Падение на наклонную плоскость

[Dedekind]

Null в сообщении #1614219 писал(а):

Отсюда - никак. Нужны дополнительные соображения. Что то типа $P_x=F_{\text{трения}}dt$

Ну то есть, я вначале был прав, когда говорил, что из упругого удара этого не вытащить, и нужно дополнительное условие нулевого трения?

Dedekind в сообщении #1614201 писал(а):

Я так понимаю, что это было бы правдой, если бы в условии было сказано, что плоскость абсолютно гладкая. Тогда она бы не действовала касательной силой и, соответственно, не меняла бы компоненту скорости вдоль плоскости.

[мат-ламер]

Dedekind в сообщении #1614217 писал(а):

Как отсюда увидеть, что $\alpha=\beta$

$2\alpha+\beta=\pi\slash 2$ .

[Dedekind]

мат-ламер в сообщении #1614226 писал(а):

$2\alpha+\beta=\pi\slash 2$

Без сомнения. Но как это поможет?

[sergey zhukov]

Dedekind
Упругий удар - это когда энергия сохраняется. Удар точечной частицы о поверхность всегда упругий, даже если трение между ними не равно нулю. Просто сила реакции при таком ударе будет направлена не перпендикулярно поверхности. Т.е. упругость удара не отменяет трения. Вообще, неупругость при ударе возникает из-за неупругой деформации сталкивающихся тел, а не из-за трения по поверхности столкновения.

[Dedekind]

sergey zhukov
Ну я примерно как-то так и думал. Значит, без дополнительного условия на трение, решение из стартового поста все-таки неправильное?

[мат-ламер]

Dedekind в сообщении #1614217 писал(а):

Как отсюда увидеть, что $\alpha=\beta$

Dedekind в сообщении #1614228 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1614226 писал(а):

$2\alpha+\beta=\pi\slash 2$

Без сомнения. Но как это поможет?

Dedekind в сообщении #1614201 писал(а):

Угол наклона плоскости к горизонту $\alpha = 30°$

[Dedekind]

мат-ламер
А, прошу прощения, тут путаница в обозначениях. В этих моих формулах

Dedekind в сообщении #1614214 писал(а):

$$-mv\cos\alpha = P_y + mv\cos\beta$$

$$mv\sin\alpha = P_x + mv\sin\beta$$

где $\alpha , \beta$ - углы падения и отражения (пока считаем, что они разные), $P_y, P_x$ - перпендикулярная и параллельная компонента импульса плоскости после удара.

$\beta$ - это угол отражения, а не тот угол, который обозначен как $\beta$ на рисунке в стартовом посте. Вот так правильно:

И вопрос был в том, как из этих формул понять, что $\alpha = \beta$.
Но я уже понял, что, видимо, никак. Нужно дополнительное условие на гладкость поверхности.

[sergey zhukov]

Dedekind
Ну, в общем да. Когда мы говорим о реакции плоскости, то можем приписать ей перпендикулярность только для плоскости без трения. В общем же случае она (реакция) может быть направлена куда угодно. Вот, скажем если массивная точка падает на наклонную плоскость внутри конуса трения, то теоретически она (частица) должна отскочить от плоскости точно в обратном направлении, хотя выглядит это странновато.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1614231 писал(а):

Упругий удар - это когда энергия сохраняется.

Она всегда сохраняется. При упругом, дополнительно, сохраняется кинетическая.

[Cos(x-pi/2)]

Dedekind
Если исходить из аналогии с задачами механики о движении частицы в "потенциальной яме" той или иной формы, то, по-видимому, термин "наклонная плоскость" следует понимать как указание на подразумеваемую в подобных задачах симметрию упругого взаимодействия частицы с препятствием.

То есть: подразумевается, что в направлениях, параллельных "наклонной плоскости", пространство однородно, и вот поэтому проекции импульса частицы на эти направления сохраняются (если не учитывать ещё и действие силы тяготения $m\vec{g}$ во время взаимодействия частицы $m$ с "наклонной плоскостью"). Подробнее:

В терминах понятия "потенциальная энергия $U(x,y,z)$ взаимодействия частицы с наклонной плоскостью" указанная однородность означает, что $U$ зависит только от перпендикулярной к наклонной плоскости координаты: $U(x,y,z)=U(y).$ Поэтому оказывается отличной от нуля только перпендикулярная к наклонной плоскости компонента вектора силы взаимодействия:

$$F_x=-\frac{\partial U}{\partial x}=0, \qquad F_z=-\frac{\partial U}{\partial z}=0, \qquad F_y=-\frac{\partial U}{\partial y} \,\neq \,0.$$

Разумеется, сила $F_y=-\frac{\partial U}{\partial y}$ отлична от нуля не везде, а лишь в непосредственной близости к "наклонной плоскости", т.е. там, где имеется резкая зависимость $U$ от $y.$ При этом подразумеваемая твёрдость препятствия означает, что величина этой силы очень большая "на стенке потенциальной ямы", вот поэтому силой тяготения и можно пренебрегать: $|F_y|\gg mg$ во время отскока частицы.

