Парадокс равномерного распределения на нат. числах

[Doctor Boom]

mihaild
Кстати, если мы будем смотреть на цифры "корректно" определенной равномерной СВ на отрезке, то они должны быть независимы и равновероятны, вот только тогда возможны события $0,01(1)$ и $0,10(0)$, т.е. как бы "вероятность" для чисел вида $\frac{1}{2^n}$ в два раза больше, чем для других. Это нормально, да?

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1615277 писал(а):

Ну дык после "броска" мы будем иметь конкретную последовательность цифр, т.е. определенную реализацию СВ

Какого броска, какая реализация, кто все эти люди?
Я могу выписать общепринятую формализацию чего-то похожего на то, что Вы говорите, но в ней Ваш вопрос будет бессмысленен. Поэтому лучше Вы.

Doctor Boom в сообщении #1615571 писал(а):

т.е. как бы "вероятность" для чисел вида $\frac{1}{2^n}$ в два раза больше, чем для других. Это нормально, да?

Ну да, $0 = 2\cdot 0$.

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1615577 писал(а):

Какого броска, какая реализация, кто все эти люди?

Я не понимаю, что вам непонятного то? Например, как задаем СВ на канторовом множестве - кидаем монетку, попадаем в первую треть или последнюю треть, дальше проделываем для выбранной трети и т.д. после счетного числа бросков будем иметь реализацию нашей СВ, а вся СВ задается этой процедурой. То же самое и для обычной равномерной СВ

mihaild в сообщении #1615577 писал(а):

Я могу выписать общепринятую формализацию чего-то похожего на то, что Вы говорите, но в ней Ваш вопрос будет бессмысленен

Какой вопрос?

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1615582 писал(а):

Какой вопрос?

Doctor Boom в сообщении #1615240 писал(а):

А можно так - взять случайную последовательность нулей и единиц? Это эквивалентно мере Лебега?

[KhAl]

Doctor Boom, ничего не понятно. Например, как для заданного множества определить вероятность попасть в это множество?

[Doctor Boom]

mihaild
Очевидно, что ответ да

KhAl в сообщении #1615612 писал(а):

Doctor Boom, ничего не понятно. Например, как для заданного множества определить вероятность попасть в это множество?

Ну например как предел по частотам

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1615622 писал(а):

Очевидно, что ответ да

Очевидно, что прежде чем отвечать на вопрос, его нужно внятно сформулировать, чего Вы не сделали.

[KhAl]

Doctor Boom предел по чему?

Предел по фильтру видел, предел по направленности видел, предел по частотам — не научили...

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1615624 писал(а):

Очевидно, что прежде чем отвечать на вопрос, его нужно внятно сформулировать, чего Вы не сделали.

Будет ли

Doctor Boom в сообщении #1615267 писал(а):

действительное число вида $0,x_1 x_2 ...$, где $x_i$ - случайное число $1$ или $0$ с равными вероятностями

СВ?

KhAl в сообщении #1615632 писал(а):

Предел по фильтру видел, предел по направленности видел, предел по частотам — не научили...

Пусть имеем $N$ бросков, $K$ из них попали в какую-то измеримую область, тогда вероятность попасть в эту область равна $\lim_{N \rightarrow \infty}\frac{K}{N}$

[KhAl]

Doctor Boom у Вас же были броски монеток, Вы перешли к броскам последовательностей?

Ну ладно. Вы делаете броски монеток, у Вас получаются какие-то последовательности нулей и единиц, а затем и последовательности вещественных чисел (счётное число раз бросили монетку по счётному числу раз...). Для каждой последовательности, которая у Вас может получиться (она же не одна конкретная), будет свой предел $\lim_{N \to \infty} \frac{K}{N}$, а в общем случае предела вообще не будет. Как именно Вы будете среди получившегося бесконечного набора чисел ($\lim_{N \to \infty} \frac{K}{N}$, который может получится для какой-то последовательности) выбирать какое-то конкретное?

