Теор. вероятностей: противоречие

[Евгений Машеров]

melnikoff в сообщении #1609199 писал(а):

У вас есть 3 друга в Тбилиси. Вы позвонили каждому из них и все они сказали, что сейчас в Тбилиси идёт дождь.
Вероятность сказать правду для каждого друга – $\frac{2}{3}$.
Какова вероятность, что сейчас в Тбилиси действительно идёт дождь?

Введём обозначения:
$A$ – в Тбилиси идёт дождь;
$B$ – все трое друзей из Тбилиси сказали, что идёт дождь.

По теореме Байеса:
$P\{A | B\} = \frac{P\{B | A\} P\{A\}}{P\{B\}} = \frac{P\{B | A\} P\{A\}}{P\{B | A\}P\{A\} + P\{B | \overline{A}\}(1 - P\{A\})} = \frac{8P\{A\}}{7P\{A\} + 1}$
То есть мы не можем ответить на вопрос, не зная вероятности того, что в выбранный день идёт дождь. И это интуитивно понятно.

Но вот как решили эту задачку вот здесь.
Все друзья ответили одинаково. А это значит, что они все либо врут, либо говорят правду.
Ограничим все возможные исходы этими двумя случаями.
Вероятность реализации второго случая (когда все говорят правду) равна $\frac{(\frac{2}{3})^3}{(\frac{2}{3})^3 + (\frac{1}{3})^3} = \frac{8}{9}$.
И вот тут автор говорит, что это и есть вероятность того, что все друзья говорят правду, то есть и вероятность того, что в Тбилиси идет дождь.

Понятно, что оба подхода не могут быть верны хотя бы потому, что в противном случае мы можем из воздуха вычислить частоту дождей в Тбилиси.
Где ошибка?

Ошибки нет. Разные ответы, потому что разные задачи.
Первый ответ - вычисление вероятности события, на основе априорной вероятности и сигналов датчиков с ошибками.
Второй ответ - вычисление вероятности ошибки при использовании нескольких датчиков с ошибками.

[vacsol]

Какие 2 задачи? Замените слово тбилиси на антарктида- сколько задач будет?
Закройте уже этот топик.

[sergey zhukov]

Евгений Машеров
Да, все правильно. Если бы изначально их (эти задачи) так и разделили, то вопросов нет. А если одну задачу неявно подменяют другой, то это уже непорядок.

[TOTAL]

У вас есть 3 друга в Тбилиси. Вы позвонили каждому из них и все они сказали, что сейчас в Тбилиси идёт дождь.
Вы положили трубку, но посыпались новые звонки от друзей (и от друзей этих друзей) с сообщениями о дожде.
Какова вероятность, что друзья прекратят звонить про этот проклятый дождь?

[ozheredov]

У вас есть $3 - 128j$ друга в Тбилиси. Вы позвонили каждому из них, и они попросили больше не звонить. Какова вероятность, что вас отпустит трава?

[realeugene]

ozheredov в сообщении #1610740 писал(а):

Какова вероятность, что вас отпустит трава?

Какова вероятность, что это уже не трава, но вы забыли, что именно?

[TOTAL]

Вам из Тбилиси позвонил дождь и сообщил, что из окна на него пялятся какие-то три типа. Какова вероятность, что это ваши друзья?

[Doctor Boom]

epros в сообщении #1609612 писал(а):

Нет

А если взять задачу из исходного поста ТС, вы согласны, что априорное распределение вероятностей того, что в Тбилиси дождь, можно заменить на априорную вероятность дождя, равную матожиданию данного распределения вероятностей?
Интересно, а если взять не дождь, а утверждение об истинности гипотезы Римана (при условии, что друзья в Тбилиси определились с ней)? Тут же нельзя корректно ввести вероятности . Хотя можно попытаться.
Например, если друзья говорят об определенной истинности гипотезы Римана, то можно положить, что априорная вероятность такой истинности равна $0.1$ (а не скажем $0.5$). Тогда мы получим, что скорее всего она верна.
По сути мы имеем игру, найти как можно меньшую априорную вероятность истинности $p$, что апостериорная вероятность $q$ была как можно больше при заданных условиях. Чтобы иметь максимально верное суждение. Что думаете?

[sergey zhukov]

Doctor Boom
$P(A/B)=P(A)\frac{P(B/A)}{P(B)}$. $P(A/B)$ просто пропорциональна $P(A)$ при заданных условиях. С чем тут "играть"?

[Doctor Boom]

sergey zhukov
И как вы посчитаете $P(B)$ не через $P(A)$?

[Droog_Andrey]

В урне лежат 5 чёрных и 5 белых шаров. Какова вероятность наугад вытащить чёрный шар?

TOTAL и epros спокойно ответят, что $\frac12$.

Остальные начнут с пеной у рта спорить, что у нас нет априорных вероятностей, что вдруг белые лежат снизу, а чёрные сверху, а вдруг там сверху ещё слой красный, а вдруг в коробке идёт дождь, и так далее.

[EUgeneUS]

Droog_Andrey в сообщении #1611470 писал(а):

Остальные начнут с пеной у рта спорить, что у нас нет априорных вероятностей,

Почему же. У нас есть априорные вероятности. А именно: априорная вероятность вытащить конкретный шар одинакова для всех шаров и равна $\frac{1}{6}$. Насколько понимаю, именно это и подразумевается под фразой "вытащить наугад".

[Doctor Boom]

Droog_Andrey
Какова вероятность встретить динозавра на улице?

[sergey zhukov]

Droog_Andrey
Вы же сами понимаете, что этот пример не совсем про то. Вот если бы вам сказали, что в урне неизвестно сколько черных и неизвестно сколько белых шаров, тогда было бы то, что мы обсуждали.

А так-то вообще нужно с чего-то начинать. Я бы тоже начал с $\frac{1}{2}$.

[Утундрий]

EUgeneUS в сообщении #1611472 писал(а):

Насколько понимаю, именно это и подразумевается под фразой "вытащить наугад".

Не факт. Возможно имеется в виду, что шар нужно будет вытащить на вершину горы Угад. И тогда уже действительно важно, идёт ли на её склонах дождь.