"Парадокс близнецов" - релятивистское объяснение

[Инт]

Разбор «парадокса близнецов»

§1

Если опираться на преобразования Лоренца как на аксиомы, то из них строго логически вытекает, что «путешествующий близнец будет выглядеть моложе». Поэтому, разобравшись в вопросе, стоит лишь отбросить психологическую привычку, воспитанную обычным опытом, и не более.

Здесь рассматривается вопрос о том, как правильно, согласуя объяснение с релятивистской теорией пространства-времени, объяснить «парадокс» без ссылки на ускорение одного из близнецов. Такая ссылка часто приводится - при том как качественное рассуждение - для объяснения «парадокса», но на самом деле не может объяснить «парадокс». В самом деле, скорость полёта одного из близнецов может быть сколько угодно малой, например, один метр в секунду, время перехода на обратный путь движущегося близнеца может быть так же сколь угодно малым, например, одна минута. В то же время, различие возрастов для близнецов может составлять годы, в зависимости от длительности промежутка времени, на котором оба близнеца находились в прямолинейном равномерном движении (Близнецов можно считать роботами для того, чтобы они могли функционировать достаточное время).

Каждая инерциальная система отсчёта обладает своей «одновременностью», характерной только для данной системы отсчёта: Если в одной системе отсчёта события одновременны, то в другой системе отсчёта эти же события могут быть неодновременными. События пространства-времени (т.е. элементы теоретико-множественного произведения пространства на время) абсолютны: если событие происходит, то оно происходит во всех системах отсчёта. Но одновременность событий (срез пространства-времени по моменту времени) относительна: меняется от перемены системы отсчёта. «Расписание событий», «порядок» их меняется от перехода из одной инерциальной системы отсчёта в другую. Соответственно, необходимо поменять и «порядок логической рефлексии» происходящих событий тогда, когда, сделав выводы в системе отсчёта «покоящегося» близнеца, переходим в систему отсчёта «путешествующего». Парадокс возникает тогда, когда «порядок рефлексии» не меняется.

§2

Пусть $t_{1} = t’_{1} = t’’_{1} = 0, x_{1} = x’_{1} = x’’_{1} = 0$ – время и место «рождения» близнецов U и S, в пространственно-временных координатах систем отсчёта K, K’ и K’’ соответственно. Близнец S тот час же отравляется в путешествие так, что сначала движется с системой отсчёта K’ (так, чтобы оставаться относительно неё в покое), скорость которой равна $+v$ относительно K, а затем, возвращается домой, оставаясь в покое относительно системы отсчёта K’’, скорость которой равна $-v$ относительно K. Начала пространственно-временных координат всех систем отсчёта совпадают в пространственно-временном нуле. K считается «покоящейся» системой отсчёта. Считаем, что до момента $t_{2} = T$ (по часам K) близнец S путешествует с системой K’, а после момента $t_{2}$ (по часам K) S путешествует с K’’.

В каждый момент времени (по часам любой из систем отсчёта), пусть, близнец U передаёт в системы K’ и K” фотографии своего состояния (биологического возраста) в то место, где находится в этих системах отсчёта соответственно. Близнец S, пусть, передаёт фотографии в систему отсчёта K. Для этого, заранее, в системах отсчёта K, K’, K’’ расставлены наблюдатели, непрерывно заполняющие пространство и покоящиеся относительно соответствующих систем отсчёта. Близнец U считается «оставшимся»: находящимся в пространственной точке $x_{1} = 0$ в K в любой момент времени по часам K.

Вывод о возрасте близнецов, подсчитываемый с точки зрения U известен, и таков, что биологический возраст «путешествующего» близнеца после возвращения окажется меньше, чем «оставшегося». Поэтому, будем мысленно путешествовать не только с близнецом U, но и с близнецом S, и на основании переданных фотографий от U непрерывно следить за возрастом обоих близнецов, сначала, в системе отсчёта K’, а затем, после пересадки, в системе отсчёта K’’. Т.е. в дальнейшем будем рассуждать и так, как рассуждают «во второй части парадокса близнецов», опираясь исключительно на аксиомы (преобразования) Лоренца.

