вопросы о dx и функ. от pi переменных

[Xaositect]

AlexDem в сообщении #143792 писал(а):

У меня, кстати, попутный вопрос. Если понимать оператор в теоретико-множественном смысле, как подмножество $F$ множества упорядоченных пар $X \times Y$, такое что <...>, то для задания оператора мы вроде должны заранее зафиксировать множество функций, на которых он определён. А на множестве каких функций определён $\int f dx$?

Интегрируемых по Риману/Лебегу/еще кому-то в зависимости от того, какой именно $\int$ имеется в виду.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #144152 писал(а):

P. S. А что такое дифференциал, я до сих пор плохо понимаю. Более того, нас учили, что

$$ \int\limits_{[0,1]} f $$

есть более правильное обозначение, чем

$$ \int\limits_0^1 f(x) dx $$

Первым способом мы записывали лебеговский интеграл, вторым --- ньютоновский и римановский. Но по Лебегу-то интегрирование посолидней будет!

Вот-вот. Одно из мнений, зачем нужен dx - он указывает, что интегрирование идет по Жордановой мере, а если по Лебеговой, то пишут $\int {fd\mu } $, где ${d\mu }$ - Лебегова мера.

И совсем мне, говорю, не до смеху! // Это чьё же, говорю, указанье, // Чтоб такому выдающему цеху // Не присваивать почётного званья "лебеговский"?

Не припомню ни одного человека (ну кроме студентов, конечно, те -- народ отчаянный), который осмелился бы писать интегралы без хоть каких-то дифференциалов.

А что до собственно дифференциала, то всё зависит от того, где он стоит. Если сам по себе, то это -- главная линейная часть приращения. Если под интегралом, то это -- просто заклинание, указывающее на переменную интегрирования (и прочие ньюансы в более сложных случаях). А что это согласовано -- уже некоторая теорема.

[AD]

ewert в сообщении #151263 писал(а):

Не припомню ни одного человека (ну кроме студентов, конечно, те -- народ отчаянный), который осмелился бы писать интегралы без хоть каких-то дифференциалов.

Бывает, бывает ... В статьях бывает ... по теории интеграла, разумеется.

[Дмитрий-1980]

Здравствуйте!
По поводу дифференциала в интеграле.
Дмитрий, как Вам такое объяснение (для неопределенного интеграла):

$\ f'(x) = dy/dx => dy = f'(x)dx => \int\ dy = \int\ f'(x)dx => y = \int\ f'(x)dx$

кроме того, таблица первообразных действует только тогда, когда аргумент функции совпадает с выражением, стоящим под знаком дифференциала, так что если его убрать может возникнуть путаница.

По поводу пределов и переменных, которые куда-то стремятся.
Можно вместо переменных рассматривать последовательности, то есть использовать определение не Коши, а Гейне. Обычно, это более понятно и наглядно.

[fnake]

Одна из ошибок в преподавании классического интегрального исчисления состоит в сопоставлении интеграла и первообразной функции. Вспомним формулу Ньютона-Лейбница:
\int_a^b f(x)dx= F(b)-F(a),
где F(x) — первообразная функции f(x).
Естественно сопоставлять первообразную не функции, а другому объекту.
В самом деле,
\int_a^b f(x)dx=/x=x(t)/=\int_\alpha^\beta f(x(t))x'(t)dt.
Если бы мы первообразную преписывали функции, то в новой координате t мы должны были бы преписывать первообразную произведению
f(x(t))x'(t), но такое произведение зависит не только от первоначальной функции f(x). Это нарушало бы инвариантность определения первообразной. Указанное наблюдение наводит на мысль, что первообразную естественно приписать всему подынтегральному выражению f(x)dx, т. е. дифференциальной форме.
Таким образом, интеграл тоже нужно приписывать не функции, а дифференциальной форме.

[AD]

fnake в сообщении #160816 писал(а):

Это нарушало бы инвариантность определения первообразной.

Кошмар какой, а? Не, ну подумайте, нарушает инвариантность! Кому нужна процедура подсчета площади, не инвариантная относительно гомеоморфизмов плоскости?? Не, ну это определенно ошибка в преподавании.

fnake в сообщении #160816 писал(а):

Указанное наблюдение наводит на мысль, что первообразную естественно приписать всему подынтегральному выражению f(x)dx, т. е. дифференциальной форме.

Ну для этого и изобрели в свое время интегрирование дифференциальных форм.

