2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.
 
 
Сообщение25.11.2008, 12:49 
Аватара пользователя
АленаВ в сообщении #161800 писал(а):
zoo,а Вам жалко,что мне объясняют???

я может ревную

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 12:54 
zoo,может Вы не будете тут флудить...Лучше б помогли :(

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 12:57 
Аватара пользователя
АленаВ писал(а):
zoo,может Вы не будете тут флудить...Лучше б помогли :(

я Вам уже помог: дал ссылку и сообщил адрес, где ее взять. Дальнейшие просьбы о помощи с Вашей стороны это уже проявление лени, и, следовательно, они и есть флуд.

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 13:15 
Я же не прошу мне написать решение..А прошу хотя бы поправлять ,если я что то делаю не то.
Мне в методичках не очень понятно,прошу все же помочь :(

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial v} {\partial t}=9\frac {\partial^2 v} {\partial x^2}+(4{t-t^3})x,\\ 
v|_{t=0}=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4)\\
v|_{x=0}=0 ,\\ {\frac {\partial v} {\partial x}}|_{x=2}=0,\\ v(x,t)=X(x)T(t)\not\equiv 0\end{array} \right. $$
$XT'=9X''T$
$\frac {T'} {9T}=\frac {X''} X=-\lambda$
$T'+9\lambda T=0$
$$\left\{ \begin{array}{l} X''+\lambda X=0,\\ X(0)=X'(2)=0
\end{array} \right. $$
А задача Штурма-Лиувилля такая получится?

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 13:26 
да, такая. Только:

1) решать отдельно однородное уравнение довольно бессмысленно -- лучше сразу работать с неоднородным;

2) Ваша форма записи -- это т.наз. "метод разделения переменных". Если начальство излагало вам именно его -- что ж, супротив начальства не попрёшь. Однако по существу этот метод довольно-таки бессознателен. Гораздо грамотнее оформлять решение "методом разложения по собственным функциям".

Кстати, у Комеча (я всё-таки заглянул по ссылке) излагается именно последний метод. И, в общем, излагается достаточно разумно (не считая кой-каких шероховатостей). К сожалению, там очень низкое разрешение, а на более высокое -- порядочных людей почему-то не пускают.

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 13:52 
Ну да,тогда буду сразу решать такое

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial v} {\partial t}=9\frac {\partial^2 v} {\partial x^2}+(4{t-t^3})x,\\ 
v|_{t=0}=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4)\\
v|_{x=0}=0 ,\\ {\frac {\partial v} {\partial x}}|_{x=2}=0,\\ v(x,t)=X(x)T(t)\not\equiv 0\end{array} \right. $$

Ну вот я решила задачу Штурма Лиувилля и получила,что
$$\lambda_k=(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2, X=X_k=C_{k}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x, k=0,1,...$$ и $$T_n(t)=C_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}$$
Так ведь должно получиться?

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 13:59 
в принципе да.

Теперь записывайте формальное решение уравнения теплопроводности в виде ряда Фурье по собственным функциям и подставляйте в уравнение. Только не перепутайте знаки и не потеряйте девятку.

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 14:14 
А можете помочь,написать этот ряд,который нужно подставлять в уравнение(первоначальный самый)..Тут у меня проблемы и непонимание начинаются. :(

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 14:26 
Могу лишь подсказать идею, она вполне тривиальна.

Искомое решение есть функция двух переменных. Рассматривая время как параметр, получим при каждом $t$ некоторую функцию, зависящую от $x$. Вот для этой функции и выписывается формальный ряд Фурье по $X_k(x)$; коэффициенты ряда, естественно, будут зависеть от $t$. Ну а потом подставляем этот ряд в уравнение и т.д.

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 15:22 
Получется решение задается таким рядом?
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{C_kC_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x ?$$,
где $$C_kC_n$$ находится разложением функции $$f(x)=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4)$$ в ряд по синусам?
То есть $$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n{sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x}$$?

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 15:42 
(Минус единица в степени эн бессмысленна -- до тех пор, пока коэффициенты ничем не фиксированы.)

Нет, у Вас неправильная логика. Эти коэффициенты определялись бы подстановкой в начальное условие как коэффициенты разложения начального распределения температур. А разложение правой части $f(x)$ используется перед этим -- когда выводятся дифуры для $T_n(t)$. Из-за наличия функции $f(x)$ эти уравнения оказываются неоднородными (а у Вас в сумме пока что участвуют решения соотв. однородных уравнений).

-------------------------------------
а вот после исправления у Вас вышло нечто совсем уж чудовищное

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 15:45 
Да,минус 1 не нужна,тем более это было и неправильно...

Ну в ряд же надо подставить $$X_k(x)T_k(t) ?$$ И то есть под суммой будет только коэффициент $C_n$ (который был в $$T_n(t)=C_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}$$)

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 15:49 
не "в ряд подставлять", а составить из этих слагаемых ряд и подставить его в уравнение. А потом уж думать, что бы из этого могло следовать.

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 15:53 
Значит будет так
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{C_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x ?$$

Ну все же нужно разложить $f(x)$ в ряд...
$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}f_nsin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x$$
$$f_n=\int\limits_0^2f(x)sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)xdx$$ $?$ Так ведь?

Т о есть найти коэффициенты $f_n$ и подставить их вместо $C_n$,так как они совпадают?
Или просто в уравнение подставить сначала $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{C_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x ?$$

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 16:29 
АленаВ писал(а):
Значит будет так
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{C_ne^{-9(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)^2t}}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi k} 2)x ?$$

Не так.

Ищем решение в виде $$u(x,t)=\sum_nT_n(t)\cdot X_n(x)$$. Подставляем в уравнение теплопроводности и учитываем, что $X_n(x)$ -- именно собственные функции. Затем раскладываем $f(x)$ в ряд Фурье и вычисляем коэффициенты этого разложения. После того, как всё это сделано, сопоставляем коэффициенты Фурье во всех трёх слагаемых, получая тем самым дифференциальные уравнения для $T_n(t)$. И только тогда выползают наконец временнЫе экспоненты и всё прочее.

 
 
 [ Сообщений: 115 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group