Скорость света считаем = 1. $\gamma$ = гамма-фактор.

$t_{2} = T, x_{2} = vT$ – время и место пересадки близнеца S из системы отсчёта K’ в K’’, выраженные в системе отсчёта K.

$t’_{2} = \gamma(t_{2} - vx_{2}) = \gamma(T - v^{2}T) = T/\gamma, x’_{2} = \gamma(x_{2} - vt_{2}) = \gamma(vT - vT) = 0$ – время и место пересадки наблюдателя S с точки зрения системы отсчёта K’.

$T/\gamma$ – биологический возраст S в момент пересадки.

Из приведённых значений извлекается рассуждение «первой части парадокса близнецов», т.е. рассуждение о возрасте близнецов с точки зрения U. Действительно, расставленные непрерывно в системе отсчёта K наблюдатели, покоящиеся в K, в момент $T$ по часам K примут фотографию, говорящую о биологическом возрасте S как о величине $T/\gamma$. Из симметрии между прямым и обратным путём близнеца S, получаемой обращением направления времени, биологический возраст S в момент встречи близнецов будет $= 2T/\gamma$, в то же время, для U пройдёт время $= 2T$. Видно так же, что к моменту пересадки близнец S остался в пространственном нуле системы отсчёта K’, т.е. двигался вместе с K’.

С другой стороны, видно неравноправие близнецов. В каждой системе отсчёта один близнец движется относительно другого с одинаковой по модулю скоростью $v$, но временные интервалы, между расставанием и моментом пересадки, не одинаковы: различаются для систем отсчёта близнецов. С точки зрения системы отсчёта K близнец S пересаживается из K’ в K’’ через время $= T$, а с точки зрения системы отсчёта K’ близнец S пересаживается из K’ в K’’ через время $= T/\gamma$, начиная с события расставания. Т.е. расстояния от S до U в разных системах отсчёта в момент пересадки не будут одинаковыми. Конечно, симметрия между близнецами остаётся, но она отлична от симметрии классической механики.

$t’’_{2} = \gamma(t_{2} + vx_{2}) = \gamma(T + v^{2}T) = \gamma(1 + v^{2})T$

$x’’_{2} = \gamma(x_{2} + vt_{2}) = \gamma(vT + vT) = 2 \gamma vT$

– время и место пересадки S с точки зрения системы отсчёта K’’.

В момент $t’’_{2}$ близнец U в пространственно-временных координатах системы отсчёта K’’ находится в пространственной точке $y’’$, куда и передаёт фотографию о своём биологическом возрасте $\tau’’$, переживаемом U и измеряемом в системе K. Через фотографии, или как-то иначе, этот возраст наблюдается и в системах отсчётов K’ и K’’ в каждой пространственно-временной точке, где находится U. Тогда,

$y’’ = \gamma(x_{1} + v \tau’’)$

$t’’_{2} = \gamma(\tau’’ + vx_{1})$.

И так как $x_{1} = 0$, то

$\tau’’ = (1+v^{2})T$

$y’’ = \gamma v (1 + v^{2})T$.

$|y’’ - x’’_{2}| = |(\gamma v (1+v^{2}) - 2 \gamma v)T| = |\gamma v (1 - v^{2})T| = |vT/\gamma|$

– расстояние между U и S в системе отсчёта K’’ в момент $t’’_{2}$.

В системе отсчёта K’’ близнец U приближается к S со скоростью $v$. Поэтому, в K’’ близнец U будет приближаться к S, начиная с момента пересадки и заканчивая встречей близнецов, время равное $T/\gamma$ по часам K’’.

