Уравнение в частных производных

[zoo]

АленаВ в сообщении #161800 писал(а):

zoo,а Вам жалко,что мне объясняют???

я может ревную

[АленаВ]

zoo,может Вы не будете тут флудить...Лучше б помогли

[zoo]

АленаВ писал(а):

zoo,может Вы не будете тут флудить...Лучше б помогли

я Вам уже помог: дал ссылку и сообщил адрес, где ее взять. Дальнейшие просьбы о помощи с Вашей стороны это уже проявление лени, и, следовательно, они и есть флуд.

[АленаВ]

Я же не прошу мне написать решение..А прошу хотя бы поправлять ,если я что то делаю не то.
Мне в методичках не очень понятно,прошу все же помочь

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial v} {\partial t}=9\frac {\partial^2 v} {\partial x^2}+(4{t-t^3})x,\\ v|_{t=0}=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4)\\ v|_{x=0}=0 ,\\ {\frac {\partial v} {\partial x}}|_{x=2}=0,\\ v(x,t)=X(x)T(t)\not\equiv 0\end{array} \right. $$

$XT'=9X''T$
$\frac {T'} {9T}=\frac {X''} X=-\lambda$
$T'+9\lambda T=0$

$$\left\{ \begin{array}{l} X''+\lambda X=0,\\ X(0)=X'(2)=0 \end{array} \right. $$

А задача Штурма-Лиувилля такая получится?

[ewert]

да, такая. Только:

1) решать отдельно однородное уравнение довольно бессмысленно -- лучше сразу работать с неоднородным;

2) Ваша форма записи -- это т.наз. "метод разделения переменных". Если начальство излагало вам именно его -- что ж, супротив начальства не попрёшь. Однако по существу этот метод довольно-таки бессознателен. Гораздо грамотнее оформлять решение "методом разложения по собственным функциям".

Кстати, у Комеча (я всё-таки заглянул по ссылке) излагается именно последний метод. И, в общем, излагается достаточно разумно (не считая кой-каких шероховатостей). К сожалению, там очень низкое разрешение, а на более высокое -- порядочных людей почему-то не пускают.

[АленаВ]

Ну да,тогда буду сразу решать такое

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial v} {\partial t}=9\frac {\partial^2 v} {\partial x^2}+(4{t-t^3})x,\\ v|_{t=0}=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4)\\ v|_{x=0}=0 ,\\ {\frac {\partial v} {\partial x}}|_{x=2}=0,\\ v(x,t)=X(x)T(t)\not\equiv 0\end{array} \right. $$

Ну вот я решила задачу Штурма Лиувилля и получила,что

$$\lambda_k=(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2, X=X_k=C_{k}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x, k=0,1,...$$

и

$$T_n(t)=C_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}$$

Так ведь должно получиться?

[ewert]

в принципе да.

Теперь записывайте формальное решение уравнения теплопроводности в виде ряда Фурье по собственным функциям и подставляйте в уравнение. Только не перепутайте знаки и не потеряйте девятку.

[АленаВ]

А можете помочь,написать этот ряд,который нужно подставлять в уравнение(первоначальный самый)..Тут у меня проблемы и непонимание начинаются.

[ewert]

Могу лишь подсказать идею, она вполне тривиальна.

Искомое решение есть функция двух переменных. Рассматривая время как параметр, получим при каждом $t$ некоторую функцию, зависящую от $x$. Вот для этой функции и выписывается формальный ряд Фурье по $X_k(x)$; коэффициенты ряда, естественно, будут зависеть от $t$. Ну а потом подставляем этот ряд в уравнение и т.д.

[АленаВ]

Получется решение задается таким рядом?

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{C_kC_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x ?$$

,
где

$$C_kC_n$$

находится разложением функции

$$f(x)=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4)$$

в ряд по синусам?
То есть

$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n{sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x}$$

?

[ewert]

(Минус единица в степени эн бессмысленна -- до тех пор, пока коэффициенты ничем не фиксированы.)

Нет, у Вас неправильная логика. Эти коэффициенты определялись бы подстановкой в начальное условие как коэффициенты разложения начального распределения температур. А разложение правой части $f(x)$ используется перед этим -- когда выводятся дифуры для $T_n(t)$. Из-за наличия функции $f(x)$ эти уравнения оказываются неоднородными (а у Вас в сумме пока что участвуют решения соотв. однородных уравнений).

-------------------------------------
а вот после исправления у Вас вышло нечто совсем уж чудовищное

[АленаВ]

Да,минус 1 не нужна,тем более это было и неправильно...

Ну в ряд же надо подставить

$$X_k(x)T_k(t) ?$$

И то есть под суммой будет только коэффициент $C_n$ (который был в

$$T_n(t)=C_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}$$

)

[ewert]

не "в ряд подставлять", а составить из этих слагаемых ряд и подставить его в уравнение. А потом уж думать, что бы из этого могло следовать.

[АленаВ]

Значит будет так

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{C_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x ?$$

Ну все же нужно разложить $f(x)$ в ряд...

$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}f_nsin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x$$

$$f_n=\int\limits_0^2f(x)sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)xdx$$

$?$ Так ведь?

Т о есть найти коэффициенты $f_n$ и подставить их вместо $C_n$,так как они совпадают?
Или просто в уравнение подставить сначала

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{C_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x ?$$

[ewert]

АленаВ писал(а):

Значит будет так

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{C_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x ?$$

Не так.

Ищем решение в виде

$$u(x,t)=\sum_nT_n(t)\cdot X_n(x)$$

. Подставляем в уравнение теплопроводности и учитываем, что $X_n(x)$ -- именно собственные функции. Затем раскладываем $f(x)$ в ряд Фурье и вычисляем коэффициенты этого разложения. После того, как всё это сделано, сопоставляем коэффициенты Фурье во всех трёх слагаемых, получая тем самым дифференциальные уравнения для $T_n(t)$. И только тогда выползают наконец временнЫе экспоненты и всё прочее.