"Парадокс близнецов" - релятивистское объяснение

[Someone]

chiba в сообщении #161330 писал(а):

Так посадите экспериментатора в другую систему отсчета.

Какая разница, где он сидит? Он может делать расчёты, пользуясь любыми системами отсчёта.

chiba в сообщении #161330 писал(а):

Могу.
...

Ничего не понял. Что Вы называете эффектом Доплера?
Предположим, что каждые часы раз в секунду выдают радиоимпульс. При скорости удаления, которую я указал, отношение честот испускаемого и принимаемого сигналов будет

$$k=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}=\frac 13\text{.}$$

Это значит, что неподвижные часы за каждые $3$ секунды будут получать от движущихся только $1$ сигнал. Например, если неподвижные часы показывают, что прошла $1$ минута, то Ваш наблюдатель, сидящий около неподвижных часов, будет видеть, что на удаляющихся часах прошло $20$ секунд. Точно такая же картина будет с точки зрения наблюдателя, движущегося со вторыми часами и наблюдающего неподвижные часы.

Так как теперь определить, которые часы идут медленнее?

Кстати, Ваша формула даёт $\frac{x_2-x_1}c=\frac{240000\cdot 60-0}{300000}=48$ секунд. Как это нужно интерпретировать?

chiba в сообщении #161330 писал(а):

Ну, это доказано. Задача сводится к интегралу $\int_{t_1}^{t_2}\frac{dr}c$ по замкнутому контуру. И очевидно, что это ноль.

Видите ли, соотношение возрастов "близнецов" можно рассчитать, пользуясь только формулой релятивистского эффекта Доплера и простейшими формулами механики. Как с точки зрения одного близнеца, так и с точки зрения другого. Так что я не знаю, что Вы там насчитали вместе с Борном.

[Munin]

chiba в сообщении #161248 писал(а):

Т.е. постулируя преобразования Лоренца, мы можем построить пространство Минковского? А разве там не нужно постулировать еще и метрику?

Да, можем. А метрика следует из преобразований Лоренца как инвариантная по отношению к ним величина. Или так тоже можно:

вздымщик Цыпа в сообщении #161253 писал(а):

Наоборот, постулируется метрика, а преобразования Лоренца — это движения с сохранением метрики.

Разницы нет, геометрия получается одна и та же, а разные её аксиоматики равносильны.

Добавлено спустя 2 минуты 4 секунды:

Someone в сообщении #161380 писал(а):

Видите ли, соотношение возрастов "близнецов" можно рассчитать, пользуясь только формулой релятивистского эффекта Доплера и простейшими формулами механики. Как с точки зрения одного близнеца, так и с точки зрения другого. Так что я не знаю, что Вы там насчитали вместе с Борном.

Не будьте суровы к Борну. Он всего лишь констатирует, что если две точки сначала расходятся, а потом сходятся, и первая периодически излучает импульсы, то к моменту схождения вторая получит столько же импульсов, сколько первая излучит. Разумеется, это величиной расхождения собственных времён близнецов не является.

[chiba]

Someone писал(а):

Какая разница, где он сидит? Он может делать расчёты, пользуясь любыми системами отсчёта.

Может. Но вы хотите заставить его пользоваться только инерциальной и при этом заставить выполнить свой расчет именно по вашей процедуре. А я говорю, что при расчете по данной процедуре инерциальная система теряет свои сильные стороны, поскольку их можно выполнить с таким же успехом и в другой системе.

Someone писал(а):

Ничего не понял. Что Вы называете эффектом Доплера?
Предположим, что каждые часы раз в секунду выдают радиоимпульс. При скорости удаления, которую я указал, отношение честот испускаемого и принимаемого сигналов будет

Так оно и будет. Чем дальше были испущены импульсы тем больше величина \frac{x_2-x_1}{c} это приводит к тому, что частота падает. При приближении обратный процесс.

Someone писал(а):

Кстати, Ваша формула даёт … секунд. Как это нужно интерпретировать?

Эту величину надо вычесть из показаний часов неподвижного наблюдателя. Тогда у вас остается показание движущихся часов и показание неподвижных часов (за вычетом доплеровской добавки). Теперь с полученными временами можно работать согласно преобразованиям Лоренца.

