вопросы о dx и функ. от pi переменных

[ewert]

AD писал(а):

Здесь всё достаточно топорно: все функции $F(x)$, для которых существуют $x_0$ и $c$ такие, что $F(x)=\int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt+C$, называются неопределенными интегралами,

Здесь всё ещё гораздо топорнее: такие функции спокон веков назывались первообразными...

[AD]

А мне кажется, что первообразными спокон веков назывались функции, которые имеют производную, равную данной функции. Отсюда и название. А что это то же самое - это нетривиальная теорема, формулировка которой существенно зависит от того, в каком смысле понимается интеграл в той формуле.

[ewert]

AD в сообщении #162021 писал(а):

А мне кажется, что первообразными спокон веков назывались функции, которые имеют производную, равную данной функции.

Можно подумать, что Ваша формулировка задаёт хоть что-то другое.

[shwedka]

По поводу 'испокон века.'

Знак интеграла изобрел Лейбниц в 1675 году. Он употреблял букву $S$, которая в рукописной традиции того времени вылядела вытянуто, как нынешний знак интеграла. Летом того года он еще писал $\int y$, но уже к осени стал записывать $\int y dx$
Он стал систематиски придерживаться последнего выражения, хотя и понял (и тогда это было сильно небанально!!), что неважно, какими буквами переменные обозначать.Интеграл у Лейбница тогда был ТОЛЬКО определенный, со смыслом площади, в отличие от Сэра И.Н., корорый рассматривал только неопределенные интегралы, как решения того, что сейчас называют ОДУ. У сэра И.Н. не было специального обозначения для интеграла.

В немецкой печати Лейбницево обозначение появилось в 1686 году, а в английской - только в 1701 (хоть и мыли робкие попытки в 1693).

СЛОВО интеграл впервые употребил Иакоб Бернулли в 1690. Точное его рассуждение неизвестно, но предполагается, что оно прооисходит от латинского INTEGRO, что означает примерно 'восстанавливать' , 'приводить к первоначальному виду'. Если такая трактовка верна, то это означает, что Бернулли был под влиянием сэра И.Н., хотя сам был учеником Лейбница.

Лейбниц публично этот термин принял в 1696 и с тех пор употреблял.

Аддитивную постоянную, о которой тут идет дискуссия, обнаружил и ввел Лейбниц в 1694 (когда Ньютоново понимание связи интеграла и производной Лейбницем было усвоено и принято). До того люди произвольности константы не понимали, и в статьях приводили несколько первообразных, с различными, удобными, значениями константы.

Интересно, что по записи неопределенный и определенный интеграл стали различаться только значительно позже. Это был Эйлер, который придумал указывать пределы интегрирования. До того о них говорилось словами.

происхождение термина ПЕРВООБРАЗНАЯ (Primitive function) не вполне понятно. Сэр И.Н. ввел и использовал латинское слово fluentum.

[AD]

shwedka, спасибо. Хоть какая-то хоть куда-то аргументация.
_________________

ewert в сообщении #162032 писал(а):

Можно подумать, что Ваша формулировка задаёт хоть что-то другое.

AD в сообщении #162021 писал(а):

А что это то же самое - это нетривиальная теорема, формулировка которой существенно зависит от того, в каком смысле понимается интеграл в той формуле.

То есть даже если в той формулировке интеграл понимать по Риману, то производная этой штуки далеко не всюду будет совпадать с $f$ (и даже, как известно, не обязана существовать всюду, кроме не более чем счетного множества точек, как это иногда формулируют в определении первообразной).

[ewert]

Фигня. Риман-Лебег-Стильтьес-Ктоугодно тут совсем не при чём.

Кому интересно, какие там артефакты вылезут при более изысканном определении интеграла. Когда даже при самом грубом (а любое обобщение не имеет права не считаться с грубейшей основой) остаётся медицинский факт: первообразные образуют некое множество, и это множество следует как-никак, а -- формализовать.

[AD]

ewert в сообщении #162113 писал(а):

это множество следует как-никак, а -- формализовать.

Ну и чем вам фраза "множество первообразных" для этих целей нравится меньше, чем "неопределенный интеграл"? Даже количество букв одинаковое ...

Добавлено спустя 1 минуту 5 секунд:

Вообще, надо же, такой холивар на пустом месте ...

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Ну не знаю. Мне почему-то становится противно, когда фраза "функция $F$ является неопределенным интегралом функции $f$" некорректна (слева - функция, справа - множество). Хотя, надо сказать, от $f(x)=o(1)$ не так коробит. Приучили.