Добавлено спустя 3 минуты 58 секунд:

Дмитрий-1980 в сообщении #160283 писал(а):

Дмитрий, как Вам такое объяснение (для неопределенного интеграла):

$\ f'(x) = dy/dx => dy = f'(x)dx => \int\ dy = \int\ f'(x)dx => y = \int\ f'(x)dx$

Не знаю, что скажет Дмитрий, но для меня эта игра в букавки ничего не объясняет. А именно, весь вопрос как раз и состоит в объяснении средней импликации:

Цитата:

$dy = f'(x)dx => \int\ dy = \int\ f'(x)dx$

, потому что она заключается вовсе не в "навешивании крючочка на равные выражения".

[fnake]

AD в сообщении #160821 писал(а):

Кошмар какой, а? Не, ну подумайте, нарушает инвариантность! Кому нужна процедура подсчета площади, не инвариантная относительно гомеоморфизмов плоскости??

Не нужно за меня ничего додумывать. Никаких характеристик процедуре я не давал.

AD в сообщении #160821 писал(а):

Не, ну это определенно ошибка в преподавании.

Читаем первый пост этой темы.

[dmd]

Лагранж "Теория аналитических функций", 1797, полное название: "Теория аналитических функций, содержащая начала дифференциального исчисления, освобожденные от всякого рассмотрения бесконечно малых, исчезающих, пределов и флюксий и сведенные к алгебраическому анализу конечных величин".

Только чисто алгебраическое рассмотрение позволит внятно излагать аналитические свойства функций. Производная - это соответствующий меняющийся коэффициент полинома функции, а первообразная - функция-полином, восстановленная из полиномной формы коэффициента. Не существует функций-неполиномов, поэтому анализ неизбежно должен быть алгебраичным. Путанная логика бесконечно малых и пределов - не математична.

[AD]

fnake в сообщении #160876 писал(а):

Никаких характеристик процедуре я не давал.

fnake в сообщении #160816 писал(а):

инвариантность определения первообразной

Не, ну, конечно, я немного переиначил, согласен. Но вам я ничего не приписывал, это вы уже сами придумали.
_________________

fnake в сообщении #160876 писал(а):

Читаем первый пост этой темы.

Читаем, что в Киеве дядька. Не, вы серьезно думаете, что ваше предложение будет способствовать улучшению ситуации? Я бы, наоборот, еще сильнее запутался, если бы на первом курсе начали грузить инвариантностями всякими.

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

_________________

dmd в сообщении #160945 писал(а):

Путанная логика бесконечно малых и пределов - не математична.

Извините, но просто кому-то не судьба было её выучить. Она совершенно стройная и логичная, и потому полностью математична. Согласен, что во времена Лагранжа было всё совсем не так, но с тех пор многое изменилось.

[dmd]

Зебрёж не коррелирует с пониманием. Из моего субъективного наблюдения 90% зубрящих матан его не понимают, оставшиеся 10% имеют "операторное" понимание, и лишь единицы достигают вербального понимания аналитических свойств, доставляемых матаном. Последние становятся хорошими инженерами-конструкторами и вычислителями-прикладниками. Их настоящих действительно единицы.
Опять же субъективно что будет более "математично" - стройное и логичное плюс монстроидальное или столь же стройное и логичное, но гораздо проще?

[ewert]

dmd в сообщении #161022 писал(а):

Из моего субъективного наблюдения 90% зубрящих матан его не понимают,

из зубрящих матан -- 100% его не понимают. А из тех, кто пытаются хоть сколько-то вдуматься -- понимают большинство. Даже кто и сдаёт его через пень-колоду.

[Дмитрий-1980]

To AD

Вас не устраивает, что неопределенные интегралы от равных функций равны между собой? Ну вообще-то они равны с точностью до константы , я там не написал. Более подробно это выглядит так, мне кажется:


\int\ dy = y-c_1, \int\ f'(x)dx = f(x)+c_2 => y = f(x) +c_2+c_1 = f(x)+ c_3

Если я Вас неправильно понял, то поясните свою мысль подробнее, пожалуйста.

[Brukvalub]

Дмитрий-1980 в сообщении #161219 писал(а):

Вас не устраивает, что неопределенные интегралы от равных функций равны между собой? Ну вообще-то они равны с точностью до константы

Это - неверно.

[Дмитрий-1980]

может я перепутал функцию и дифференциал?

[Someone]

Нет, Вы просто не знаете определение неопределённого интеграла.