Небольшое замечание

[mihaild]

С тем, что это доказательство. Там какие-то "варианты записи", какие "может быть", которые невозможно расписать в нормальный формальный вывод.

[dick]

В то, что Вы не поняли что там написано, извините, не верю. Ну а реакция - дело хозяйское.

[mihaild]

Так а что Вы хотите? Чтобы Вам указали на ошибку в доказательстве? Ну так я указал - нет у Вас никакого доказательства. Оно могло бы иметь вид "вот у нас такое решение, по нему построим другое" (почти все доказательства утверждений вида "если есть такое решение, то есть и такое" имеют такой вид), могло бы какой-то другой. Но не какие-то невнятные "может быть".
То же самое Вам скажет любой хотя бы минимально разбирающийся в математике человек. Ну а если Вам не нужны ответы от таких людей, то см. первое предложение этого поста.

[dick]

Предположим, что при некоторых натуральных числах $x,y,z$, где $x$ не делится на 3, а $z$ и $y$ - разной четности, выполняется равенство: $x^3+y^3=z^3$ (1);
Если $z,y$-соседние числа, то при заданных условиях, (1) можно переписать в виде: $x^3=1^3((1^3)^2+3zy)=1(1+3zy)$ (1.2), где $1+3zy$ это куб.
Но если выполняется (1.2), то умножая в (1.2) $x,y,z$ на произвольное натуральное число $k$, мы получим неограниченное множество решений (1), и все соответствующие этим решениям нечетные кубы $(z-y)>1$.
Если же напротив, (1.2) не имеет решений, то и (1) не имеет решений в натуральных числах, поскольку, умножая части неверного равенства, нельзя получить верное.

[mihaild]

dick в сообщении #1614900 писал(а):

Если же напротив, (1.2) не имеет решений, то и (1) не имеет решений в натуральных числах, поскольку, умножая части неверного равенства, нельзя получить верное

Не показано, что любое решение (1) получается из решения (1.2) умножением на какое-то число. И вроде бы ровно это с Вами уже обсуждали (хотя может быть и не с Вами, идея популярная - если не с Вами, то попробую найти, с кем).
Аналогичное рассуждение:
Докажем, что уравнение $2x = y$ не имеет решения в натуральных числах. Рассмотрим два случая: $y = 1$ и $y \neq 1$. В первом случае очевидно решений нет. А т.к. при домножении неверного (для $y = 1$) равенства на произвольное натуральное число $k$ получить верное равенство нельзя, то и в случае $y \neq 1$ решений нет.

[vxv]

mihaild в сообщении #1614920 писал(а):

dick в сообщении #1614900 писал(а):

Аналогичное рассуждение:
Докажем, что уравнение $2x = y$ не имеет решения в натуральных числах. Рассмотрим два случая: $y = 1$ и $y \neq 1$. В первом случае очевидно решений нет. А т.к. при домножении неверного (для $y = 1$) равенства на произвольное натуральное число $k$ получить верное равенство нельзя, то и в случае $y \neq 1$ решений нет.

А если
Докажем, что уравнение $2y = y$ не имеет решения в натуральных числах. Рассмотрим два случая: $y = 1$ и $y \neq 1$. В первом случае очевидно решений нет. А т.к. при домножении неверного (для $y = 1$) равенства на произвольное натуральное число $k$ получить верное равенство нельзя, то и в случае $y \neq 1$ решений нет.

Или
$3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3$ (5)
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^3$ (6) – наименьший куб ($x=1$).

[mihaild]

vxv в сообщении #1614949 писал(а):

А если

Тут важно следующее: раз предложенный метод доказательства умеет доказывать неверные утверждения, то это плохой метод. То, что он умеет доказывать еще и некоторые верные утверждения - неинтересно.

[vxv]

mihaild в сообщении #1614920 писал(а):

Аналогичное рассуждение:
Докажем, что уравнение $2x = y$ не имеет решения в натуральных числах. Рассмотрим два случая: $y = 1$ и $y \neq 1$. В первом случае очевидно решений нет. А т.к. при домножении неверного (для $y = 1$) равенства на произвольное натуральное число $k$ получить верное равенство нельзя, то и в случае $y \neq 1$ решений нет.

