"Парадокс близнецов" - релятивистское объяснение

[Munin]

Someone в сообщении #162253 писал(а):

Такой подход гораздо более нагляден

Сомневаюсь. Я согласен, что картина при этом рисуется перед глазами наглядная (хотя вряд ли более наглядная, чем треугольник мировых линий), но ultimate причины явлений оказываются затуманенными. Если человек не доверяет обычным расчётам по преобразованиям Лоренца, то он и расчётам по эффекту Доплера не будет доверять. Эта картина хороша только для человека, который разобрался в обычном расчёте, и согласен, что формально в нём всё верно, но ждёт подвоха, что этот расчёт рассыплется при рассмотрении физики в каком-то другом аспекте. Я среди присутствующих таких не вижу.

[chiba]

Someone писал(а):

Нет, не считаю.

Ну, я так и подумал. Просто по вашим высказываниям я слегка заподозрил противное.

Someone писал(а):

Вам никто не предлагает отказываться от этой процедуры. Вам пытаются объяснить, что переход от кусочно инерциального движения, игнорирующего ускорения, к криволинейному движению с ускорением - это чисто математическая процедура, дающая расчётную формулу, но не добавляющая ничего нового к физической сути происходящего.

Тогда, значит, я вас в этом вопросе просто не понял. А по поводу «не добавляющая ничего нового к физической сути» согласен.

Someone писал(а):

Вообще, как я понял, у нас нет предмета для спора, за исключением Вашего стремления к неоправданной в данном вопросе общности.

Я тоже так думаю.

Someone писал(а):

Я ещё говорил, что можно рассчитать соотношение возрастов близнецов с помощью эффекта Доплера. Если Вам это ещё интересно, я напишу вычисления с точки зрения обоих близнецов.

Да, я помню. И мне действительно интересно. Мне кажется, что я даже знаю как это сделать, но лучше думаю мне стоит все-таки посмотреть.

2Инт
Долго размышлял как лучше подойти к анализу результатов 2го параграфа и решил, что самое наглядное это перечислить все события, которые попадают в рассмотрение. Я насчитал 5 событий. Кроме таких событий как старт, пересадка и финиш в рассмотрение попадают еще два события, которые связаны с пересылкой фотографий наблюдателем U в системы K’ и K’’.
С точки зрения K эти два события, назовем их $A_1$ и $A_2$, одновременны с пересадкой и происходят во время $t_2=T$ в точке $x_1=0$.
Точно такой же критерий был выбран и для систем K’ и K’’ – одновременность с моментом пересадки. Назовем эти события $B_1$ и $B_2$.
В системе K’ событие $B_1$ происходит в момент времени $t’_2$ в месте $x’_1$. Если подставить время и место в преобразование Лоренца, то в системе K получим что событие $B_1$ произошло в момент времени $\tau’=T/\gamma^2=T(1-V^2/c^2)$ в точке $x_1=0$.
Видно, что событие $B_1$ произойдет раньше события $A_1$. Это значит, что в системе K наблюдатель S еще не начал пересадку.
Точно также обстоит дело и с событием $B_2$. В системе K’’ оно одновременно с пересадкой, но в системе K событие $B_2$ произойдет раньше события $A_2$ и соответственно раньше пересадки. Т.е. это опять не то событие, которое нам нужно.
При этом можно показать, что события $B_1$ и $B_2$ не одновременны ни в одной из рассмотренных систем. Это значит, что при подобном рассмотрении из жизни U вырезан неучтенный кусок.

Если есть замечания и вопросы, то задавайте. Думаю, что пока не утрясем со 2ым параграфом дальше переходить не имеет смысла.

[Инт]

chiba писал(а):

...$A_1$ и $A_2$...$B_1$ и $B_2$...

Из Вашего сообщения мне не понятно, что подразумевается под событиями $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$. Опишите точнее.

[chiba]

Инт писал(а):

Из Вашего сообщения мне не понятно, что подразумевается под событиями $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$. Опишите точнее.