Интервал времени, прошедший в K с момента передачи фотографии с возрастом $\tau’’$ до момента встречи с S, у наблюдателя U будет равно $(T/\gamma)(1/\gamma) = T/(\gamma^{2})$. Действительно, из преобразований Лоренца вытекает, что в K время будет замедляться по отношению к времени $= T/\gamma$, прошедшему в K’’, в $\gamma$ раз. Чтобы установить это рассуждаем в точности так же, как и в «первой части парадокса близнецов», «меняя местами» близнецов, и в качестве нуля в пространстве-времени выбрав встречу близнецов.

В итоге:

$\tau’’ + T/(\gamma^{2}) = (1 + v^{2})T + (1 - v^{2}) T = 2T$

– при подсчёте возраста U в K’’ по фотографиям к моменту встречи;

$T/\gamma + T/\gamma = 2T/\gamma$ - возраст, переживаемый S в K’’ к моменту встречи.

В системе отсчёта K подсчёт дал тот же результат.

§3

В момент времени $t’_{2}$ по часам системы отсчёта K’, когда S пересаживается в другую систему отсчёта, близнец U, по координатам K’, находится в точке $y’$ и передаёт информацию, фото о своём биологическом возрасте $\tau’$, измеряемом и переживаемом в K. Фото это передаётся в пространственной точке, удалённой от точки, где находится в этот момент S. Тогда:

$y’ = \gamma(x_{1} - v \tau’)$

$t’_{2} = \gamma(\tau’ - vx_{1})$.

Следовательно, $\tau’ = T/\gamma^{2}, y’ = - v T/\gamma$. Таким образом, при переходе S из системы отсчёта K’ в K’’ происходит скачок в восприятии возраста U этими системами отсчёта в целом от величины $\tau’ = (1 - v^{2})T$ до величины $\tau’’ = (1 + v^{2})T$ – в момент перехода, как считают наблюдатели в этих системах отсчёта. Рассмотрим, процесс скачка в деталях.

Пусть все наблюдатели в K’ одновременно по часам K’ переходят в систему отсчёта K’’ в момент перехода S. В том числе, это делает и тот наблюдатель P, который получил в K’ фотографию с биологическим возрастом U равным $\tau’$. По часам K’’ процесс развивается так, что сначала в K’’ переходит наблюдатель P, а затем, по прошествии какого-то времени, в K’’ переходит S. Т.е. события перехода в K’’ оказываются неодновременными. Следовательно, фотография с возрастом $\tau’$ устареет. Из-за этого и скачок. При этом S не может установить тривиальную связь с наблюдателем P, и не получит парадокс такого рода, что «только что S переходил вместе с P в другую систему отсчёта одновременно, и тут же оказывается, что и не одновременно». Поскольку, P удалён в пространстве от S, и так или иначе, эти наблюдатели могут связываться только посредством сигналов. Для U при восприятии возраста S такого скачка не происходит.

§4

Таким образом, если непрерывно проследить всю цепь событий, как с точки зрения наблюдателя U, так и с точки зрения наблюдателя S, пользуясь строго только преобразованиями Лоренца, то никакого парадокса нет.

Причина, из-за которой возникает неравноправие близнецов как будто бы ускользающая. Однако анализ других парадоксов позволяет увидеть, что причины, по которым принимаются многие физические постулаты, например, постулаты классической механики, не менее ускользающие.

Рассмотрим для примера парадокс Маха: известный парадокс о вращающемся ведре с водой. Причины, из-за которых ведро следует считать «вращающимся» или «не вращающимся», весьма ускользающие. Вероятнее, что именно физик, стоящий на «классических» позициях, будет отстаивать неравноправие систем отсчёта в этом случае. Хотя, возможно, не поверит в подобное неравноправие в случае «парадокса близнецов». Парадокс Маха на самом деле носит глубинный логический характер: По какому критерию можно сказать, что ведро вращается? Пусть, скажем, известно только то, что вода отклоняется соответствующим образом. Это означает, что ведро вращается?...