Способ замены независимой переменной $x$ (аргумента) на зависимую переменную $y$ с выходом из ОДЗ- натуральный ряд, при использовании метода, тоже не представляет интереса (на мой взгляд).

[dick]

Забавно. Только зачем все это? Ведь у Вас есть конкретное гипотетическое равенство. Демонстрируйте возражения на нем.

[mihaild]

А Вы читаете, что Вам пишут? Первым же предложением написано

mihaild в сообщении #1614920 писал(а):

Не показано, что любое решение (1) получается из решения (1.2) умножением на какое-то число

Дальше пояснения.
Продемонстрировать контрпример к теореме Ферма я, к сожалению, не могу.

[dick]

Предположим, что при некоторых натуральных, взаимно простых числах $x_1,y_1,z_1$, где $x_1$ не делится на 3, а $z_1$ и $y_1$ - разной четности, выполняется равенство: $x^3+y^3=z^3$ (1); Если выполняется (1), то выполняется:
$x_1^3=(z_1-y_1)((z_1-y_1)^2+3z_1y_1)$ (1.1); где скобки правой части – кубы.
Предположим что $z_1,y_1$-соседние числа. Тогда $(z_1-y_1)=1$ и выполняется:
$x_1^3=1+3z_1y_1$ (1.2);
Если единица это основание куба $(z_1-y_1)$, то из решения (1.1) можно получить большее решение, умножив $x_1, y_1, z_1$ на нечетное натуральное число $k$:
$(kx_1)^3=(kz_1-ky_1)(( kz_1-ky_1)^2+3k^2z_1y_1)$ (1.3.1);
Если единица это куб $(z_1-y_1)$, то из решения (1.1) можно получить большее решение, умножив $x_1,y_1,z_1$ на нечетное натуральное число $k$, являющееся кубом натурального числа $k_0$:
$(k_0^3x_1)^3=(k_0^3z_1-k_0^3y_1)(( k_0^3z_1-k_0^3y_1)^2+3(k_0^3)^2z_1y_1)$ (1.3.2);
Учитывая оговоренные выше условия, а также определение чисел $k$ и $k_0$, можно утверждать, что из решения (1.2) можно получить любое натуральное решение больше (1.2).

[mihaild]

dick в сообщении #1617813 писал(а):

можно утверждать, что из решения (1.2) можно получить любое натуральное решение больше (1.2)

Нет, нельзя. Вы из решения с $z_1 - y_1 = 1$ получаете какое-то еще решение. Нет даже попыток показать, что так можно получить любое решение.

[dick]

Я же сказал, любое больше (1.2). А Вы считаете что есть натуральные решения меньше (1.2)? Поделитесь.

[mihaild]

dick в сообщении #1617887 писал(а):

Я же сказал, любое больше (1.2). А Вы считаете что есть натуральные решения меньше (1.2)?

А я вообще не умею сравнивать решения с уравнениями. И давайте без "вы считаете, что есть решения". Я в курсе, что решений вообще нет, но пользоваться этим фактом для доказательства нельзя.

Ошибка в том, что всё еще не показано, что если есть решение (1.1) с $z_1 - y_1 > 1$, то есть решение и с $z_1 - y_1 = 1$. Показано другое - что если есть решение с $z_1 - y_1 = 1$, то для любого $k$ есть решение с $z_1 - y_1 = k$ (на самом деле даже это не показано, т.к. изначально было требование взаимной простоты, ну да ладно).

[dick]

Согласен, что решение с $z_1-y_1>1$ не может быть кратным решению с $z_1-y_1=1$. Иначе говоря, все возможные тройки чисел решения для случаев $z_1-y_1=1$ и $z_1-y_1>1$ не имеют совпадений, в том числе для не примитивных решений. Кроме одного. Примитивное решение для случая $z_1-y_1>1$ может быть представлено кубом слева и справа равенства (1.1). Умножением решения с $z_1-y_1=1$ на основание куба можно получить не примитивное решение. Но это же не примитивное решение будет таковым и для решения с $z_1-y_1>1$, в этом случае не примитивное решение с $z_1-y_1>1$ будет получено умножением на основание куба $1+3z_1y_1$.