Событие $A_1$ – событие отправки наблюдателем U фотографии в систему K’, которое с точки зрения наблюдателя U происходит одновременно с событием пересадки S из K’ в K’’.
В системе K $A_1$ происходит в точке $x_1=0$ в момент времени $t_2=T$. Из преобразований Лоренца можно видеть, что в системе K’ событие $A_1$ произойдет в точке $-v\gamma T$ в момент времени $\gamma T$.
Событие $B_1$ – это также событие отправки фотографии наблюдателя U в систему K’, но в отличие от события $A_1$ оно одновременно с событием пересадки уже не в системе K, а в системе K’. Причем место где оно произошло в системе K’ будет равно $-\frac{vT}{\gamma}$, а время $\frac{T}{\gamma^2}$. Отсюда видно, что событие $B_1$ произошло раньше события $A_1$.
Абсолютно точно также относятся друг к другу события $A_2$ и $B_2$ связанные с пересылкой фото U в систему K’’. Только $B_2$ произойдет раньше чем $A_2$.
Кроме этого $B_1$ и $B_2$ не одновременны и происходят в разных местах.

Добавлено спустя 1 час 9 минут 13 секунд:

Стоп. А почему я решил, что событие $B_1$ является одновременным в системе K' с событием пересадки. Времена-то не совпадают. Это вообще непонятное какое событие. Главное, что оно отлично от события $A_1$. Это же замечание относится и к событию $B_2$.

[Инт]

chiba писал(а):

Это значит, что при подобном рассмотрении из жизни U вырезан неучтенный кусок.

Да, но в §3 объясняется с чем связано то, почему такой кусок вырезается. Т.е. объясняется, почему для S происходит одномоментный скачок при восприятии возраста U от величины $\tau'$ в K' до величины $\tau''$ в K'' в момент (в событие) перехода из одной системы отсчёта в другую. Это восприятие происходит в целом системой отсчёта (наблюдателями в этих системах отсчёта), а не наблюдателем S. И такое вырезание ничему не противоречит, так как то, что такой кусок вырезан физически для S, т.е. при некотором взаимодействии с U, можно установить для S лишь связываясь с другими наблюдателями в системе отсчёта K' или K'' в фиксированном "процессе синхронизации часов".

Отмечу так же, что события $A_{1}$ и $A_{2}$ находятся в одной пространственно временной точке, а потому, могут считаться одним событием. Кроме того, событие $B_{1}$ видимо следует определить так: передача фотографии о возрасте U наблюдателям в системе отсчёта K' в момент, когда такое событие передачи оказывается одновременным по часам K' с событием перехода S из одной системы отсчёта в другую. Событие $B_{2}$ видимо следует определить так: передача фотографии о возрасте U наблюдателям в системе отсчёта K'' в момент, когда такое событие передачи оказывается одновременным по часам K'' с событием перехода S из одной системы отсчёта в другую. Можно утверждать одновременность или одноместность событий только относительно какой-нибудь одной системы отсчёта.

Напомню, что сами те или иные события, акты в пространстве-времени абсолютны. Одновременность или одноместность событий - относительна - меняется от перехода из одной системы отсчёта в другую. Если $A$ - некоторое событие, то $t, x, t', x', t'', x''$ обозначают пространственно-временные координаты этого события в соответствующих системах отсчёта.

Возможно, я что-то разъяснил.

[chiba]

Инт писал(а):

Да, но в §3 объясняется с чем связано то, почему такой кусок вырезается. Т.е. объясняется, почему...

Значит надо теперь разбирать 3 параграф. Давайте я тогда снова возьму немного времени для подробного рассмотрения и ответа.

Инт писал(а):

Отмечу так же, что события $A_1$ и $A_2$ находятся в одной пространственно временной точке, а потому, могут считаться одним событием.

Да, может, но я намеренно их выделил, чтобы сравнивать с ними события $B_1$ и $B_2$.