С точки зрения логиков, ситуация более ясная: выполнена одна аксиома и не выполнена другая. Т.е. по одной из аксиом, вода в ведре не отклоняется для некоторых систем отсчёта, и отклоняется для других. Хотя, по другой аксиоме, вода могла бы не отклоняться для любых систем отсчёта, или отклоняться для тех систем отсчёта, для которых не отклоняется по одной из аксиом. Аксиомы независимы, т.е. одна причина не влечёт другую. Парадокс Маха – «парадокс неопределённой аксиомы» – возникает от одновременного возникновения в сознании весьма естественных альтернатив. Ясно, что разрешение вопроса лежит через опыт.

Аналогичная ситуация с «парадоксом близнецов». Если следовать строго логике, то необходимо, не меньше чем изменить «порядок физической рефлексии» в соответствии с аксиомами. И поэтому, из аксиом Лоренца невозможно вывести противоречие. Остальное – суть вопросы философии и психологии, т.е. почему выполнен этот мир, а не другой. В частности, по-видимому, стоит обратить внимание на то, что совокупность событий, заполняющая пространство-время, образует собой нечто единое, т.е. события в каком-то смысле неотделимы друг от друга, не могут существовать в изоляции.

Интересно исследовать подобное «изменение порядка рефлексии» в математике. Одновременность физических событий интуитивно соответствует логической одновременности в математической теории, т.е. конъюнкции. Нельзя ли так изменить порядок рефлексии в математической теории, что та или иная конъюнкция уже не будет выполнена, или будет выполнена, или изменит свой смысл? Кажется, здесь есть, что искать.

[chiba]

Инт писал(а):

… объяснить «парадокс» без ссылки на ускорение одного из близнецов. Такая ссылка, часто приводится только как качественное рассуждение, и на самом деле ничего не доказывает.

На самом деле доказывает. Я могу рассмотреть всю траекторию того брата, который переходил в неинерциальную систему с точки зрения второго брата, который все время оставался в инерциальной системе. Такая задача была решена и результат оказался однозначным. Причем результат полностью согласуется с экспериментами, с учетом которых построена вся ускорительная техника.
С другой стороны, Можно рассмотреть все с точки зрения брата, переходящего через неинерциальную систему отсчета. В этом случае необходимо воспользоваться ОТО. Такую задачу тоже решили и результат, как вы наверно догадываетесь, совпадает с результатами расчетов из инерциальной СО по формулам СТО.

Инт писал(а):

«Расписание событий», «порядок» их меняется от перехода из одной инерциальной системы отсчёта

Не уверен, что правильно понимаю смысл вашего термина в кавычках - «порядок», но упорядоченность событий при переходе из одной системы отсчета в другую меняться не может из-за наличия причинно-следственных связей.

Инт писал(а):

С другой стороны, видно неравноправие близнецов. В каждой системе отсчёта один близнец движется относительно другого с одинаковой по модулю скоростью v, но временные интервалы, между расставанием и моментом пересадки, не одинаковы: различаются для систем отсчёта близнецов. С точки зрения системы отсчёта K близнец S пересаживается из K’ в K’’ через время = T, а с точки зрения системы отсчёта K’ близнец S пересаживается из K’ в K’’ через время = T/Г, начиная с события расставания. Т.е. расстояния от S до U в разных системах отсчёта в момент пересадки не будут одинаковыми. Конечно, симметрия между близнецами остаётся, но она отлична от симметрии классической механики.

