаешь -- примерно так оно и выйдет (в деталях арифметику не проверял, но похоже).

Можно резко сократить запись, если представить ДУ в виде

$$T_n'=\lambda_nT_n+(4t-t^3)$$

(недостающий множитель при $(4t-t^3)$ надо потом добавить к найденному частному решению).

Ну хорошо. Допустим, так оно и есть. Теперь можете возвращаться к Вашему вопросу о начальных условиях. Что там придётся добавить?

Так вот я и не понимаю,почему мы вот это уравнение которое Вы написали не могли взять когда я разделила переменные и потом начала решать задачу Ш Л? Только вместо$T$ подставить $T_n$ ,то есть зачем мы этот ряд подставляли в уравнение если дифференциальное уравнение нам и так было уже известно?

Добавлено спустя 2 минуты 36 секунд:

А

$$T_n(0)=C_n+d$$

,я не буду его пока выписывать,потому что с телефона пишу.

[ewert]

а откуда б Вы его взяли, когда "разделяли переменные"? В этот момент ведь правая часть игнорируется.

Вот только после подстановки ряда и разложения правой части оно и получилось.

Причём заметьте: последние слагаемые в этих уравнениях -- разные при разных $n$.
Я просто убрал постоянный множитель, чтоб он не мозолил глаза (т.к. его всегда можно вернуть обратно).

[zoo]

Поднялась молодая, -
Только крыл пролилось серебро...
И, навек улетая,
Обронила в болото перо.

И не знала, что нищий,
Навсегда обездоленный черт
В тине знак тот разыщет
И к душе деревянной прижмет.(c)

[PAV]

PAV:

zoo, прекратите оффтоп. Участнику АленаВ категорически не нравится Ваше поведение в этой теме.

[АленаВ]

Вот,когда переписывала,нашла ошибку

АленаВ писал(а):

Ну да,тогда буду сразу решать такое

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial v} {\partial t}=9\frac {\partial^2 v} {\partial x^2}+(4{t-t^3})x,\\ v|_{t=0}=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4)\\ v|_{x=0}=0 ,\\ {\frac {\partial v} {\partial x}}|_{x=2}=0,\\ v(x,t)=X(x)T(t)\not\equiv 0\end{array} \right. $$

А должно быть

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial v} {\partial t}=9\frac {\partial^2 v} {\partial x^2}+(4{t-t^3})x,\\ v|_{t=0}=2sin(\frac {5\pi{x}} 4)\\ v|_{x=0}=0 ,\\ {\frac {\partial v} {\partial x}}|_{x=2}=0\end{array} \right. $$

$$T_n(0)=C+\frac {2(-1)^n} {2187p^4}-\frac {4(-1)^n} {81p^2}$$

,где

$$p=(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}$$

И еще ,вот чтобы найти

$$T_n(0)$$

,нужно ведь разложть в ряд по

$$\sin(\frac {\pi} {4}+ \frac {\pi k} {2})x$$

$$2sin(\frac {5\pi{x}} 4)$$

,но это же будет $0 $ ? Или не всегда?

[ewert]

АленаВ писал(а):

И еще ,вот чтобы найти

$$T_n(0)$$

,нужно ведь разложть в ряд по

$$\sin(\frac {\pi} {4}+ \frac {\pi k} {2})$$

$$2sin(\frac {5\pi{x}} 4)$$

,но это же будет $0 $ ? Или не всегда?

Во-первых, это не ноль. Во-вторых, вставьте потерянный икс в первый синус. В-третьих: минус пять икс в начальном условии -- что, и впрямь в исходном условии задачи должен был отсутствовать? В-четвёртых, $ v(x,t)=X(x)T(t) $ и само по себе бессмысленно (приверженцы "метода разделения переменных" применяют это просто как формальный трюк, не приходя в сознание), и уж тем более неуместно внутри той системы.

[АленаВ]

Цитата:

В-третьих: минус пять икс в начальном условии -- что, и впрямь в исходном условии задачи должен был отсутствовать? В-четвёртых, $ v(x,t)=X(x)T(t) $ и само по себе бессмысленно (приверженцы "метода разделения переменных" применяют это просто как формальный трюк, не приходя в сознание), и уж тем более неуместно внутри той системы.

Нет,

$$-5x$$

в самой задаче есть,но когда мы делаем замену

$$u=v-5x-te^{-2t}$$

,то

$$-5x$$

уходит..

$$u|_{t=0}=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4)=v|_{t=0}-5x$$

$$v|_{t=0}=2sin(\frac {5\pi{x}} 4)$$

Добавлено спустя 3 минуты 18 секунд:

Цитата:

Во-первых, это не ноль

Я не пойму как раскладывать этот синус,если это и есть разложение,только когда

$$n=2$$

[V.V.]

АленаВ писал(а):

Я не пойму как раскладывать этот синус,если это и есть разложение,только когда

$$n=2$$

Это же здорово!
Все коэффициенты, кроме одного, будут нулями.

[АленаВ]

V.V. писал(а):

АленаВ писал(а):

Я не пойму как раскладывать этот синус,если это и есть разложение,только когда

$$n=2$$

Это же здорово!
Все коэффициенты, кроме одного, будут нулями.

А то есть как записать разложение:

$$f_2=1$$

и то есть

$$2\sin(\frac {5\pi{}} 4)x=2\sum_n{\sin(\frac {\pi} {4}+ \frac {\pi n} {2})x}, n=2$$

?

И

$$\sum{T_n(0)X_n(x)}=2\sum_n{X_n(x)}$$

$T_n(0)=2$ ?

[V.V.]

$T_2(0)=2$,
$T_n(0)=0$, если $n\ne 2$.

Исправил.

[АленаВ]

V.V. писал(а):

$T_2(0)=0$,
$T_n(0)=0$, если $n\ne 2$.

В смысле $T_2(0)=2$,
$T_n(0)=0$, если $n\ne 2$