Инт писал(а):

Напомню, что сами те или иные события, акты в пространстве-времени абсолютны. Одновременность или одноместность событий - относительна - меняется от перехода из одной системы отсчёта в другую.

Естественно.

Инт писал(а):

Возможно, я что-то разъяснил.

Ну, я сейчас сильно не вникал в рассуждения. Одно я понял, что пора переходить к 3 параграфу. Так что давайте я сначала его посмотрю, а потом поговорим.

[Someone]

Рассматриваем следующую ситуацию. Имеются три штуки часов, движущихся по инерции. Первые считаем неподвижными. Вторые пролетают рядом с первыми (событие $A$) со скоростью $v=\frac 45c$ (с этого момента начинается отсчёт времени). Удалившись от первых часов на расстояние 4 световых года, вторые часы встречаются с третьими (событие $B$), летящими им навстречу с такой же скоростью относительно неподвижных часов (в этот момент вторые часы отсчёт времени заканчивают, а третьи начинают). Когда третьи часы пролетают рядом с первыми (событие $C$), отсчёт времени заканчивается. Такая формулировка принята для того, чтобы вопрос об ускорениях вообще не возникал.

Предполагаем также, что часы, отсчитывающие время, раз в секунду излучают радиоимпульс (или, если хотите, сообщают время, протекшее с начала эксперимента). Таким образом, частота отправления сигналов у всех часов равна $\nu_0= 1$ герц.

В системе отсчёта первых часов вторые часы удаляются 5 лет, и ещё 4 года сигнал от события $B$ идёт до первых часов, так что наблюдатель, расположенный около первых часов, принимает сигналы вторых часов в течение $t_1=9$ лет. Согласно формуле релятивистского эффекта Доплера, частота прихода сигналов равна $\nu_1=\nu_0\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}=\frac 13$ герца, поэтому вторые часы по пути к $B$ отсчитают $t_1'=\nu_1t_1=3$ года.

Теперь вторые часы отключаются, и включаются третьи. Они движутся с той же скоростью, что и вторые, поэтому до встречи с первыми им лететь тоже 5 лет, так что весь эксперимент должен занять 10 лет. Поэтому наблюдатель, находящийся около первых часов, будет видеть приближающиеся часы в течение $t_2=1$ года (то же самое получится, если учесть, что сигнал о начале приближения третьих часов придёт через 4 года, а сами часы прибудут, согласно расписанию, через 5 лет). Согласно той же формуле, частота прихода сигналов будет $\nu_2=\nu_0\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}=3$ герца, поэтому третьи часы по пути к $C$ отсчитают $t_2'=\nu_2t_2=3$ года.

Таким образом, неподвижные часы насчитают $t_1+t_2=10$ лет, а движущиеся - $t_1'+t_2'=6$ лет.

Теперь считаем то же самое с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с вторыми и третьими часами (как он пересаживается в точке $B$ - это его проблема).

Удаляясь от $A$ вместе с вторыми часами, этот наблюдатель будет принимать сигнал от первых часов с частотой $\nu_1=\frac 13$ герца, поэтому, с его точки зрения, до пересадки первые часы отсчитают промежуток $t_1''=\nu_1t_1'=1$ год. После пересадки наблюдатель будет приближаться к первым часам, поэтому он будет принимать их сигналы с частотой $\nu_2=3$ герца; с его точки зрения, первые часы на этом этапе отсчитают $t_2''=\nu_2t_2'=9$ лет.

Таким образом, и при таком подсчёте неподвижные часы показывают $t_1''+t_2''=10$ лет, а движущиеся - $t_1'+t_2'=6$ лет.

Munin в сообщении #162304 писал(а):

Сомневаюсь.

Возможно, Вы правы.

[chiba]

Someone писал(а):

Рассматриваем следующую ситуацию. Имеются тра штуки часов, движущихся по инерции.