А что вы хотите. Вы рассматриваете конкретное действие брата S из K и K’ и получаете разное время, соответственно T и T/Г. На основании этого делаете вывод, что между близнецами нет симметрии и что K и K’ – существенно различные системы отсчета. Даже в нерелятивистской механике одно и то же действие в разных СО выглядит по разному, например, траектория падающего шарика на палубе корабля с точки зрения наблюдателей на корабле и на причале. Но никто же не делает из этого вывод, что эти два наблюдателя находятся в существенно различных СО. Вы можете повторить тот же опыт с шариком на причале и наблюдатель на корабле увидит то, что раньше видел наблюдатель на причале и наоборот.
Теперь с братьями U и S. Там точно также как у птичек. Сядем на шею брату S и будем наблюдать за братом U. По часам системы K’, U сменит направление движения на противоположное через время T, а по часам в K пройдет время T/Г. Т.е. ситуация полностью идентичная. Этого и следовало ожидать исходя из принципа относительности. Это значит, что системы K и K’ полностью эквивалентны, как и K’’ и другие инерциальные СО.
Более того, рассматривая движение братьев U и S без учета процессов торможения вы всегда будете получать, что часы (на участках равномерного прямолинейного движения) брата S отстают от часов брата U ровно на столько же, на сколько они будут отставать у брата U относительно брата S. Это можно показать из преобразований Лоренца, но проще воспользоваться принципом эквивалентности.
Различие возникнет при переходе из инерциальной СО в неинерциальную. У вас этот момент легким движением руки превратился в «пересадку» из одной ИСО в другую. Такая мгновенная «пересадка» требует бесконечного ускорения, а это требует, чтобы на брата S подействовала бесконечная сила.
Если же рассмотреть переход брата S из одной ИСО в другую за конечное время, то надо решать задачу о движении тела (брата S) под действием внешней силы. Тогда с точки зрения брата U отставание часов брата S будет складываться из 2х частей – отставание на инерциальных участках и отставание на неинерциальном участке.
Если ту же задачу рассматривать с точки зрения брата S, то отставание его часов относительно U после встречи будет находится более сложным образом. Брат S видит, что U сначала равномерно удаляется от него (абсолютно точно также как он сам (S) удаляется с точки зрения брата U). Затем на U начинает действовать инерциальная сила, которая меняет вектор скорости брата U на полностью противоположный. Затем U начнет равномерно приближаться к S (опять точно также как и S приближается к U с точки зрения U). На прямолинейных участках часы U отстают от часов брата S, но с момента начала действия инерциальной силы мы должны начать пользоваться ОТО, поскольку СТО не предназначена для решения задач в неинерциальных системах отсчета. При переход к ОТО показывает, что метрика пространства времени меняется и отставание часов брата U будет полностью компенсировано и даже перекрыто на такую величину, на какую часы S будут отставать от часов U в самом конце по расчетам из СТО.

[Someone]

Господи, как же любят в связи с этим эффектом городить огород. Не нужно тут рассматривать никакие ускорения, и не нужна никакая ОТО (которая, естественно, даёт правильный результат), это чисто кинематический эффект. И уже в первой работе Эйнштейна "К электродинамике движущихся тел" он рассматривается как кинематический. И сколько можно толочь воду в ступе?

Парадокс близнецов.

[chiba]

Someone писал(а):

Не нужно тут рассматривать никакие ускорения, и не нужна никакая ОТО (которая, естественно, даёт правильный результат), это чисто кинематический эффект.

Естественно, что это кинематический эффект. Однако без задания точного режима торможения все интегралы можно выписать только в квадратуре. Если данный эффект рассматривать с точки зрения наблюдателя, переходящего через неинерциальную систему, то без привлечения ОТО не возможно рассчитать необходимые кинематические характеристики.

[photon]

photon:

Инт, приведите формулы в удобочитаемый вид, используя тег math, после этого пишите в личку, чтобы тема была возвращена из Карантина

[photon]

photon:

возвращаю

[Инт]

chiba писал(а):

Если данный эффект рассматривать с точки зрения наблюдателя, переходящего через неинерциальную систему, то без привлечения ОТО не возможно рассчитать необходимые кинематические характеристики.

Рассуждения в параграфе 2 и дают расчёт без привлечения ОТО.

