Какое решение уравнения?

[Nxx]

В приведенной работе сказано, что такие уравнения возникают при моделировании инфекций и при рачете движения заряженных частиц.

Про тетрацию и все остальное могу сказать, что ценность функции для приложений определяется прежде всего ее свойствами (функциональными и дифференциальными уравнениями, которым она удовлетворяет). Свойства тетрации исследованы мало и даже не на всех действительных аргументах для нее есть общепринятое определение - что ж вы хотите? Когда появятся четкие свойства - тогда можно говорить и о применении.

[Sonic86]

Пардон, я проверил. Я думал там экспонента есть - нету ее.

[Brukvalub]

ddn в сообщении #145457 писал(а):

Вообще, всяческие тетрации и многократные композиции одной функции не имеют вообще никаких реальных приложений, да и в абстрактной математике могут встречаться лишь в теории роста функций (вещественных либо рекурсивных).

Так я и поверил! Итерации рациональных функций, экспонент и т.п. в комплексной плоскости давно и плодотворно изучаются, эта область знаний даже имеет специальное название: "Голоморфная динамика" (см., например, монографию http://www.urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&lang=Ru&blang=ru&list=50&page=Book&id=1663 ).

[Sonic86]

Да, действительно. Есть частотная модуляция в радиотехнике.
Модулированный сигнал выглядит примерно как $\sin (At + B \sin(\omega t))$.

[Nxx]

$ g(-g(x)-1)=\log_{\sqrt{2}}(-x) $

[maxal]

Nxx, не плодите без нужды темы. Объединяю с предыдущей вашей темой об уравнениях.

[Nxx]

Грубо говоря, мне нужно доказать, что решения уравнений

$ 1-f(-\log_{\sqrt{2}}(f(x)))=x $

$ g(-g(x)-1)=\log_{\sqrt{2}}(-x) $


совпадают или различаются.

Для первого уравнения я сделал замену $f(x)=(\sqrt{2})^{-s(x)}$
и получил $s(s(x))=\log_{\sqrt{2}}(1-x)$. Для второго сделал замену $u(x)=-g(x)-1$ и получил $u(u(x))=-\log_{\sqrt{2}}(-x)-1$. Что делать дальше я не знаю.

[zoo]

Рассмотрим при $t\ge 0$ следующую задачу
$\dot x(t)=x(x(t)),\quad x(0)=c>0$ (Она обсуждалась на этом форуме)

Заметим, что если $x(t)$ -- решение, то должно быть определено $x(c)$ иначе правая часть уравнения не имеет смысла при $t=0$. Таким образом решение задачи следует рассматривать на промежутке не меньшем чем $[0,c]$

Теорема. Если $c>1$ то решений задача не имеет.

Доказательство разобьем на несколько утверждений.
Предположим существует решение $x(t)$.

Утв. 1. Решение $x(t)>0$ на всем своем промежутке существования.

Док-во.
Предположим $x(t)$ -- решение. Покажем, что $x(t)> 0$. Действительно, допустим найдется точка $t'$ в которой $x(t')=0$ и $x(t)>0$ при $t\in [0,t')$.
Тогда $\dot x(t')=c>0$ и $x(t)$ возрастает в окрестности $t'$, что невозможно. чтд

Утв. 2. $\dot x(t)\ge c$ на всем своем промежутке существования.

Док-во.
Из предыдущего Утв. следует, что $\dot x(t)>0$ следовательно решение возрастает, но т.к. $x(0)=c$, имеем $x(t)\ge c$ и соответственно $\dot x(t)\ge c$. чтд

Утв. 3. Если $c\ge 1$ то решение, коль скоро оно существует, определено на $[0,+\infty)$.

Док-во.
Следует из Утв. 2 и самой задачи. чтд


Док-во теоремы.
Проверим по индукции, что $x(t)\ge c^nt+c$ при любом $t>0$ и любом $n\in\mathbb{N}$. Эта формула очевидно противоречива.
Из Утв. 2 следует, что $x(t)\ge ct+c$.
Предположим, неравенство верно для $n$, тогда, получаем:
$x(x(t))\ge c^nx(t)+c\ge c^{2n}t+c^{n+1}+c $, тогда само уравнение дает:
$x(t)\ge c+c^{n+1}t+...$ чтд

[maxal]

zoo, замечание за дублирование тем!

[zoo]

[quote="maxal"][/quote]
По крайней мере, на этот раз Вы при объединении моих тем не проявили столь очевидной некомпетентности, как до этого. Речь действительно идет об одном и том же уравнении.

[maxal]

zoo, строгое предупреждение за обсуждение действий модератора! Хотите обсудить пишите в ЛС или в Работу форума.

[PAV]

PAV:

zoo, учитывая, что это далеко не первое замечание и за хамство, и за обсуждение действий модераторов, и за дублирования тем - бан на 10 дней. По совокупности.
Предупреждаю, что подобное поведение на этом форуме долго терпеть не будут.
Если не смените тон - рискуете получить постоянный бан.

[Tronter]

Решите уравнение в целых числах:
$x^3 - x = 2008$

[Brukvalub]

Уже здесь решали, да и плоскость 2008 прямыми разбивали. Второй раз - неинтересно.

[Шариков]

maxal писал(а):

Статья по теме: Smooth Solutions of Iterative Functional Differential Equations

Спасибо.