Спасибо. Все очень доступно и наглядно. Не знаю как это будут воспринимать студенты, но мне понравилось.

Someone писал(а):

Вам никто не предлагает отказываться от этой процедуры. Вам пытаются объяснить, что переход от кусочно инерциального движения, игнорирующего ускорения, к криволинейному движению с ускорением - это чисто математическая процедура, дающая расчётную формулу, но не добавляющая ничего нового к физической сути происходящего.

Моя привязанность к существенной роли этапа ускорения вызвана еще тем, что я недавно заинтересовался возможностью дальнейшего развития СТО и построению на ее основе модели, описывающей движение в неинерциальных системах отсчета. Понятно, что такая модель должна учитывать искривление метрики пространства-времени, и обобщение преобразований Лоренца должно автоматически давать такое искривление. Еще понятно, что такая модель должна быть частным случаем ОТО, но ножки у нее должны расти из СТО. Т.е. в такой модели специальный принцип относительности должен быть обобщен не до общего принципа относительности, а до чего-то менее глобального.
Может быть вы знаете где ведутся работы в данном направлении или публикации на эту тему? Из того, что я откопал в Интернете трудно составить целостную картину об успехах в этой области в основном из-за того что подавляющая часть ссылок это сплошная альтернативщина и подобный ей мусор.

[Someone]

Даже не знаю, что Вам сказать по этому поводу. Дело в том, что с моей точки зрения, как математика, возможность использования произвольных систем координат не имеет никакого отношения к физической сути теории. В частности, не вижу причин, по которым нельзя было бы делать это в СТО (правда, тут могут быть некоторые "сюрпризы"; например, величины, ведущие себя как тензоры по отношению к преобразованиям Лоренца, не обязаны быть таковыми при произвольных преобразованиях координат; но, в конце концов, на СТО можно смотреть как на ОТО без гравитации, точнее, в пространстве-времени Минковского). Однако, по моим наблюдениям, значительная часть физиков подвержена в этом вопросе жуткому догматизму.

Я знаю две публикации на эту тему:

[1] А.А.Тяпкин. ВЫРАЖЕНИЕ ОБЩИХ СВОЙСТВ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ МЕТРИКЕ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. УФН, 106, вып. 4, стр. 617 - 659 (1972).
[2] А.А.Логунов. Лекции по теории относительности и гравитации. Современный анализ проблемы. Москва, "Наука", 1987.

Книга Логунова несколько отягощена последствиями дискуссии об ОТО и РТГ, но на том, что он пишет об СТО, это, мне кажется, сколько-нибудь заметно не сказывается.

Кроме этих работ, мне ещё попадалось в Интернете резюме работы, авторы которой строили теорию на основе "абсолютного" времени и преобразований Галилея, но получили, к своему удивлению, теорию, эквивалентную СТО и воспроизводящую все её результаты, включая эффект близнецов. К сожалению, мои попытки найти это резюме повторно успехом не увенчались.

[chiba]

Someone писал(а):

В частности, не вижу причин, по которым нельзя было бы делать это в СТО (правда, тут могут быть некоторые "сюрпризы"; например, величины, ведущие себя как тензоры по отношению к преобразованиям Лоренца, не обязаны быть таковыми при произвольных преобразованиях координат; но, в конце концов, на СТО можно смотреть как на ОТО без гравитации, точнее, в пространстве-времени Минковского).

Думаю, что здесь вы не правы. Мы не можем пользоваться произвольным преобразованием координат. В СТО такие преобразования ограничены специальным принципом, а в ОТО общим принципом относительности. Вся задача и заключается, во первых, в том, чтобы найти между ними некий промежуточный принцип, а во-вторых, согласно этому принципу ограничить типы рассматриваемых преобразований.

Someone писал(а):

Я знаю две публикации на эту тему …

Спасибо.