Я несколько изменил своё первое сообщение, именно, в связи с Вашим замечанием. Там у меня написано:

Цитата:

В самом деле, скорость полёта одного из близнецов может быть сколько угодно малой, например, один метр в секунду, время перехода на обратный путь движущегося близнеца может быть так же сколь угодно малым, например, одна минута. В то же время, различие возрастов для близнецов может составлять годы, в зависимости от длительности промежутка времени, на котором оба близнеца находились в прямолинейном равномерном движении (Близнецов можно считать роботами для того, чтобы они могли функционировать достаточное время).

[chiba]

Инт писал(а):

Рассуждения в параграфе 2 и дают расчёт без привлечения ОТО.

Об ОТО говорить пока еще рано. Давайте проанализируем нижеприведенный текст

Инт писал(а):

$t_{2} = T, x_{2} = vT$ – время и место пересадки близнеца S из системы отсчёта K’ в K’’, выраженные в системе отсчёта K.

$t’_{2} = \gamma(t_{2} - vx_{2}) = \gamma(T - v^{2}T) = T/\gamma, x’_{2} = \gamma(x_{2} - vt_{2}) = \gamma(vT - vT) = 0$ – время и место пересадки наблюдателя S с точки зрения системы отсчёта K’.

$T/\gamma$ – биологический возраст S в момент пересадки.

Здесь сравниваются между собой физические величины, полученные с помощью измерений в разных системах отсчета. Мы же можем сравнивать только те величины, которые были измерены в одной и той же системы отсчета. Эта ошибка очень распространена и усугубляется тем, что формулы получаются те же самые, но смысл у них будет несколько иной. Давайте по порядку.
1. Выберем систему отсчета (мы всегда работаем только в одной системе отсчета). Пусть это будет система K.
2. По часам наблюдателя U близнец S совершит «пересадку» в момент времени $T$.
3. Теперь надо выяснить какое время будут показывать часы близнеца S с точки зрения наблюдателя U в момент «пересадки». Естественно, что согласно эффекту замедления времени это будет $\frac{T}{\gamma}$.
Видно, что здесь сравниваются показания часов наблюдателей S и U, зафиксированные в одной СО. При этом биологический возраст наблюдателя U будет равен $T$, а вот $\frac{T}{\gamma}$ это не истинный биологический возраст наблюдателя S, а только биологический возраст S с точки зрения наблюдателя U!.
Далее мы можем все тоже самое рассмотреть из СО K’.
Все будет с точностью до наоборот. Истинный биологический возраст S будет равен $T$, а биологический возраст U с точки зрения наблюдателя S будет равен $\frac{T}{\gamma}$.
То, что переход из одной СО в другую можно провести просто поменяв буквы S и U местами и есть следствие специально принципа эквивалентности Эйнштейна.

[Инт]

chiba писал(а):

...Здесь сравниваются между собой физические величины, полученные с помощью измерений в разных системах отсчета...

Мною выражаются пространственные и временные координаты события пересадки в одной системе отсчёта через пространственные и временные координаты в другой системе отсчёта - в точном соответствии с преобразованиями (аксиомами) Лоренца.

Никакого сравнения величин не производится, поскольку, это никак не используется в моём рассуждении.

Предлагаю просто попытаться найти ошибку в моём рассуждении, если предполагать, что оно ошибочно. Т.е. предлагаю не обращаться к теме ОТО, так как это излишнее нагромождение.

Добавлено спустя 14 минут 18 секунд:

chiba писал(а):

это не истинный биологический возраст наблюдателя S, а только биологический возраст S с точки зрения наблюдателя U!.
Далее мы можем все тоже самое рассмотреть из СО K’.
Все будет с точностью до наоборот. Истинный биологический возраст S будет равен , а биологический возраст U с точки зрения наблюдателя S будет равен .
То, что переход из одной СО в другую можно провести просто поменяв буквы S и U местами и есть следствие специально принципа эквивалентности Эйнштейна.

Так как биологический возраст должен измеряться по часам K', то указанное мной значение это есть истинный возраст наблюдателя S в момент события перехода на обратный путь.