[Doctor Boom]

KhAl в сообщении #1615644 писал(а):

которая у Вас может получиться (она же не одна конкретная), будет свой предел $\lim_{N \to \infty} \frac{K}{N}$, а в общем случае предела вообще не будет

Нет, тут нет предела, т.к. мы имеем конкретную последовательность, которая либо принадлежит нашему множеству, либо нет.

KhAl в сообщении #1615644 писал(а):

Как именно Вы будете среди получившегося бесконечного набора чисел ($\lim_{N \to \infty} \frac{K}{N}$, который может получится для какой-то последовательности) выбирать какое-то конкретное?

У нас предел берется по последовательностям, в числителе и знаменателе число последовательностей

[KhAl]

Так, хорошо, так не пойдёт, ещё раз.

Поясните фразу "пусть имеем $N$ бросков, $K$ из них попали в какую-то измеримую область".

Вы имеете в виду, что с помощью Вашей процедуры Вы выбираете $N$ вещественных чисел, а затем считаете, сколько из них попало в множество?

Так вот, Ваша процедура может дать в результате какой угодно набор из $N$ чисел, стало быть, $\frac{K}{N}$ может принимать заданном $N$ какие угодно значения. Так предел чего конкретно берётся?

-- 01.11.2023, 20:36 --

Цитата:

Так вот, Ваша процедура может дать в результате какой угодно набор из $N$ чисел

это, кстати, связано не с тем, что вероятность чего-то больше нуля (как минимум потому что Вы не сказали достаточно внятно, как считать вероятности), а с тем, что сама процедура это чёрт знает что. Я про неё понял только то, что она даёт вещественные числа, вот теперь пытаюсь выяснить, как с помощью Ваших этих "случайных последовательностей" говорить про вероятности.

[Doctor Boom]

KhAl в сообщении #1615665 писал(а):

Так вот, Ваша процедура может дать в результате какой угодно набор из $N$ чисел, стало быть, $\frac{K}{N}$ может принимать заданном $N$ какие угодно значения.

Неа, по ЗБЧ значения будут стремится к (геометрической) вероятности

[KhAl]

Doctor Boom нет, у Вас Ваши определения, которые с ЗБЧ не согласуются. ЗБЧ уже в своей формулировке использует понятие вероятности (соответственно, мы уже знаем, как считать вероятность того, что случайно выбранное число попадёт в заданное множество), а я пытаюсь от Вас узнать, как с Вашим подходом считать эту вероятность.

Можете на примере множества [0; 1/3] продемонстрировать, как Вы считаете вероятность того, что случайно выбранное число $x$ туда попадёт?

-- 02.11.2023, 02:09 --

Doctor Boom писал(а):

Неа, по ЗБЧ значения будут стремится к (геометрической) вероятности

Вопрос не про это вообще.

Смотрите, Вы придумали некоторую конструкцию (говорите, что придумали), которая якобы так же хороша, как мера Лебега на $[0;1]$.

Я смотрю на эту конструкцию, и пытаюсь понять, что это. Это некоторая псевдофизическая система, про которую с математической точки зрения можно мало что сказать. Ну, бросаются монетки, получается последовательность... Может получиться нулевая последовательность? Может, что мешает. Может второй раз получиться нулевая? Может. Может третий раз?... И ответ везде "да" по главному соображению: Вы в своём определении не наложили на эту систему никаких постулатов, которым она должна удовлетворять, и доверили мне угадывать, а моя интуиция говорит, что может. Такое себе определение, из которого доказать ничего нельзя, и приходится угадывать.

Я задаю вопрос — раз уж она и правда так хороша, как с её помощью считать меру?

Вы предъявляете НЕЧТО: надо взять "случайную последовательность вещественных чисел" (по вашим определением это всё ещё непонятно что, вроде может быть любая последовательность?..) а затем найти предел. Какую из множества всех последовательностей нужно брать? Почему бы не нулевую, раз мне так нравится? А если имеется в виду не предел какой-то конкретной последовательности, а Вы у себя в голове держите нестандартное понятие предела, почему бы не вытащить его на поверхность?