Someone писал(а):

Видите ли, соотношение возрастов "близнецов" можно рассчитать, пользуясь только формулой релятивистского эффекта Доплера и простейшими формулами механики. Как с точки зрения одного близнеца, так и с точки зрения другого. Так что я не знаю, что Вы там насчитали вместе с Борном.

И получите неправильный результат.
Если уж на то пошло, то рассчитайте задержку атомных часов на борту самолета этими методами. Если необходимо, то я постараюсь достать все что возможно по данному эксперименту.

Someone писал(а):

Так что я не знаю, что Вы там насчитали вместе с Борном.

Очень приятно, что вы меня упоминаете вместе с Борном
Кстати, Борн не единственный кто так считает. Его статья была написана как раз чтобы доказать неверующим что СТО верна.

Munin писал(а):

А метрика следует из преобразований Лоренца как инвариантная по отношению к ним величина.

Спасибо. Мне надо подумать над сказанным.

[Someone]

chiba в сообщении #161420 писал(а):

Может. Но вы хотите заставить его пользоваться только инерциальной и при этом заставить выполнить свой расчет именно по вашей процедуре.

Не понял, почему Вы так думаете сразу после моего утверждения, что экспериментатор может пользоваться любой системой отсчёта.

chiba в сообщении #161420 писал(а):

Эту величину надо вычесть из показаний часов неподвижного наблюдателя. Тогда у вас остается показание движущихся часов и показание неподвижных часов (за вычетом доплеровской добавки). Теперь с полученными временами можно работать согласно преобразованиям Лоренца.

Ну я же не зря подсовываю Вам всё время численный пример. Неподвижные часы показывают $60$ секунд, на движущихся мы, сидя около неподвижных, видим $20$ секунд, а Ваша поправка $\frac{x_2-x_1}c$ составляет $48$ секунд. Вычитаем: $60-48=12\neq 20$. Куда теперь девать преобразование Лоренца? Может быть, Вы всё-таки не будете ограничиваться упоминанием формул, а будете их писать и подставлять численные значения?

И не забывайте о задаче: выяснить, которые часы идут медленнее. Это не та же самая задача, что с "близнецами", поскольку возвращения в одну точку не предполагается. Если бы часы повторно встретились в одной точке, то никакой проблемы не было бы, мы бы просто сравнили их показания. Проблема возникает именно из-за того, что часы встречаются только один раз, а потом неограниченно расходятся.

chiba в сообщении #161420 писал(а):

И получите неправильный результат.

Видите ли, я совершенно точно знаю, что результат получается правильный. Точно такой же, как при использовании преобразований Лоренца, только интуитивно более понятным способом: каждый из "близнецов" непрерывно следит за часами (своими и напарника) и непрерывно сравнивает их показания. А при использовании преобразований Лоренца нужно обойти одну ловушку, в которую "опровергатели" (и, порой, не только они) поголовно попадаются, когда же им указываешь на эту ловушку, они просто не верят и вопят о подтасовке.

chiba в сообщении #161420 писал(а):

Если уж на то пошло, то рассчитайте задержку атомных часов на борту самолета этими методами. Если необходимо, то я постараюсь достать все что возможно по данному эксперименту.

Не надо. Обсчёт реального эксперимента - дело сложное, я с этим не справлюсь. Обойдёмся мысленным экспериментом с нашими "близнецами".

Munin в сообщении #161401 писал(а):

Не будьте суровы к Борну. Он всего лишь констатирует, что если две точки сначала расходятся, а потом сходятся, и первая периодически излучает импульсы, то к моменту схождения вторая получит столько же импульсов, сколько первая излучит.

Во! В Вашем изложении всё понятно, возражений нет.

Munin в сообщении #161401 писал(а):

Разумеется, это величиной расхождения собственных времён близнецов не является.

Разумеется.

[chiba]

Someone писал(а):

Не понял, почему Вы так думаете сразу после моего утверждения, что экспериментатор может пользоваться любой системой отсчёта.

