Какое решение уравнения?

[Nxx]

f'(x)=f(f(x))

[ddn]

Nxx писал(а):

f'(x)=f(f(x))

Это функциональное уравнение и оно, вообще говоря, может имеет функционал-произвольное множество решений.
Не уверен, что их все можно явно описать.


Решение уравнения, к тому же сильно зависит от области истинности условия $f'(x)=f(f(x))$.
Если некоторая произвольная непрерывно-дифференцируемая монотонная функция $f(x)$ отображает интервал $[a,b]$ на непересекающийся с ним ($b<c$) интервал $[c,d]$, то доопределив ее на интервал $[c,d]$ по правилу $f(x)=f'(f^{[-1]}(y))$ (где $y\in[c,d]$ и $f^{[-1]}(y)\in[a,b]$), получим функцию со свойством $f'(x)=f(f(x))$ в области $[a,b]$.

Тривиальное решение: $f(x)\equiv 0$.
Нетривиальную аналитическую функцию $f(x)$ будет найти куда сложнее.

Просящееся в глаза частное степенное решение:
$f(x)=cx^{\alpha}$ (где $c>0$ и $\alpha>0$), откуда
$\alpha cx^{\alpha-1}=c^{\alpha+1}x^{\alpha^2}$, то есть
$\alpha^2-\alpha+1=0$ и $\alpha=c^{\alpha}$, или же
$c=\sqrt[\alpha]{\alpha}$, но всегда $\alpha^2>\alpha-1$ для всех действительных $\alpha$
- не проходит.


Этому дифференциальному уравнению $f'(x)=f(f(x))$ соответствует интегральное:
$f(x)=f(0)+\int\limits_{0}^{x}f(f(x'))dx'$.
Если $0<C=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<+\infty$, то $f(C)=0$.


Условие $f'(x)=f(f(x))$ можно преобразовать в $f'(f^{[-1]}(x))=f(x)$
- на некотором интервале $[0,a]$ обратимости функции $f(x)$.

Согласно правилам дифференцирования сложной функции:
$f(f^{[-1]}(x))=x$, $(f(f^{[-1]}(x)))'=1$, $f'(f^{[-1]}(x))f^{[-1]}'(x)=1$,
что дает производную обратной функции
$f^{[-1]}'(x)=\frac{1}{f'(f^{[-1]}(x))}$.

Тогда можно записать $f^{[-1]}'(x)=\frac{1}{f(x)}$.

И проинтегрировав, получим:
$f^{[-1]}(x)=f^{[-1]}(0)+\int\limits_{0}^{x}\frac{1}{f(x')}dx'$,
или возвращаясь к самой функции
$x=f\left(x'|_{f(x')=0}+\int\limits_{0}^{x}\frac{1}{f(x')}dx'\right)$.

[zoo]

Nxx писал(а):

f'(x)=f(f(x))

на вскидку: можно показать, что при заданном $f(0)$, причем $|f(0)|$ -- достаточно мало, уравнение имеет решение $f\in C^1(|x|<\varepsilon)$ где $\varepsilon>0$ тоже достаточно мало.

а что пишут в http://www.jstor.org/pss/2099484 ?

[Nxx]

Не понял. Что такое х'?


Вообще, я вижу, что в конце получилось опять функциональное уравнение не проще, чем было в начале, да?

[zoo]

Nxx: вопрос, который Вы задаете: "Какое решение уравнения?" безграмотен сам по себе. Во-первых, решений много, Вам нужна явная формула или теорема существования, частное решение или все возможные решения. Во-вторых, даже по гуглу понятно, что такие уравнения активно исследуются, если бы Вы дали себе труд ознакомиться со статьями, то наверняка обнаружили бы либо ответ на свой вопрос, либо что это open problem. Судя по всему, Вы не прочитали даже статью, которую я Вам нашел. То чем Вы занимаетесь, любезнейший, это просто дилетантщина и не более того.

[Nxx]

У меня нет доступа к JSTOR. У вас есть?