Когда я Вам на это указываю, Вы отсылаете к ЗБЧ, потому что там есть похожие слова "последовательность" и "предел". Но у Вас вообще совсем не понятно, что Вы имеете в виду под пределом и какая последовательность (случайная, нет, не важно) имеется в виду. Во-вторых, что бы Вы не имели в виду, оно не будет согласовываться с ЗБЧ, потому что ЗБЧ в своей формулировке уже требует вероятностной меры на каждом шагу (в частности, понятие предела там нестандартное и определяется с помощью меры).

В итоге выходит, что строго определения-то у Вас нет, а есть свободные ассоциации на тему последовательностей и пределов (причём абсолютно непонятно, что такое предел, а Ваша случайная последовательность это вроде как просто последовательность нулей и единиц и что...)

[Doctor Boom]

KhAl в сообщении #1615700 писал(а):

ЗБЧ уже в своей формулировке использует понятие вероятности (соответственно, мы уже знаем, как считать вероятность того, что случайно выбранное число попадёт в заданное множество)

Я тут кстати подумал, а как в таком случае понимать $\lim_{N \to \infty} \frac{K}{N}$, в смысле раскрытия по эпсилон-дельта формализму, ведь всегда существует вероятность при любом числе испытаний получить далекие от реальных соотношений частоты, ну например как ваше

KhAl в сообщении #1615700 писал(а):

Ну, бросаются монетки, получается последовательность... Может получиться нулевая последовательность? Может, что мешает. Может второй раз получиться нулевая? Может. Может третий раз?...

Наверное вероятность такого очень мала, но надо как-то строго показать

KhAl в сообщении #1615700 писал(а):

, а я пытаюсь от Вас узнать, как с Вашим подходом считать эту вероятность.

По пределу. Если предел существует, то значит это и есть вероятность

KhAl в сообщении #1615700 писал(а):

Можете на примере множества [0; 1/3] продемонстрировать, как Вы считаете вероятность того, что случайно выбранное число $x$ туда попадёт?

Могу, чтобы не было слишком просто, будет работать в двоичной системе счисления, тогда так - точка точно попадает в интервал [0; 1/3], если двоичная запись имеет вид $0,00...$, вероятность этого $\frac{1}{4}$, также она точно попадает в интервал, если запись имеет вид $0,0100...$, вероятность этого $\frac{1}{16}$ и так далее, суммирует, получаем $\frac{1}{3}$

KhAl в сообщении #1615700 писал(а):

Это некоторая псевдофизическая система, про которую с математической точки зрения можно мало что сказать. Ну, бросаются монетки, получается последовательность... Может получиться нулевая последовательность? Может, что мешает. Может второй раз получиться нулевая? Может. Может третий раз?... И ответ везде "да" по главному соображению: Вы в своём определении не наложили на эту систему никаких постулатов, которым она должна удовлетворять, и доверили мне угадывать, а моя интуиция говорит, что может. Такое себе определение, из которого доказать ничего нельзя, и приходится угадывать.

Вероятность таких событий будет стремиться к нулю при больших бросках, поэтому ими можно пренебречь

KhAl в сообщении #1615700 писал(а):

Я задаю вопрос — раз уж она и правда так хороша, как с её помощью считать меру?

Как как? Решая каждый раз новую задачу по подсчету меры (одну такую я решил выше). Могу решить другую - пусть есть счетное число чисел, т.е. последовательностей. Доказать, что ее мера равна нулю, т.е. мы никогда не попадем ни в одну последовательность. Доказательство
Докажем, что при любом конечном $N$ числа последовательностей вероятность попасть хоть в одну из них равна нулю. Действительно, вер-ть попасть в первую равна нулю (потому что имеем стремление вероятности к нулю при последовательном прохождении по знакам), также для второй и т.д. Доказали. А теперь из этого факта следует, что это верно и для счетного числа последовательностей. Действительно, пусть это не так, и у нас есть шанс попасть в последовательность, чей номер меньше или равен $K$ (они все пронумерованы), но вер-ть этого равна нулю, получаем противоречие (по сути это свойство непрерывности)