[chiba]

Давайте для начала обсуждения утрясем некоторые математические моменты и тогда может все встанет на свои места.
Вы говорите, что

Инт писал(а):

Пусть $t_{1} = t’_{1} = t’’_{1} = 0, x_{1} = x’_{1} = x’’_{1} = 0$ – время и место «рождения» близнецов U и S, в пространственно-временных координатах систем отсчёта K, K’ и K’’ соответственно.

Хорошо. Пусть будет так. И с системой K’ мне в первом приближении все понятно. А вот что мне не понятно.

Инт писал(а):

$|y’’ - x’’_{2}| = |\gamma v (1+v^{2}) - 2 \gamma v) T| = |\gamma v (1 - v^{2})T| = |vT/\gamma|$

– расстояние между U и S в системе отсчёта K’’ в момент $t’’_{2}$.

Мы знаем, что расстояние между U и S, когда S находится в K’’ всегда уменьшается. А через какое-то время они встретятся и тогда это расстояние будет равно нулю.
Как эти факты отражены в полученных вами формулах?

[Инт]

chiba писал(а):

Инт писал(а):

$|y’’ - x’’_{2}| = |\gamma v (1+v^{2}) - 2 \gamma v) T| = |\gamma v (1 - v^{2})T| = |vT/\gamma|$

– расстояние между U и S в системе отсчёта K’’ в момент $t’’_{2}$.

Мы знаем, что расстояние между U и S, когда S находится в K’’ всегда уменьшается. А через какое-то время они встретятся и тогда это расстояние будет равно нулю.
Как эти факты отражены в полученных вами формулах?

В формуле указано расстояние в K'' в момент пересадки S на обратный путь, т.е. в момент $t’’_{2}$ по часам K''. Это расстояние подсчитывалось как разность координат. Известна скорость сближения близнецов, она равна по модулю величине $v$ как в K, так и в K''. Зная скорость и расстояние находим время сближения близнецов в K'' с момента пересадки. Ясно, что при возвращении расстояние будет равно нулю в обеих системах отсчёта. Это может быть и не указывается в фомулах, но зачем это указывать? Поясните.

Добавлено спустя 6 минут 36 секунд:

Я кажется понял, Вы хотите убедиться, что к назначенному времени расстояние между близнецами в системах отсчёта K и K'' окажутся равными нулю?

Это так. Если не сможете посчитать сами, то дам свою выкладку.

Добавлено спустя 18 минут 33 секунды:

chiba писал(а):

Инт писал(а):

«Расписание событий», «порядок» их меняется от перехода из одной инерциальной системы отсчёта

Не уверен, что правильно понимаю смысл вашего термина в кавычках - «порядок», но упорядоченность событий при переходе из одной системы отсчета в другую меняться не может из-за наличия причинно-следственных связей.

Имелась ввиду неодновременность событий: поезда могут приходить на разные станции по одному расписанию и одновременно в одной системе отсчёта, и будут приходить на эти же станции по другому расписанию - не одновременно - в другой системе отсчёта.

P.S. Между прочим, меня попросил разъяснить вопрос парадокса очень квалифицированный и авторитетный математик, которому было не ясно до конца, в чём неравноправие близнецов.

[Someone]

chiba в сообщении #159765 писал(а):

Естественно, что это кинематический эффект. Однако без задания точного режима торможения все интегралы можно выписать только в квадратуре.

Нафиг не нужны ни интегралы, ни ОТО.

Д.-Э. Либшер. Теория относительности с циркулем и линейкой. "Мир", Москва, 1980.

Инт в сообщении #160262 писал(а):

Между прочим, меня попросил разъяснить вопрос парадокса очень квалифицированный и авторитетный математик, которому было не ясно до конца, в чём неравноправие близнецов.

С большим трудом могу представить себе такого "очень квалифицированного" математика. Но чудеса бывают.

