Еще раз об аксиоме выбора

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1614146 писал(а):

если дано множество $A$, то я считаю множество $2^A$ совершенно корректно определенным и не зависящим от универсумов или чего бы то ни было еще (а учитывая, что я все еще верю в единственность своего универсума, так тем более).

А вообще интересно, почему так получается?

Мне кажется, что дело в том, что слово "любой" может означать совершенно разные вещи, и от этого никак не избавиться. Например, если я скажу "любое существо", то буду подразумевать земные живые организмы. А кто-то другой будет подразумевать под этим словосочетанием ещё и каких-нибудь злых духов.

Конструктивисты, например, под "любым множеством натуральных чисел" подразумевают только такое, способ построения которого (в виде алгоритма) существует. Но классические математики подразумевают под этим нечто большее, включая туда и "злых духов" в виде множеств, способов построения которых в принципе не существует.

[Den.R.]

epros в сообщении #1614189 писал(а):

Мне кажется, что дело в том, что слово "любой" может означать совершенно разные вещи, и от этого никак не избавиться. Например, если я скажу "любое существо", то буду подразумевать земные живые организмы. А кто-то другой будет подразумевать под этим словосочетанием ещё и каких-нибудь злых духов.

Посмотрим на это, с точки зрения геометрии. Например, на множество всех линий, соединяющих две точки. Если геометрия одномерная, то линия одна. Если она Евклидова, на плоскости, то множество этих линий другое. Если геометрия не конкретизирована, и количество измерений тоже, то третье, и т.д., пусть самое большое. За пределами понимания.
Все эти геометрии, в нашем понимании, в формальном смысле - универсумы. Со своим множеством аксиом и следствий. Точнее, это модели этих универсумов.
Однако же, мы мимоходом, рассматриваем все линии, соединяющие две точки.
Не смотря на все противоречия, в формальной совокупности этих утверждений, из разных геометрий, в одной теории.
Может быть, это слишком большой уровень абстракции. И из него следуют слишком бедные следствия.
Но в педагогическом плане, вполне эффективные. В отличие от..

[mihaild]

Den.R. в сообщении #1614265 писал(а):

Однако же, мы мимоходом, рассматриваем все линии, соединяющие две точки

При этом всегда указывая, в каком объемлющем пространстве мы работаем.

[EminentVictorians]

Хотел бы еще раз вернуться к единственности моего универсума.

Теорема.
Мой универсум $U$ единственен.

Доказательство:

1)Множество наследственно конечных множеств определено единственным образом.
2)Для данных множеств $u, v \in U$ множество $\{u, v\}$ определено единственным образом.
3)Для данного множества $x$ множества $2^x$ и $\cup x$ определены единственным образом.
4)"Образ функционального отношения" из аксиомы 6 определен единственным образом.
5)Все остальные аксиомы на единственность никак не сказываются.

Чтд.

Нормальное же доказательство.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1615330 писал(а):

Мой универсум $U$ единственен

Единственен где? Что это вообще значит?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1615336 писал(а):

Единственен где? Что это вообще значит?

Вспомним определение наследственно конечных множеств. Это индуктивное определение:
1)$\varnothing$ - наследственно конечное
2)если $x_1, ... , x_n$ наследственно конечные, то и $\{x_1, ... , x_n\}$ - наследственно конечное.

Согласны ли Вы, что множество наследственно конечных множеств определено однозначно? Лично я согласен. Где оно определено однозначно - я не знаю, по-моему, это какой-то странный вопрос. Более того, раз оно определено однозначно, я могу взять и присвоить ему какое-нибудь уникальное обозначение, например, букву $\mathbb F$.

Вот если бы я написал определение группы, я бы не мог присвоить ей однозначное обозначение, т.к. оно не определяет группу категоричным образом.

Я могу попробовать догадаться, что Вы спросите меня, в какой конкретно формальной теории я дал это определение. А я отвечу следующее. Разве я обязан непременно выбирать формальную теорию? Я вот как-то не хочу. Что мне надо для определения наследственно конечных множеств? В первую очередь, определение пустого множества.

Определение.
Пустым множеством будем называть множество, в котором нет элементов.