Потому что вы упорно отказываетесь рассматривать ускоренное движение второго наблюдателя и при этом с таким же упорством отказываетесь рассмотреть задачу со стороны второго наблюдателя при условиях, которые сами и навязали.
Я же утверждаю, что отказ от рассмотрения фазы ускорения фактически снимает неэквивалентность между рассмотренными системами отсчета и и делает их эквивалентными. А это снова приводит к парадоксу близнецов.

Someone писал(а):

Ну я же не зря подсовываю Вам всё время численный пример. Неподвижные часы показывают

А с чего вы взяли, что в момент прихода сигнала на часах у неподвижного наблюдателя будет 60 секунд? Через 60 секунд сигнал только будет испущен и дойдет до наблюдателя еще через 48 секунд. Итого во время прихода сигнала на часах неподвижного наблюдателя будет 108 с, а не 60.

Someone писал(а):

А при использовании преобразований Лоренца нужно обойти одну ловушку, в которую "опровергатели" (и, порой, не только они) поголовно попадаются, когда же им указываешь на эту ловушку, они просто не верят и вопят о подтасовке.

Ну и какую же? Если честно, то вы меня заинтриговали.

Someone писал(а):

Не надо. Обсчёт реального эксперимента - дело сложное, я с этим не справлюсь. Обойдёмся мысленным экспериментом с нашими "близнецами".

Жаль. Тогда бы все так ли иначе устаканилось/

[Someone]

chiba в сообщении #161531 писал(а):

Потому что вы упорно отказываетесь рассматривать ускоренное движение второго наблюдателя

Я не вижу в этом смысла. Ну, получим мы интеграл вместо двух слагаемых. Что это прояснит?

chiba в сообщении #161531 писал(а):

при этом с таким же упорством отказываетесь рассмотреть задачу со стороны второго наблюдателя при условиях, которые сами и навязали

Нисколько не отказываюсь. Но мы с Вами ещё и с первым-то не разобрались, и я пока хочу увидеть внятное объяснение: как определить, которые из двух инерциальных часов идут медленнее?

chiba в сообщении #161531 писал(а):

Я же утверждаю, что отказ от рассмотрения фазы ускорения фактически снимает неэквивалентность между рассмотренными системами отсчета и и делает их эквивалентными.

Не делает. Брат-путешественник по ходу дела меняет скорость своего движения, из-за чего не является инерциальным наблюдателем. Либо, в варианте с тремя инерциальными часами, в одном случае имеется одна система отсчёта, в другом - две, последовательно сменяющие друг друга.

chiba в сообщении #161531 писал(а):

А с чего вы взяли, что в момент прихода сигнала на часах у неподвижного наблюдателя будет 60 секунд?

По условию. Но я приношу извинения, Вашу поправку я посчитал неправильно.
Если подвижные часы удалились на расстояние $x$ километров, то им на это потребовалось $\frac xv$ секунд, а сигналу, чтобы дойти оттуда - $\frac xc$ секунд. Если на неподвижных часах в момент прихода сигнала $t$ секунд, то получаем уравнение $\frac xv+\frac xc=t$, откуда $x=\frac{cvt}{c+v}$. Для нашего примера (показания неподвижных часов, отсчитываемые от момента синхронизации с подвижными - $60$ секунд, скорость удаления подвижных часов - $240000$ километров в секунду, на движущихся часах, в соответствии с эффектом Доплера, $20$ секунд) Ваша поправка равна $\frac xc=\frac{vt}{c+v}=\frac{80}3$ секунды. Вычитаем: $60-\frac{80}3=\frac{100}3$ секунды, и $\frac{100}3>20$, поэтому мы считаем, что подвижные часы идут медленнее.

Ладно, я, кажется, понял, как Вы хотите сравнивать скорость хода часов. Но давайте встанем на точку зрения наблюдателя, движущегося со вторыми часами. Он также по своим часам ждёт $60$ секунд, наблюдает в этот момент на неподвижных часах (в соответствии с эффектом Доплера) $20$ секунд, делает все те же самые расчёты и приходит к выводу, что медленнее идут неподвижные часы.

