Парадокс равномерного распределения на нат. числах

[epros]

mihaild в сообщении #1614724 писал(а):

epros в сообщении #1614705 писал(а):

Докажите.

Ну ладно, хотя в ПРР вроде должны быть самостоятельные попытки:)

Моей самостоятельной попыткой было предположение о том, что это невозможно.

mihaild в сообщении #1614724 писал(а):

Пусть $x_i \cap x_j = \varnothing$, $\bigcup\limits_{i=1}^\infty x_i = x$, $x_i \in \mathcal F$, $x \in \mathcal F$. Докажем, что $P(x) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(x_i)$.

Да, то, что Вы сейчас написали, Вы доказали. Но утверждение о сигма-аддитивности не содержит допущения, что $\bigcup\limits_{i=1}^\infty x_i \in \mathcal F$. Впрочем, это вопрос терминологии. Я исходил из терминологии, согласно которой сигма-адитивность предполагает, что областью определения функции должна быть сигма-алгебра.

mihaild в сообщении #1614724 писал(а):

Будем по одному выкидывать полуинтервалы, содержащие $n$-е рациональное число, длиной $2^{-n-1}$. Получится убывающая последовательность множеств с пустым пересечением, мера каждого из которых больше $1/2$.

Можете чуть подробнее? Я что-то не пойму. "Выкидывать" откуда, из $[0,1)$? Что значит "полуинтервал, содержащий $n$-е рациональное число"? Это любой полуинтервал заданной длины или его левый край должен строго совпадать с этим числом? Я правильно понял, что начинаем "выкидывания" с полуинтервала длины $1/2$ и на каждом шаге уменьшаем длину вдвое? Что значит "получится убывающая последовательность множеств с пустым пересечением"? Останется после "выкидывания"? В каком смысле "убывающая"? Почему "с пустым пересечением", если следующее рациональное число может оказаться в любом месте?

[realeugene]

epros в сообщении #1614731 писал(а):

Почему "с пустым пересечением", если следующее рациональное число может оказаться в любом месте?

Потому что ваше множество элементарных событий содержит только рациональные числа, и их можно выкинуть все по одному за счётное число шагов.

[epros]

realeugene в сообщении #1614726 писал(а):

epros в сообщении #1614705 писал(а):

Это множество не входит в алгебру событий.

Входит как дополнение конечного множества событий (у вас рациональные числа ограничены единичным отрезком).
Или у вас элементарные события не являются событиями?

Аксиоматика этого не требует. При определении алгебры событий на $[0,1) \cap \mathbb Q$ элементарные исходы в неё не включаем.

-- Чт окт 26, 2023 13:49:51 --

realeugene в сообщении #1614734 писал(а):

epros в сообщении #1614731 писал(а):

Почему "с пустым пересечением", если следующее рациональное число может оказаться в любом месте?

Потому что ваше множество элементарных событий содержит только рациональные числа, и их можно выкинуть все по одному за счётное число шагов.

Я знаю, что все рациональные числа можно выкинуть за счётное количество шагов. Я не понял, какие множества не пересекаются.

[mihaild]

epros в сообщении #1614731 писал(а):

Я исходил из терминологии, согласно которой сигма-адитивность предполагает, что областью определения функции должна быть сигма-алгебра

mihaild в сообщении #1614675 писал(а):

Ваше 6е свойство влечет сигма-аддитивность (для случая, когда объединение измеримо)

epros в сообщении #1614731 писал(а):

Можете чуть подробнее?

Для удобства, ниже $[a, b)$ означает рациональный полуинтервал.
Пусть $q_n$ - нумерация рациональных чисел из $X = [0, 1)$. Пусть $y_n = [\max(0, q_n - 2^{-n-2}), \min(1, q_n + 2^{-n-2})$. Пусть $x_n = X \setminus \bigcup\limits_{i=1}^n y_i$. Тогда $P(x_n) \geqslant \frac{1}{2}$, $x_{n + 1} \subseteq x_n$ и $\bigcap\limits_{i = 1}^n x_n = \varnothing$.

realeugene, тут всё честно - семейство множеств, являющихся конечными объединениями полуинтервалов, образует алгебру.

[realeugene]

epros в сообщении #1614735 писал(а):

Я не понял, какие множества не пересекаются.

Из каждого множества в ряду вырезается очередной кусок экспоненциально меньшей длины, покрывающий очередное рациональное число в ряду рациональных чисел. Суммарная длина остатка, состоящего на каждом шаге из конечного числа полуинтервалов, ограничена снизу $1/2$.