[Инт]

Someone писал(а):

...Нафиг не нужны ни интегралы, ни ОТО...

Д.-Э. Либшер. Теория относительности с циркулем и линейкой. "Мир", Москва, 1980.

Инт в сообщении #160262 писал(а):

Между прочим, меня попросил разъяснить вопрос парадокса очень квалифицированный и авторитетный математик, которому было не ясно до конца, в чём неравноправие близнецов.

С большим трудом могу представить себе такого "очень квалифицированного" математика. Но чудеса бывают.

Сказанное мною - правда. Замечание это я делал для chiba, чтобы он не стеснялся ошибаться.

Вы Someone далеко пойдёте, я смотрю. Особенно, в качестве рецензента какого-нибудь научного журнала.

[Someone]

Инт в сообщении #160357 писал(а):

Сказанное мною - правда.

Я не сказал, что Вы врёте. Я выразил сомнение в Вашей оценке квалификации неизвестного мне математика.

Неравноправие близнецов объясняется в двух словах и без вычислений: один из них всё время находится в одной и той же системе отсчёта, другой же часть времени находится в одной системе, а часть - в другой. Для квалифицированного математика этого достаточно, чтобы понять неравноправие близнецов и возможность физического отличия между ними. А расчёты - это вопрос техники. Они несложны и вполне под силу квалифицированному математику, тем более, что квалифицированные математики обычно изучают СТО, а иногда и ОТО. Но я допускаю, что Ваш квалифицированный математик никогда ранее этим не интересовался и давно забыл то, что изучал в институте.

[chiba]

Инт писал(а):

Вы Someone далеко пойдёте, я смотрю.

Someone писал(а):

Я не сказал, что Вы врёте. Я выразил сомнение в Вашей оценке квалификации неизвестного мне математика.

Не стоит ссориться по пустякам. Таким способом вы точно решение не получите.

Someone писал(а):

Нафиг не нужны ни интегралы, ни ОТО.

Д.-Э. Либшер. Теория относительности с циркулем и линейкой. "Мир", Москва, 1980.

Если честно, то не представляю, как в общем случае можно обойтись без интегралов. Поэтому сейчас ищу своего Либшера. Куда-то задевал его и не могу найти. В Интернете тоже не нашел. Если есть ссылка, то может выложите?

Инт писал(а):

Замечание это я делал для chiba, чтобы он не стеснялся ошибаться.

Ну, не стоит за меня бояться На то он и форум, чтобы ошибаться и исправлять ошибки. Хотя, за заботу спасибо.

Someone писал(а):

Неравноправие близнецов объясняется в двух словах и без вычислений: один из них всё время находится в одной и той же системе отсчёта, другой же часть времени находится в одной системе, а часть - в другой. Для квалифицированного математика этого достаточно, чтобы понять неравноправие близнецов и возможность физического отличия между ними. А расчёты - это вопрос техники.

Правильное качественное объяснение практически всегда тривиально. Количественные расчеты сложнее, хотя это действительно дело техники. Отмахнуться от вопроса, отправив задавшего учить матчасть, легко. Это все равно, что сказать: «вот тебе карта лабиринта – иди». Сложнее провести его через этот лабиринт за ручку. А еще сложнее сравнить вымышленный лабиринт с настоящим и сказать где они не совпадают или наоборот сделать вывод о полном их совпадении. Имхо, последним мы сейчас и занимаемся. Причем процесс этот обоюдный. Я считаю, что знаю как решается парадокс (может не так красиво и наглядно как другие), а Инт предлагает свою версию. Вот мы сидим и сравниваем наши лабиринты. Для меня это лишний повод убедиться в верности своего лабиринта, либо убедиться в обратном, либо (и это самое ценное) перейти на качественно новый уровень понимания, который есть всегда, как бы мы глубоко не зарывались в суть проблемы.

2Инт. Сейчас подробнее разбираюсь в ваших выкладках. Но времени не хватает. Так что может слегка задержусь с ответом.