[xaxa3217]

>это множество следует как-никак, а -- формализовать.

а чем вас не устраивает такой вариант как: неопределенный интеграл функции $f$ - множество функций вида $F(x)+C$ где $C$ некоторое число, а $F$ - первообразная $f$, то есть$F'(x) = f(x)$ и естественным образом дополнить сказанное тем, что если у двух функций одна производная, то они отличаются на константу?

[ewert]

AD в сообщении #162116 писал(а):

Ну и чем вам фраза "множество первообразных" для этих целей нравится меньше, чем "неопределенный интеграл"? Даже количество букв одинаковое ...

мне???! -- да я всегда и говорил, что "неопределённый интеграл" есть не что иное, как "множество всех первообразных", а кто-то (сейчас припоминаю только некоего AD, но были и другие) зачем-то сопротивлялись...

А с "добавлением спустя" -- полностью и абсолютно согласен.

[AD]

Ну так я и предлагал слово "неопределенный интеграл" для другого использовать. А вы своё несогласие аргументировали, что тогда будет непонятно, как обозвать множество первообразных.

[ewert]

А-а, я, кажется, врубился. Есть вполне определённое понятие первообразной. И есть вполне определённое понятие множества всех первообразных. И есть нечто смутно-неопределённое, чего никто не понимает, и понимать не хочет, и даже не хочет знать, об чём вообще речь. Вот это-то смутно-неопределённое и следует обозначать термином "неопределённый интеграл".

Что ж, вполне логично.

[AD]

ewert в сообщении #162132 писал(а):

И есть нечто смутно-неопределённое, чего никто не понимает, и понимать не хочет, и даже не хочет знать, об чём вообще речь.

Ну да, типа того. А на самом деле все всё понимают, только по-своему, и вот спорят, какое понимание лучше.

[AGu]

AD писал(а):

Не-не-не, никаких формальных выражений я не имел ввиду. Здесь всё достаточно топорно: все функции $F(x)$, для которых существуют $x_0$ и $c$ такие, что $F(x)\equiv\int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt+C$, называются неопределенными интегралами, вот и всё.

Ура, я снова на Вашей стороне!
Более того, теперь Ваше определение мне нравится больше моего.

Будем говорить (опять-таки, чиста ради фана), что
функция $F:\mathbb R\to\mathbb R$ является неопределенным интегралом функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$,
и писать $F=\int f(t)\,dt$ или $F=\int f(t)\,dt+{\rm C}$
$\big[$обратите внимание: здесь стоит терм ${\rm C}$, а не переменная $C$$\big]$,
если функция $f$ локально интегрируема
и $F(y)-F(x)=\int_x^y f(t)\,dt$ для всех $x,y\in\mathbb R$
или, что то же самое, существуют такие $x_0,C\in\mathbb R$,
что $F(x)=\int_{x_0}^x f(t)\,dt+C$ для всех $x\in\mathbb R$.

Кстати, аналогичным образом можно строго формализовать синтаксические игры вида
$F(x)=G(x)+{\rm C}=H(x)+3+{\rm C}=H(x)+{\rm C}+{\rm C}=H(x)+{\rm C}$
в полном соответствии с играми вида $f(x)=g(x)+o(1)=\cdots$ и т.п.

ewert писал(а):

И есть нечто смутно-неопределённое, чего никто не понимает, и понимать не хочет, и даже не хочет знать, об чём вообще речь. Вот это-то смутно-неопределённое и следует обозначать термином "неопределённый интеграл".

Ага, в рамках предлагаемого формализма так оно и есть. Термин "неопределённый интеграл функции $f$" не вводится и остается неопределенным, но строго формально определяется фраза "функция $F$ является неопределенным интегралом функции $f$". И здесь нет ничего революционного. Скорее наоборот: этот формализм продолжает сложившиеся традиции. Например, наблюдается прямая аналогия с ситуацией вокруг слова "первообразная". Фраза "функция $F$ является первообразной функции $f$" имеет четкий смысл, но термин "первообразная функции $f$" четкого самостоятельного смысла не имеет и остается сугубо смутным (приходится делать какие-то намеки типа "с точностью до константы" и т.п.).

[Алексей К.]

А нам для кухонных разговоров этот формализм подходит?
Типа фраза "Аня --- Васина сестра" имеет четкий смысл, но термин "быть Васиной сестрой" четкого самостоятельного смысла не имеет и остается сугубо смутным (приходится делать какие-то намеки типа "их же у Васи, кажется, аж девять?"

[ewert]

Смысл станет куда чётче, если слово "сестра" заменить словом "подруга".