Нормальное определение? По-моему, да. Я не выбирал никакую формальную теорию, чтобы дать такое определение. Я не пользовался аксиомой существования пустого множества, я не выводил его существование из аксиомы бесконечности, я не писал всякие формулы формальной ZFC типа $\exists x\, \forall y\, \lnot (y \in x)$ и так далее. Я просто считаю пустое множество корректно определенным вне контекста, связанного с формальными теориями.

Точно так же я считаю индуктивное определение множества наследственно конечных множеств корректным определением вне контекста, связанного с формальными теориями.

В качестве другого примера можно взять, например, множество термов какой-нибудь формально теории (да хоть той же ZFC). Это тоже индуктивное определение. И на мой взгляд, оно совершенно корректно и однозначным образом определяет некоторое множество строчек в некотором алфавите. Если Вы спросите меня, где оно определено, я не знаю что ответить. Ну в моей психике, например.

Так вот, мой универсум тоже определяется таким индуктивным определением. На мой взгляд, это определение корректно и определяет уникальный (единственный) объект, которому можно присвоить обозначение (ту же букву $U$ например).

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1615342 писал(а):

Это индуктивное определение

В индуктивном определении нужно еще потребовать, чтобы все наследственно конечные множества таким образом получались (т.е. семейство наследственно конечных множеств - минимальное, удовлетворяющее этим двум свойствам), Вы это требуете?

EminentVictorians в сообщении #1615342 писал(а):

Согласны ли Вы, что множество наследственно конечных множеств определено однозначно?

В каждом юниверсуме ZF оно, конечно, единственно. Но в разных юниверсумах они сильно разные.
Я согласен, что любое конечное множество (которое можно записать конечной строчкой в алфавите $\{\},\varnothing$ определено однозначно. Но не больше.

EminentVictorians в сообщении #1615342 писал(а):

Это тоже индуктивное определение. И на мой взгляд, оно совершенно корректно и однозначным образом определяет некоторое множество строчек в некотором алфавите. Если Вы спросите меня, где оно определено, я не знаю что ответить

А я отвечу - в том метаюниверсуме, где мы обо всём этом рассуждаем.
И отсюда и растут ноги теоремы о неполноте - в этом юниверсуме легко могут оказаться строчки, которые мы интуитивно строчками не считаем.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1615349 писал(а):

Вы это требуете?

Да, конечно. Но мне казалось, что минимальность заложена в любое индуктивное определение. Оно же должно определять "те и только те" объекты, которые оно определяет. А это как бы минимальность и есть.

mihaild в сообщении #1615349 писал(а):

Я согласен, что любое конечное множество (которое можно записать конечной строчкой в алфавите $\{\},\varnothing$ определено однозначно.

Т.е. каждое наследственно конечное множество Вы принимаете. А я принимаю еще и множество их всех и все, что получится из него по аксиомам моего универсума.

mihaild в сообщении #1615349 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1615342 писал(а):

Это тоже индуктивное определение. И на мой взгляд, оно совершенно корректно и однозначным образом определяет некоторое множество строчек в некотором алфавите. Если Вы спросите меня, где оно определено, я не знаю что ответить

А я отвечу - в том метаюниверсуме, где мы обо всём этом рассуждаем.
И отсюда и растут ноги теоремы о неполноте - в этом юниверсуме легко могут оказаться строчки, которые мы интуитивно строчками не считаем.

Здесь же речь о совокупности всех термов данной формальной теории. Уж здесь-то где могут быть разночтения?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1615392 писал(а):

Но мне казалось, что минимальность заложена в любое индуктивное определение. Оно же должно определять "те и только те" объекты, которые оно определяет. А это как бы минимальность и есть.

Но это нужно явно проговорить (а иногда и доказать существование минимального).

EminentVictorians в сообщении #1615392 писал(а):

А я принимаю еще и множество их всех и все, что получится из него по аксиомам моего универсума.

Проблема в том, что Вы не сможете потребовать, чтобы в Вашем семействе наследственно конечных множеств были только те, которые Вы признаете строчками.

EminentVictorians в сообщении #1615392 писал(а):

Здесь же речь о совокупности всех термов данной формальной теории. Уж здесь-то где могут быть разночтения?