Someone писал(а):

Кроме этих работ, мне ещё попадалось в Интернете резюме работы, авторы которой строили теорию на основе "абсолютного" времени и преобразований Галилея, но получили, к своему удивлению, теорию, эквивалентную СТО

Кажется, я тоже натыкался на эту ссылку.

[Munin]

chiba в сообщении #162800 писал(а):

Моя привязанность к существенной роли этапа ускорения вызвана еще тем, что я недавно заинтересовался возможностью дальнейшего развития СТО и построению на ее основе модели, описывающей движение в неинерциальных системах отсчета. Понятно, что такая модель должна учитывать искривление метрики пространства-времени, и обобщение преобразований Лоренца должно автоматически давать такое искривление. Еще понятно, что такая модель должна быть частным случаем ОТО, но ножки у нее должны расти из СТО. Т.е. в такой модели специальный принцип относительности должен быть обобщен не до общего принципа относительности, а до чего-то менее глобального.

Достаточно метрики Риндлера. И нечего тут больше работы вести.

chiba в сообщении #162886 писал(а):

Мы не можем пользоваться произвольным преобразованием координат. В СТО такие преобразования ограничены специальным принципом, а в ОТО общим принципом относительности.

Как преобразования могут быть ограничены общим принципом относительности, если он допускает любые преобразования?

[Шимпанзе]

Цитата:

возможностью дальнейшего развития СТО и построению на ее основе модели, описывающей движение в неинерциальных системах отсчета.

А куда её дальше развивать? Лет 50 уже как описывают движение в ускоренных системах отсчета с применением лишь СТО без ОТО. Посмотрите в учебниках как рассчитывают движения, к примеру ракет, со субсветовыми скоростями.

[Someone]

chiba в сообщении #162886 писал(а):

Думаю, что здесь вы не правы. Мы не можем пользоваться произвольным преобразованием координат. В СТО такие преобразования ограничены специальным принципом, а в ОТО общим принципом относительности.

В ОТО нет общего принципа относительности. Если под ним понимать разрешение пользоваться любыми (достаточно гладкими, а иногда и недостаточно гладкими) системами координат, то для этого никакой "принцип" не нужен. Иногда вместо общего принципа относительности говорят о принципе всеобщей ковариантности, понимая под ним то ли требование, чтобы уравнения теории в любой системе координат имели одинаковую форму, то ли требование, чтобы теория выражалась на геометрическом языке (без координат). Первый вариант, строго говоря, является весьма туманным, поскольку понятие "формы уравнения" не имеет внятного определения. Второй вариант никаких ограничений на теорию не накладывает, поскольку любую теорию можно так выразить (это не моё личное мнение, оно чётко сформулировано в книге Ч.Мизнера, К.Торна, Дж.Уилера "Гравитация", § 12.5; мне это кажется достаточно убедительным).

Что касается СТО, то принцип относительности кажется физически понятным, но при переводе на математический язык превращается в нечто вроде "в системах координат, построенных по определённым правилам, уравнения теории имеют одинаковую форму". Здесь, конечно, опять неясности с "одинаковостью" формы, но это не важно. Важно то, что этот принцип не накладывает, в действительности, никаких ограничений на выбор систем координат. Он просто ничего не говорит о том, какими должны быть уравнения в системах координат, построенных не "по определённым правилам". Если Вы сможете определить правила преобразования величин, входящих в уравнения, при переходе к произвольной системе координат, то какой же "принцип" может Вам это запретить?

[Munin]

Someone в сообщении #162974 писал(а):

Первый вариант, строго говоря, является весьма туманным, поскольку понятие "формы уравнения" не имеет внятного определения.

У Иваненко в Иваненко, Сарданашвили "Гравитация" это было достаточно внятно на мой вкус дано. К сожалению, книга не у меня.

[chiba]

Munin писал(а):

Достаточно метрики Риндлера. И нечего тут больше работы вести.

А нельзя ли поподробнее?

Munin писал(а):

Как преобразования могут быть ограничены общим принципом относительности, если он допускает любые преобразования?