Цитата:

То чем Вы занимаетесь, любезнейший, это просто дилетантщина и не более того.

Да мне просто было любопытно.

[ddn]

Nxx писал(а):

Не понял. Что такое х'?

Это просто другая переменная, она немая, и ее можно заменить на любую другую: $y$, $t$ и т.д. (кроме $x$).

Nxx писал(а):

Вообще, я вижу, что в конце получилось опять функциональное уравнение не проще, чем было в начале, да?

Что ж делать. Лучше не получиться.

[Sonic86]

Ну вообще-то f(f(x)) - это изврат!

Пусть дано уравнение $f'(x)=f(f(x)), f(0) \neq 0$.
Функции могут быть элементарные и неэлементарные. Если искать в качестве решения элементарную функцию, то она должна быть такой, чтобы ее производная была функцией одного типа, и чтобы композиция функций была бы функцией того же типа.
Я не пробовал доказывать строго, но мне кажется, что в случае элементарных функций это возможно, только если f(x) - многочлен или дробно-рациональная функция. Но многочлен решением быть не может, это видно, а дробно-рациональная - тоже (надо рассматривать степени числителя знаменателя)
Я не изучал подробно часто встречающихся неэлементарных функций, но, кажется, у них свойств с терминами типа f(f(x)) тоже нет (ибо f(f(x)) - это изврат!)
Поэтому остается 1 вариант - искать f(x) в виде ряда Маклорена в точке х=0 (ну пока оставим вопросы о существовании решении и сходимости такого ряда).

Если $f(x)=a_{0}+a_{1}x^1+a_{2}x^2+...$, то
$f(f(x))=f(0)+a_{1}f'(a_{0})x+(a_{2}f'(a_{0})+1/2a_{1}^2f''(a_{0}))x^2+...$
(В этой формуле участвуют разложения числа в сумму натуральных чисел и число перестановок каждого разложения)
Может быть с помощью этой формулы можно найти решение...

[zoo]

Sonic86 в сообщении #144191 писал(а):

Ну вообще-то f(f(x)) - это изврат!

Ну значит большое количество народу занимается извратом (см. гугл
по ключам nested functions, functional differential equations)
Один Вы у нас натурал

[maxal]

Статья по теме: Smooth Solutions of Iterative Functional Differential Equations

[Nxx]

Спасибо! Указанный там метод дает комплексные решения (проверьте пожалуйста):

$f(x) = e^{\frac{\pi}{3} (-1)^{1/6}} x^{\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}}$

и

$f(x) = e^{\frac{\pi}{3} (-1)^{11/6} } x^{\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}}$

А как найти действительные решения?

[Sonic86]

Че реально такие решения!!!
Это получается тогда, что $e^{e^z}$ выражается через $e^z$ и многочлены!
Вопрос: а у этого решения есть общее решение $y(x,C)$ или нет (если нет, то это - изврат).
Изврат еще потому, что в матфизике таких функций нет (где!? покажите хоть одну!)

[Brukvalub]

Sonic86 в сообщении #145334 писал(а):

Че реально такие решения!!!

А проверить подстановкой - нет умений? Или проще вопрошать и ждать, пока другие проверят?

[Nxx]

Цитата:

Это получается тогда, что выражается через и многочлены!

Нет. Посмотрите внимательно. Икса под экспонентой нет.

[ddn]

Sonic86 писал(а):

Изврат еще потому, что в матфизике таких функций нет (где!? покажите хоть одну!)

Успокойтесь.
Конечно их нет. Никто не посягает на святое! (кроме BoBuk-ка, чур меня!)

Вообще, всяческие тетрации и многократные композиции одной функции не имеют вообще никаких реальных приложений, да и в абстрактной математике могут встречаться лишь в теории роста функций (вещественных либо рекурсивных).
Ну, а многократные композиции одной функции в дифференциальном уравнении могу разве что еще появиться в теории управления, в каких-нибудь однородных каскадах с неизвестной характеристикой элемента, которые требуется синтезировать по данным выходным свойствам.