Что такое терм? Функция из начального отрезка натурального ряда в символы, удовлетворяющая каким-то свойствам. Если натуральные числа нестандартные, то термы получаются странными.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1615426 писал(а):

Что такое терм? Функция из начального отрезка натурального ряда в символы, удовлетворяющая каким-то свойствам.

Это если мы хотим формализовать понятие терма в некоторой формальной метатеории множеств. Но можно ведь и не формализовывать, а просто считать термом такие-то строчки в таком-то алфавите. Просто строки, как чисто графические объекты, а не функции и т.п. Я вот лично в "совокупность строк" (рассматриваемую вне рамок какой-либо формальной метатеории) верю гораздо больше, чем в строки как функции в какой-то формальной теории множеств.

Если что, я хорошо отношусь к формализации термов как функций из начального отрезка натурального ряда в алфавит. Но только при условии, что это мой натуральный ряд. Откуда в нем вообще могут появиться нестандартные натуральные числа? Нестандартные натуральные числа могут быть, если мы считаем натуральными числами некоторую модель арифметики Пеано. Но у меня-то натуральные числа - это конкретное множество.

[mihaild]

Я верю в конкретные строчки в смысле "что-то будет напечатано в математическом журнале". Но в "совокупность всех строк" в таком смысле я не верю.

EminentVictorians в сообщении #1615453 писал(а):

Но у меня-то натуральные числа - это конкретное множество

И аналогично, я не верю ни в какие "конкретные" бесконечные множества без объемлющего юниверсума. Который в свою очередь является частью какого-то метаюниверсума, и там дальше черепахи до самого конца.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1615453 писал(а):

Но у меня-то натуральные числа - это конкретное множество.

Это Вам только кажется.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1615740 писал(а):

Это Вам только кажется.

Если что, речь идет об этом множестве:

$$\mathbb N = \Bigg\{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}, \Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}, \ldots \Bigg\} \eqno$$

Для любого наследственно конечного множества можно алгоритмически проверить, принадлежит оно множеству $\mathbb N$ или нет. По-моему, это уже предел желаний.

Я гораздо больше сомневаюсь в самой идее формализма и в самой логике первого порядка (в том смысле, что покрывает ли она все обычные способы рассуждений в математике), чем в этом множестве.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1615746 писал(а):

Для любого наследственно конечного множества можно алгоритмически проверить, принадлежит оно множеству $\mathbb N$ или нет. По-моему, это уже предел желаний.

Алгоритмически проверить можно, если алгоритм имеет точку останова. Наличие точки останова у алгоритма означает, что количество его шагов составляет натуральное число. Но если это натуральное число окажется нестандартным, то ...

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1615751 писал(а):

Но если это натуральное число окажется нестандартным, то ...

Так это у вас, формалистов, есть все эти заморочки с нестандартными натуральными числами. Конечно, Вы же называете натуральными числами модели арифметики Пеано, верно? И в рассуждениях о натуральных числах Вы можете использовать только аксиомы Пеано и логику первого порядка. Вы не можете доказать (а часто даже сформулировать) теоремы. про которые любой нормальный человек скажет, что они являются теоремами о натуральных числах (типа той же теоремы Гудстейна). Вы сами себе ограничили набор средств и потом удивляетесь, что существуют нестандартные модели.

Но я никак не могу понять, каким образом это все должно относиться ко мне. У меня есть теория множеств, и натуральные числа построены внутри нее. Они являются полностью понятным и обозримым множеством. Откуда там могут возникнуть нестандартные числа?

Если Вы скажете, что есть разные модели ZFC, где натуральные числа могут быть разными, то ко мне это тоже никак не должно относиться. Я же не формалист. Более того, в корректность "словесного" определения наследственно конечных множеств я верю гораздо больше, чем в какие-то там строчки в ZFC.

Короче говоря, мое множество натуральных чисел является гораздо более обозримым и понятным, чем вся история с формализмом и логикой первого порядка. Я это так вижу.

Вот если Вы сможете привести пример множества (которое можно построить в моем универсуме) и рассуждения (которое я посчитаю логичным) такие, что они приводят к противоречию, вот тогда да - я сильно задумаюсь над своим отношением к жизни. Но до тех пор я не вижу ни одного преимущества моего подхода перед Вашим формализмом.