Не любые. Например, во 2 томе Ландау-Лившица в главе «Вращение» приведены преобразования и метрика, которая на больших расстояниях от центра вращения дает скорость объектов больше скорости света. Естественно, что заранее оговаривается пределы применимости данных преобразований. Вообще вращение здесь наверно самый показательный пример.

Шимпанзе писал(а):

А куда её дальше развивать? Лет 50 уже как описывают движение в ускоренных системах отсчета с применением лишь СТО без ОТО. Посмотрите в учебниках как рассчитывают движения, к примеру ракет, со субсветовыми скоростями

Не все так просто как кажется. Во-первых, адекватное применение СТО в неинерциальных системах отсчета невозможно хотя бы потому, что в ИСО пространство и время не плоское. Допускаю, что СТО там может применяться, но только под очень бдительным надзором, оговоренное массой физически разумных ограничений и конечно же только приближенно. Если же вы под применением СТО понимаете локальное применение преобразований Лоренца, т.е. свое в каждой точке, то это уже не СТО.
Во-вторых, я могу поставить задачу, в которой наблюдатель будет изначально неинерциален и в этой задаче меня будут интересовать связи между внутренними характеристиками системы. Например, зависимость силы Кориолиса от радиуса. В-третьих, я не уверен, что сидя в инерциальной системе легко интерпретировать ускоренное движение твердого тела. Опять вернемся к вращению. Каким образом описать зависимость длины окружности или линейной скорости точек диска от радиуса, даже если наблюдатель находится в ИСО? Т.е. конечно это наверняка можно сделать, но мне кажется, что не так это просто.

Someone писал(а):

В ОТО нет общего принципа относительности. Если под ним понимать разрешение пользоваться любыми (достаточно гладкими, а иногда и недостаточно гладкими) системами координат, то для этого никакой "принцип" не нужен.

Как это нет общего принципа? В классике это эквивалентность механических явлений, в СТО – электромагнитных и механических, а в ОТО любых явлений. Думаю, что в ОТО этот принцип напрямую связан со слабым принципом эквивалентности (правда, я не могу этого утверждать с гарантией).
А по поводу разрешения пользоваться любыми системами координат, то я уже приводил пример некорректности данного разрешения выше.

Someone писал(а):

Иногда вместо общего принципа относительности говорят о принципе всеобщей ковариантности, понимая под ним то ли требование, чтобы уравнения теории в любой системе координат имели одинаковую форму, то ли требование, чтобы теория выражалась на геометрическом языке (без координат). Первый вариант, строго говоря, является весьма туманным, поскольку понятие "формы уравнения" не имеет внятного определения.

Вовсе оно и не туманное. Для выполнения принципа ковариантности форма уравнения совсем не причем. Достаточно, чтобы в новых координатах уравнение можно было бы получить заменой старых нештрихованных величин новыми штрихованными. Если это условие не выполняется, то уравнение можно выбросить на свалку (конечно же только с точки зрения рассматриваемой модели).

Someone писал(а):

Важно то, что этот принцип не накладывает, в действительности, никаких ограничений на выбор систем координат. Он просто ничего не говорит о том, какими должны быть уравнения в системах координат, построенных не "по определённым правилам". Если Вы сможете определить правила преобразования величин, входящих в уравнения, при переходе к произвольной системе координат, то какой же "принцип" может Вам это запретить?

А по-моему очень даже накладывает. Во-первых, как следствие принципа относительности – принцип причинности. Он выполняется даже в нерелятивистском случае. В СТО он выбрасывает из рассмотрения пространственноподобные интервалы. Во-вторых, принцип относительности фактически определяет пространство и время, т.е. арену, где рассматриваются все события. В классике, в силу модели дальнодействия, получается пространство относительным, а время абсолютным. В СТО и пространство и время оба относительны. А в ОТО они вообще кривые. В-третьих, преобразования Лоренца прямо выводятся из постулатов Эйнштейна.