Поскольку инерциальные системы отсчёта для описания происходящего равноправны, становится непонятным, чью точку зрения следует предпочесть. Как быть? Какие часы "на самом деле" идут медленнее?

chiba в сообщении #161531 писал(а):

Ну и какую же? Если честно, то вы меня заинтриговали.

Изменение определения одновременности при переходе в другую инерциальную систему отсчёта. Мне кажется, Вы тоже в эту ловушку попадаетесь, иначе мне трудно понять Ваше стремление рассматривать ускорение и привлекать ОТО.

chiba в сообщении #161531 писал(а):

Жаль. Тогда бы все так ли иначе устаканилось

Вы почему-то считаете, что, если вместо идеализированной модельной задачи, в которой проявляется только один эффект, влияющий на показания часов, рассмотреть гораздо более сложную задачу, в которой намешаны несколько эффектов, плюс всевозможные помехи и ошибки измерений, то всё станет сразу понятно. Ничего подобного. Если у Вас проблемы с пониманием простой задачи, то браться за более сложную не стоит. Поверьте педагогу с тридцатитрёхлетним стажем работы. Даже Ваше стремление рассматривать ускоренное движение кажется мне ненужным усложнением, поскольку к физической сути происходящего ускорение ничего не добавляет, а задача резко осложняется чисто математическими деталями, затемняющими суть дела.

Обсчёт данных реального эксперимента имел бы смысл, если бы у Вас были основания считать, что специалисты с этим делом не справились. Но в таком случае я Вам не помогу, у меня нет такого количества свободного времени.

Не забывайте также, что мы обсуждаем самосогласованность СТО как теории, а не её соответствие экспериментальным данным. Весь сыр-бор вокруг "парадокса" близнецов связан именно с мнимой внутренней противоречивостью СТО, а вовсе не с экспериментальными проверками.

[Munin]

chiba в сообщении #161531 писал(а):

Жаль. Тогда бы все так ли иначе устаканилось.

Нет, это иллюзия. Рассматривать реальные эксперименты во всех их деталях гораздо сложнее, и тут как раз легче возникает ситуация, когда одному из собеседников не хватает знаний или понимания, и он остаёт. В результате консенсуса достичь сложнее. Someone совершенно прав, углубляться в это не следует.

Someone в сообщении #161613 писал(а):

Даже Ваше стремление рассматривать ускоренное движение кажется мне ненужным усложнением, поскольку к физической сути происходящего ускорение ничего не добавляет, а задача резко осложняется чисто математическими деталями, затемняющими суть дела.

С другой стороны, это только вам известно, что это ненужное усложнение, а ваш собеседник об этом просто не в курсе. Можно ли донести до него это, не проведя вычисление интегралов в явном виде? Я думаю, да, если обратиться к геометрическим аналогиям. Например, указать, что длина произвольной кривой считается сложным интегралом, и хотя ломаная линия должна считаться такой же кривой с малыми скруглениями, и обсчитываться таким же интегралом, но при этом длину ломаной линии можно посчитать и проще. Намного проще. И в то же время смысл и качественное поведение интеграла для кривой можно понять, приближая кривую ломаными.

[chiba]

Ну, кажется мы сдвинулись с мертвой точки. Надеюсь, вы не против, если я буду отвечать не по порядку.

Someone писал(а):

Изменение определения одновременности при переходе в другую инерциальную систему отсчёта. Мне кажется, Вы тоже в эту ловушку попадаетесь, иначе мне трудно понять Ваше стремление рассматривать ускорение и привлекать ОТО.

Сначала давайте расставим все точки над “i”, чтобы.
Дело в том, что мне из всего нашего рассуждения показалось, что вы считаете, что рассмотрение ускорения автоматически влечет за собой привлечение ОТО? Надеюсь, что я ошибаюсь.
Теперь по сути. Естественно, что переход из одной системы в другую меняется набор одновременных событий. При этом если мы вводим режим торможения, т.е. переход в НИСО, то все изменения этого набора будут плавными, а если делаем это скачком, то и набор меняется скачком.
Мои претензии, по сути, сводятся к тому, что вы предлагаете оставить скачек в рассмотрении, а алгоритм учета вклада этого скачка в эффект замедления не предлагаете. А то, что вклад будет, я не сомневаюсь. Более того, между двумя любыми инерциальными системами можно подобрать такой режим перехода, что вклад от этого перехода будет определяющим.

