Еще раз об аксиоме выбора

[epros]

mihaild в сообщении #1614078 писал(а):

Если у нас есть алгоритм, то множество входов, на которых он говорит "да", перечеслимо. Это практически определение перечислимости.

Ну, определение дано для алгоритма, принимающего на вход натуральные числа. С другой стороны, все строки алфавита можно пронумеровать лексикографически и подавать на вход алгоритма не коды, а номера строк. Так что тут Вы, пожалуй, правы.

Тут вот ещё в чём вопрос: Известно, что множество конструктивных действительных чисел неперечислимо. Насколько я помню, доказательство похоже на диагональный аргумент Кантора. Тогда возникает вопрос, в каком смысле оно является "множеством", если, как оказалось, даже алгоритм проверки того, что это - конструктивное действительное число, построить не получится?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1614095 писал(а):

Где Вы её взяли?

Сначала я доказал, что множества $\mathbb N_0$, $\mathbb N$ и $\{0, 1\}$ принадлежат моему универсуму. Раз они принадлежат, значит декартово произведение $\mathbb N_0 \times \{0, 1\}$ и булеан $2^{\mathbb N_0 \times \{0, 1\}}$ этого декартова произведения тоже принадлежат моему универсуму.

Рассмотрим произвольную функцию $f$ вида $\mathbb N \to \{0, 1\}$. График $G_f \in 2^{\mathbb N_0 \times \{0, 1\}}$, а значит он принадлежит универсуму.

Сама функция $f$ - это по определению упорядоченная тройка $(\mathbb N, G_f, \{0, 1\})$. Все элементы этой тройки принадлежат универсуму, а значит и сама функция $f$ принадлежит универсуму.

В виду произвольности выбора функции $f$ получаем, что любая такая функция принадлежит универсуму. Чтд.

Я правда не понимаю, в чем проблема с таким рассуждением.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1614133 писал(а):

Рассмотрим произвольную функцию $f$ вида $\mathbb N \to \{0, 1\}$.

А как Вы рассматриваете "произвольную функцию"? Я так не умею, я только произвольную функцию из того или иного юниверсума рассматривать умею.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1614137 писал(а):

А как Вы рассматриваете "произвольную функцию"? Я так не умею, я только произвольную функцию из того или иного юниверсума рассматривать умею.

Могу еще подробнее расписать.

Определение 1.
Будем говорить, что множество $X$ является подмножеством множества $Y$, если $(\forall x \in X) x \in X \Rightarrow x \in Y$.

Определение 2.
Отношением $C$ между множествами $A$ и $B$ будем называть любое подмножество $C \subset A \times B$.

Определение 4.
Функциональным отношением между множествами $A$ и $B$ будем называть такое отношение $C$ между ними, которое удовлетворяет двум условиям:
1)$(\forall a \in A) (\exists b \in B): (a, b) \in C$
2)если $(a, b) \in C$ и $(a, b') \in C$, то $b = b'$.

Определение 5.
Функцией $f:A \to B$ называется упорядоченная тройка $(A, G_f, B)$, где $A, B, G_f$ - множества, причем $G_f$ является функциональным отношением между множествами $A, B$.

Покажем, что определение функции корректно, в том смысле, что для любых двух наперед заданных множеств $A$ и $B$ любая функция $f:A \to B$ также является множеством.

Легко показать, что $\{A\}, \{B\}, A \times B, 2^{A \times B}, \{A\} \times 2^{A \times B} \times \{B\}$ - тоже множества.
Функция $f: A \to B$ - суть упорядоченная тройка $(A, G_f, B)$, где $G_f$ - "функциональное" отношение между $A$ и $B$.
Это значит, что $f \in \{A\} \times 2^{A \times B} \times \{B\} \in U \Rightarrow f \in U$ Чтд.


Получается, что любая функция $f: A \to B$ является элементом множества $ \{A\} \times 2^{A \times B} \times \{B\} $. Следовательно, совокупность $\operatorname{hom}(A, B)$ всех функций вида $A \to B$ является подмножеством множества $ \{A\} \times 2^{A \times B} \times \{B\} $. Тем самым, мы доказали, что $\operatorname{hom}(A, B)$ - корректно определенное множество.



Я не вижу разницы между "рассмотрим произвольный элемент $x$ множества $X$" и "рассмотрим произвольную функцию $f$ множества $\operatorname{hom}(A, B)$" (разве что вторая формулировка - частный случай первой).

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1613847 писал(а):

человеческий мозг плохо понимает формализмы.

И легкомысленно относится к ним

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1614141 писал(а):

Легко показать, что $\{A\}, \{B\}, A \times B, 2^{A \times B}, \{A\} \times 2^{A \times B} \times \{B\}$ - тоже множества.

Гм, покажите, пожалуйста. (Про булеан не надо - это просто аксиома.)