[realeugene]

Dedekind в сообщении #1614201 писал(а):

Я так понимаю, что это было бы правдой, если бы в условии было сказано, что плоскость абсолютно гладкая.

Это всегда в подобных задачах предполагается. Что у "плоскости" нет зазубрин, и мячик к ней не прилипает.

-- 23.10.2023, 01:10 --

мат-ламер в сообщении #1614204 писал(а):

Импульс перпендикулярно плоскости сохраняется.

Это следствие отсутствия у плоскости зазубрин.

-- 23.10.2023, 01:19 --

Null в сообщении #1614219 писал(а):

Нужны дополнительные соображения. Что то типа $P_x=F_{\text{трения}}dt$

При наличии проскальзывания с ненулевым трением часть энергии перейдёт в тепло, и удар не будет упругим, что противоречит условию задачи. И, кстати, чтобы удар был упругим, кинетическая энергия вращения на вылете тоже должна быть нулевой. Следовательно, трение равно нулю.

[EUgeneUS]

Dedekind
Кстати, несложно рассмотреть удар, при котором продольная компонента скорости не сохраняется. Даже на уровне "школьной физики".
Откуда и будет видно, что не сохраняться она может только в случае проскальзывания с ненулевым коэффициентом трения, а значит кинетическая энергия сохраняться не будет, а значит удар не будет абсолютно упругим.

[Null]

realeugene в сообщении #1614273 писал(а):

При наличии проскальзывания с ненулевым трением часть энергии перейдёт в тепло, и удар не будет упругим, что противоречит условию задачи. И, кстати, чтобы удар был упругим, кинетическая энергия вращения на вылете тоже должна быть нулевой. Следовательно, трение равно нулю.

Представьте что на поверхности условная выемка и отскок происходит под другим углом - модуль скорости полностью сохранился, но реакция опоры не перпендикулярна поверхности. Отсутствие трения(Нулевая проекция реакции опоры на плоскость) = отсутствие выемок должно явно оговариваться в модели. В любом случае нужно дополнительное условие.

[Dedekind]

Что-то какие-то противоречивые ответы:) Вращение давайте пока не рассматривать, считаем, что падает материальная точка.

EUgeneUS в сообщении #1614283 писал(а):

Кстати, несложно рассмотреть удар, при котором продольная компонента скорости не сохраняется. Даже на уровне "школьной физики".
Откуда и будет видно, что не сохраняться она может только в случае проскальзывания с ненулевым коэффициентом трения, а значит кинетическая энергия сохраняться не будет, а значит удар не будет абсолютно упругим.

Ну вот я на уровне школьной физики записал уравнения сохранения импульса и энергии, где уже учел тот факт, что модуль скорости частицы не меняется:

Dedekind в сообщении #1614214 писал(а):

Вот запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси, перпендикулярную и параллельную плоскости:

$$-mv\cos\alpha = P_y + mv\cos\beta$$

$$mv\sin\alpha = P_x + mv\sin\beta$$

где $\alpha , \beta$ - углы падения и отражения (пока считаем, что они разные), $P_y, P_x$ - перпендикулярная и параллельная компонента импульса плоскости после удара.
И закон сохранения энергии:

$$mv^2 = mv^2 + \dfrac{P_x^2 + P_y^2}{M}$$

где $M$ - масса плоскости.

С уравнением энергии разобрались: хотя компоненты импульса плоскости могут быть ненулевыми, но масса ее бесконечна, поэтому второе слагаемое справа равно нулю и энергия сохраняется. Больше отсюда я не вижу, что можно вытащить. Остались только эти два уравнения:

$$-mv\cos\alpha = P_y + mv\cos\beta$$

$$mv\sin\alpha = P_x + mv\sin\beta$$

EUgeneUS, подскажите, пожалуйста, как их них показать, что $P_x=0$?

-- 23.10.2023, 07:07 --

realeugene в сообщении #1614273 писал(а):

При наличии проскальзывания с ненулевым трением часть энергии перейдёт в тепло, и удар не будет упругим, что противоречит условию задачи.

Можете, пожалуйста, помочь это увидеть из формул?

[sergey zhukov]

Можно, кстати, моделировать ситуацию "падения материальной точки" на практике: взять тяжелый гироскоп с достаточно тонкой осью и уронить его на наклонные направляющие. Если угол наклона плоскости не слишком крутой, похоже, что гироскоп должен отскочить обратно, как от горизонтальной плоскости.