Someone писал(а):

делает все те же самые расчёты и приходит к выводу, что медленнее идут неподвижные часы

Да. Именно это я и утверждал.

Someone писал(а):

Поскольку инерциальные системы отсчёта для описания происходящего равноправны, становится непонятным, чью точку зрения следует предпочесть. Как быть? Какие часы "на самом деле" идут медленнее?

Если вы рассматриваете только две ИСО в которых разлетаются часы без возврата, то ответ на последний вопрос простой – никакие. Каждый из наблюдателей будет видеть, что часы его визави отстают. Но чтобы проверить это на практике, им надо встретиться, но разлетающиеся ИСО никогда не встретятся.

Someone писал(а):

Не забывайте также, что мы обсуждаем самосогласованность СТО как теории, а не её соответствие экспериментальным данным. Весь сыр-бор вокруг "парадокса" близнецов связан именно с мнимой внутренней противоречивостью СТО, а вовсе не с экспериментальными проверками.

Но наличие ускоренного движение никак не отражается на самосогласованности СТО. СТО тем и ценна, что она дает методику расчета с точки зрения инерциальной системы всего что угодно, конечно кроме гравитации.

Добавлено спустя 4 минуты 18 секунд:

Munin писал(а):

Например, указать, что длина произвольной кривой считается сложным интегралом, и хотя ломаная линия должна считаться такой же кривой с малыми скруглениями, и обсчитываться таким же интегралом, но при этом длину ломаной линии можно посчитать и проще

Так вся суть в том, что произвольный ускоренный режим дает не малое скругление, а произвольное.

[Инт]

Уважаемый chiba. Если не переходить к конкретным расчётам, то можно до бесконечности обсуждать "парадокс" в "общих чертах".

Я обдумал как отвечать Вам. Из заданных Вами вопросов, и дальнейшего обсуждения, которое, как вижу, здесь состоялось без меня, мне не ясно, какое место моего первоначального текста Вам не ясно. Лучше же отвечать именно в том месте, где есть неясность. Поскольку, мною всё подсчитано, то в принципе, я уже всё объяснил. Поэтому предлагаю следующую тактику: я цитирую самого себя кусками, и на каждом куске прошу задавать вопросы. Пока не пройдём один кусок не будем переходить к другому. В таком диалоге отвечу и на заданные Вами ранее вопросы.

Итак,

Инт писал(а):

Пусть $t_{1} = t’_{1} = t’’_{1} = 0, x_{1} = x’_{1} = x’’_{1} = 0$ – время и место «рождения» близнецов U и S, в пространственно-временных координатах систем отсчёта K, K’ и K’’ соответственно...


...Считаем, что до момента $t_{2} = T$ (по часам K) близнец S путешествует с системой K’, а после момента $t_{2}$ (по часам K) S путешествует с K’’...


$t_{2} = T, x_{2} = vT$ – время и место пересадки близнеца S из системы отсчёта K’ в K’’, выраженные в системе отсчёта K.

$t’_{2} = \gamma(t_{2} - vx_{2}) = \gamma(T - v^{2}T) = T/\gamma, x’_{2} = \gamma(x_{2} - vt_{2}) = \gamma(vT - vT) = 0$ – время и место пересадки наблюдателя S с точки зрения системы отсчёта K’.

$T/\gamma$ – биологический возраст S в момент пересадки...



$t’’_{2} = \gamma(t_{2} + vx_{2}) = \gamma(T + v^{2}T) = \gamma(1 + v^{2})T$

$x’’_{2} = \gamma(x_{2} + vt_{2}) = \gamma(vT + vT) = 2 \gamma vT$

– время и место пересадки S с точки зрения системы отсчёта K’’.

Согласны ли Вы с этим? Если нет, то с чем?
Понятно ли это вычисление? Если нет, то где?
Я поясню.

[Munin]

chiba в сообщении #161657 писал(а):

Так вся суть в том, что произвольный ускоренный режим дает не малое скругление, а произвольное.