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1614141 писал(а):

Я не вижу разницы между "рассмотрим произвольный элемент $x$ множества $X$" и "рассмотрим произвольную функцию $f$ множества $\operatorname{hom}(A, B)$"

Я тоже не вижу.
Проблема в том, что я и "множество всех подмножеств данного множества" рассматривать не умею. Только "множество всех подмножеств данного множества, входящих в данный юниверсум".

Geen в сообщении #1614144 писал(а):

Гм, покажите, пожалуйста. (Про булеан не надо - это просто аксиома.)

$\{A\}$ получается из аксиомы выделения: $\{A\} = \{x \in 2^A | x = A\}$. Декартово произведение чуть сложнее, но для двух (и соответственно конечного числа) тоже делается (в основном аксиомой замены).

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1614145 писал(а):

$\{A\}$ получается из аксиомы выделения: $\{A\} = \{x \in 2^A | x = A\}$.

Еще вроде бы можно через аксиому пары: Берем $X=A$ , $Y = A$. По аксиоме пары $\{X, Y\} = \{A, A\} = \{A\}$ - множество.

mihaild в сообщении #1614145 писал(а):

Проблема в том, что я и "множество всех подмножеств данного множества" рассматривать не умею. Только "множество всех подмножеств данного множества, входящих в данный юниверсум".

Похоже это и есть конечная остановка. У меня тут презумпция железная: если дано множество $A$, то я считаю множество $2^A$ совершенно корректно определенным и не зависящим от универсумов или чего бы то ни было еще (а учитывая, что я все еще верю в единственность своего универсума, так тем более).

А вообще интересно, почему так получается? Чем мой способ плох? Это же явный пример, показывающий, что ZFC не в полной мере отражает обычную повседневную математическую деятельность.

-- 21.10.2023, 13:34 --

EminentVictorians в сообщении #1614146 писал(а):

если дано множество $A$,

На всякий случай: "дано множество $A$ " $=$ "доказано, что множество $A$ существует в моем универсуме".

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1614146 писал(а):

то я считаю множество $2^A$ совершенно корректно определенным и не зависящим от универсумов или чего бы то ни было еще

А я умею доказывать, что в разных юниверсумах оно будет разным.
И поскольку хорошо известно, что всегда будут вопросы, на которые Вы ни отрицательный, ни положительный ответ доказать не сможете, я не вижу, в каком смысле можно сказать, что Вы задаете единственный юниверсум.

EminentVictorians в сообщении #1614146 писал(а):

Это же явный пример, показывающий, что ZFC не в полной мере отражает обычную повседневную математическую деятельность

В чем проблема? Есть утверждения, не зависящие от ZFC, но их среди интересных пока обнаружено не очень много.
Если обнаружится, что что-то земное, вроде P vs NP, тоже не зависит от ZF, то будет интересно.

[Geen]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1614145 писал(а):

$\{A\}$ получается из аксиомы выделения: $\{A\} = \{x \in 2^A | x = A\}$

... до этого я верил, что ру википедия не сильно врёт про математику

mihaild в сообщении #1614145 писал(а):

Декартово произведение чуть сложнее

Ну вот мне и показалось, что не совсем "легко показать"

[mihaild]

Geen в сообщении #1614148 писал(а):

Ну вот мне и показалось, что не совсем "легко показать"

На идейном уровне всё просто. Технически, нам нужно
1. С помощью аксиомы преобразования сделать из $A$ и $B$ какие-то непересекающиеся $A'$ и $B'$, из элементов которых восстанавливаются исходные.
2. Взять $2^{A' \cup B'}$.
3. Выделить из него двухэлементные подмножества, содержащие элемент из $A'$ и элемент из $B'$.
4. Еще раз с помощью аксиомы преобразования из каждого $\{a', b'\}$ сделать $\langle a, b\rangle$.
Получится декартово произведение.

Geen в сообщении #1614148 писал(а):

до этого я верил, что ру википедия не сильно врёт про математику

А что не так?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1614147 писал(а):

В чем проблема?

Мне казалось, что ZFC устроена так, чтобы большинство доказательств из обычной математики формализовались в ней в практически неизменном виде. А я, получается, даже множество всех подмножеств нормально рассмотреть не могу - куда это годится?...

[mihaild]

Так большинство доказательств и не интересуются тем, "настоящее" ли множество всех подмножеств или нет.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1614172 писал(а):

Так большинство доказательств и не интересуются тем, "настоящее" ли множество всех подмножеств или нет.

Хорошо, с этим согласен. Но с ZFC все равно во что-то верить придется: в формальный подход, формальную логику, непротиворечивость ZFC в конце концов. По-моему, уж лучше верить в "обозримость и кристально чистую определенность" булеана для данного множества.

[mihaild]

Я верю (приписываю субъективную околоединичную вероятность) в непротиворечивость ZFC в том смысле, что 1) я никогда не наткнусь на противоречие в ZFC; 2) никогда не станет консенсусно принято, что ZFC противоречива. Верить в математические утверждения считаю странным. А уж в "определенность булеана" вообще невозможным.