Уравнение в частных производных

[ewert]

так, теперь со вторым (отсчитывая от левой части) слагаемым разберитесь. (Кто такие по происхождению $X_n$?)

[АленаВ]

$$\sum_nT'_n(t)X_n(x)=-9(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}\sum_nT_n(t)X_n(x)+(4t-t^3)\sum_n(-1)^n\frac 1 {(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}}X_n(x)$$

[ewert]

Так. А теперь учтите, что все три суммы -- суть ряды Фурье по $X_n$. А суммы рядов Фурье совпадают -- когда?...

[АленаВ]

Когда коэффициенты совпадают.

[ewert]

Вот и реализуйте.

[АленаВ]

$$T'_n(t)=-9(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}T_n(t)+(4t-t^3)(-1)^n\frac 1 {(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}}$$

Так записать?


И решать теперь дифференциальное уравнение?
И где взять начальное условие?

[ewert]

Молча. Это -- просто неоднородное линейное дифуравнение 1-го порядка с постоянным коэффициентом. Общее решение соотв. однородного уравнения очевидно, а недостающее частное решение неоднородного легко находится методом неопределённых коэффициентов. Ну или попросту выпишите стандартное общее решение в квадратурах, если вспоминать ту теорию не в жилу, но зато страсть как хочется чего-нить поинтегрировать.

Добавлено спустя 57 секунд:

АленаВ писал(а):

$$T'_n(t)=-9(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}T_n(t)+(4t-t^3)(-1)^n\frac 1 {(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}}$$

Так записать?

Добавлено спустя 36 секунд:

И решать теперь дифференциальное уравнение?
И гед взять начальное условие?

--------------------------------------
А начальное условие -- разговор отдельный, Вы сперва общее решение выпмшите.

[АленаВ]

Общее решение однородного:

$$T_n(t)=C_ne^{-9(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2t}}$$

Не очень хочется решать методом вариации постоянной.Интегрировать там...А вот методом неопределенных коэффициентов не помню как или это и есть методом вариации постоянной?

[ewert]

А вот тут ничем не могу помочь. Умение решать неоднородные уравнения (неважно каким способом) -- это техническое средство, которое в этой теме просто подразумевается. Ищите и/или вспоминайте.

[АленаВ]

А можете подсказать идею метода неопределенных коэффициентов(понятно что то то надо куда то подставить и приравнять при одинаковых степенях),я вспомню ..А то методом вариации очень долго считать,ошибусь.

[ewert]

Идею -- запросто.

Решение ищется примерно в том же виде, что и правая часть, но только максимально общем (обобщению подлежат коэффициенты многочленов).

Ну и надо ещё учитывать возможность резонанса; но в Вашей задаче резонансов, слава богу, нет ни при каких $n$.

[АленаВ]

аа,вид решения будет

$$at^3+bt^2+ct+d$$

?

[ewert]

Алёнушка, да. Но тут ведь не чат, знаете ли. Добейте до конца, что можете, а потом уж спрашивайте.

[АленаВ]

ewert писал(а):

Алёнушка, да. Но тут ведь не чат, знаете ли. Добейте до конца, что можете, а потом уж спрашивайте.

хорошо)

Добавлено спустя 12 минут 15 секунд:

Ну тогда я это сделаю.А пока такой вопрос:чтобы найти начальное условие на $T_n(t)$ нужно разложить в ряд

$$-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4)=\sum{T_n(0)X_n(x)}$$

и также приравнять коэффициенты?

[ewert]

Не знаю. Вы пока ещё не нашли общие решения для $T_n(t)$.