Нет. "Вся суть" в том, что произвольное скругление может быть представлено как ломаная линия из большого числа коротких звеньев. И поэтому достаточно разобраться с ломаной линией, и отсюда будут автоматически следовать свойства скруглений.

[chiba]

Munin писал(а):

Нет. "Вся суть" в том, что произвольное скругление может быть представлено как ломаная линия из большого числа коротких звеньев. И поэтому достаточно разобраться с ломаной линией, и отсюда будут автоматически следовать свойства скруглений.

Не вижу большой разницы между тем, что вы говорите и делаю я. Я просто увеличиваю количество этих звеньев до бесконечности и получаю интеграл по "сопутствующим" (кажется они так называются) инерциальным СО. Но насколько я понимаю мне предлагают вообще отказаться от этой процедуры.

Инт писал(а):

Если не переходить к конкретным расчётам, то можно до бесконечности обсуждать "парадокс" в "общих чертах".

Это точно. Я разобрался со второй частью вашего сообщения, так что наверно не стоит снова его цитировать кусками. Сейчас формирую ответ. Когда разберемся с этой частью можно будет перейти к следующей.

[Инт]

chiba писал(а):

Сейчас формирую ответ

Информацию понял. Жду ответ.

[Munin]

chiba в сообщении #161770 писал(а):

Не вижу большой разницы между тем, что вы говорите и делаю я.

Разница в том, что вы предлагаете разбираться с интегралами, а я предлагаю разбираться с ломаными.

[chiba]

Munin писал(а):

Разница в том, что вы предлагаете разбираться с интегралами, а я предлагаю разбираться с ломаными.

Нет, вы не поняли. С вашими ломаными я согласен и в принципе готов с ними разбираться. Единственное, что я не готов это выбрасывать их из рассмотрения без остатка. Может быть я не понял сути дискуссии, но по большей части она крутилась вокруг этого вопроса, по крайней мере с моей стороны

[Someone]

chiba в сообщении #161657 писал(а):

Дело в том, что мне из всего нашего рассуждения показалось, что вы считаете, что рассмотрение ускорения автоматически влечет за собой привлечение ОТО?

Нет, не считаю. Но неоднократно сталкивался с "объяснениями", основанными на использовании ОТО. Как раз "в связи" с рассмотрением ускоренного движения.

Someone в сообщении #161613 писал(а):

Даже Ваше стремление рассматривать ускоренное движение кажется мне ненужным усложнением, поскольку к физической сути происходящего ускорение ничего не добавляет, а задача резко осложняется чисто математическими деталями, затемняющими суть дела.

Munin в сообщении #161715 писал(а):

Нет. "Вся суть" в том, что произвольное скругление может быть представлено как ломаная линия из большого числа коротких звеньев. И поэтому достаточно разобраться с ломаной линией, и отсюда будут автоматически следовать свойства скруглений.

chiba в сообщении #161770 писал(а):

Не вижу большой разницы между тем, что вы говорите и делаю я. Я просто увеличиваю количество этих звеньев до бесконечности и получаю интеграл по "сопутствующим" (кажется они так называются) инерциальным СО. Но насколько я понимаю мне предлагают вообще отказаться от этой процедуры.

Вам никто не предлагает отказываться от этой процедуры. Вам пытаются объяснить, что переход от кусочно инерциального движения, игнорирующего ускорения, к криволинейному движению с ускорением - это чисто математическая процедура, дающая расчётную формулу, но не добавляющая ничего нового к физической сути происходящего.

Также хочу обратить Ваше внимание, что тема посвящена так называемому "парадоксу" близнецов в простейшей постановке, когда движение состоит из двух инерциальных этапов.

Вообще, как я понял, у нас нет предмета для спора, за исключением Вашего стремления к неоправданной в данном вопросе общности.

Я ещё говорил, что можно рассчитать соотношение возрастов близнецов с помощью эффекта Доплера. Если Вам это ещё интересно, я напишу вычисления с точки зрения обоих близнецов. Такой подход гораздо более нагляден, чем традиционная возня с преобразованиями Лоренца, поскольку соответствует тому, что "близнецы" непосредственно наблюдают в процессе эксперимента.