Рассмотрим при

следующую задачу

(Она обсуждалась на этом форуме)
Заметим, что если

-- решение, то должно быть определено

иначе правая часть уравнения не имеет смысла при

. Таким образом решение задачи следует рассматривать на промежутке не меньшем чем
Теорема. Если

то решений задача не имеет.
Доказательство разобьем на несколько утверждений.
Предположим существует решение

.
Утв. 1. Решение

на всем своем промежутке существования.
Док-во.
Предположим

-- решение. Покажем, что

. Действительно, допустим найдется точка

в которой

и

при

.
Тогда

и

возрастает в окрестности

, что невозможно. чтд
Утв. 2.

на всем своем промежутке существования.
Док-во.
Из предыдущего Утв. следует, что

следовательно решение возрастает, но т.к.

, имеем

и соответственно

. чтд
Утв. 3. Если

то решение, коль скоро оно существует, определено на

.
Док-во.
Следует из Утв. 2 и самой задачи. чтд
Док-во теоремы.
Проверим по индукции, что

при любом

и любом

. Эта формула очевидно противоречива.
Из Утв. 2 следует, что

.
Предположим, неравенство верно для

, тогда, получаем:

, тогда само уравнение дает:

чтд