-- 26.10.2023, 13:00 --

mihaild в сообщении #1614737 писал(а):

realeugene, тут всё честно - семейство множеств, являющихся конечными объединениями полуинтервалов, образует алгебру.

Да, разумеется, красивый пример, полностью соответствующий условию.

А зачем левый конец полуинтервала двигать? Можно же взять просто $q_n$.

[epros]

mihaild в сообщении #1614737 писал(а):

Пусть $q_n$ - нумерация рациональных чисел из $X = [0, 1)$. Пусть $y_n = [\max(0, q_n - 2^{-n-2}), \min(1, q_n + 2^{-n-2})$. Пусть $x_n = X \setminus \bigcup\limits_{i=1}^n y_i$. Тогда $P(x_n) \geqslant \frac{1}{2}$, $x_{n + 1} \subseteq x_n$ и $\bigcap\limits_{i = 1}^n x_n = \varnothing$.

Спасибо, так понятно. Только, наверное, $\bigcap\limits_{i = 1}^\infty x_n = \varnothing$. Что ж, это значит, что шестую аксиому придётся выкинуть. Вот я знал, что она нужна только для красоты.

[realeugene]

epros в сообщении #1614743 писал(а):

Что ж, это значит, что шестую аксиому придётся выкинуть.

А как вы собрались интегрировать по Риману со всюду разрывной мерой?

[mihaild]

realeugene в сообщении #1614738 писал(а):

Да, разумеется, красивый пример, полностью соответствующий условию

Вообще это был ответ на Ваши возражения про измеримость атомов, а не описание моего примера:)

epros, а как теперь с Вашими аксиомами определять случайную величину, и интеграл?

[Doctor Boom]

А можно ли конструктивно построить множество ненулевой меры на единичном интервале, чтобы оно не было объединением ненулевых отрезков? (или счетным объединением любых отрезков)

-- 26.10.2023, 19:07 --

Короче чтобы оно не содержало никакой ненулевой отрезок

[epros]

mihaild в сообщении #1614786 писал(а):

epros, а как теперь с Вашими аксиомами определять случайную величину, и интеграл?

А в чём именно проблема? Функция $\xi:\Omega \to \mathbb{R}$ называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел $a$ и $b$ множество таких событий $\omega$, что $\xi(\omega) \in (a,b)$, принадлежит $\mathcal{F}$. Плотность вероятности, очевидно, должна определяться пределом отношения $F(b)-F(a)$ к $b-a$. Интегрирование чего-либо по плотности вероятности подразумевается по Риману, т.е. берём конечные разбиения отрезка и предел соответствующих конечных сумм при стремящемся к нулю диаметре разбиений. Что из этого может не сработать?

[mihaild]

epros в сообщении #1614841 писал(а):

Функция $\xi:\Omega \to \mathbb{R}$ называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел $a$ и $b$ множество таких событий $\omega$, что $\xi(\omega) \in (a,b)$, принадлежит $\mathcal{F}$

Тогда тождественная функция не является случайной величиной на рациональном полуинтервале с алгеброй, порожденной полуинтервалами.

[epros]

mihaild в сообщении #1614847 писал(а):

epros в сообщении #1614841 писал(а):

Функция $\xi:\Omega \to \mathbb{R}$ называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел $a$ и $b$ множество таких событий $\omega$, что $\xi(\omega) \in (a,b)$, принадлежит $\mathcal{F}$

Тогда тождественная функция не является случайной величиной на рациональном полуинтервале с алгеброй, порожденной полуинтервалами.

А чём причина? Только в том, что указано $(a,b)$, а не $[a,b)$?

[dgwuqtj]

epros в сообщении #1614897 писал(а):

А чём причина? Только в том, что указано $(a,b)$, а не $[a,b)$?

Не только, у вас же в алгебру не попадают промежутки с иррациональными концами.

[Doctor Boom]

mihaild
А что насчет моего вопроса?

[dgwuqtj]

Doctor Boom в сообщении #1614830 писал(а):

А можно ли конструктивно построить множество ненулевой меры на единичном интервале, чтобы оно не было объединением ненулевых отрезков? (или счетным объединением любых отрезков)

Тут смотря что вы называете конструктивностью. Множество $[0, 1] \setminus \mathbb Q$ устроит?