Термодинамическое равновесие и градиент температуры

[tehnolog]

realeugene в сообщении #1609704 писал(а):

А точнее? Сверху через уровень проходят молекулы, имеющие скорость вниз в соответствии с одномерным распределением Максвелла.

Ваша идея мне понятна. Фактически изотермичность должна соблюдаться за счет того о чем написал pppppppo_98.

pppppppo_98 в сообщении #1609707 писал(а):

Здраво подумав еще 1 минут... Потоки будут одинаковой интенсивности -- как раз за счет уменьшения малоэнергетичных молекул с кинетической энергией меньше m * g *dh. и тогда уравновешиваются потоки и по количеству частиц и по энергии

Качественная сторона ситуации, которую вы описали, мне понятна. А при попытке количественно ее оценить у меня не выходит ни условия одинаковой интенсивности переноса молекул, ни энергии:
1) Интенсивность. Если рассмотреть два слоя, находящихся на значительном, конечном расстоянии, то для них справедливы соотношения, которые я привел (для числа молекул в единицу времени) и компенсация интенсивности потока за счет $mgdh$ (бесконечно малая величина) не прокатит. Я имею ввиду, что число молекул переносимых вверх и вниз через один уровень будет одинаков (отсутствие переноса вещества), но будет разным только вверх, или только вниз для разных уровней. Значит интенсивности потока молекул (только вниз, или только вверх) НЕ равны от слоя к слою
2) Перенос энергии. Пусть число молей молекул, прибывающих в слой в единицу времени сверху, равно $n$; число молей молекул, уходящих в верхний слой $n-n_{min}$; число молей, уходящих в нижний слой $n$; прибывающих из нижнего слоя, в рассматриваемый слой $n-n_{min}$. Тут $n_{min}$ это число молекул, которые не долетят до верхнего слоя, их кинетическая энергия меньше $Mgdh=A$. Тогда энергия приносимая из верхнего слоя в данный слой равна $n(C_vT+A)$; энергия уходящая в верхний слой $(n-n_{min})(C_vT+A)$; энергия уходящая в нижний слой $nC_vT$; приходящая из нижнего слоя $(n-n_{min})C_vT$. Тогда баланс для рассматриваемого слоя:

$$mC_v\frac{dT}{d\tau}=n(C_vT+A)-(n-n_{min})(C_vT+A)-nC_vT+(n-n_{min})C_vT=n_{min}A\not= 0$$

Т.е. энергия в слое при такой модели должна расти, о чем я и говорил еще товарищу Zhukov(у).

[realeugene]

tehnolog в сообщении #1609780 писал(а):

Ваша идея мне понятна. Фактически изотермичность должна соблюдаться за счет того о чем написал pppppppo_98.

Не просто температура, но и всё распределение Максвелла, с уменьшением плотности с высотой.

[tehnolog]

tehnolog в сообщении #1609780 писал(а):

энергия уходящая в верхний слой $(n-n_{min})(C_vT+A)$

Я имел ввиду, что энергия молекул, уходящих в верхний слой больше от среднего на $A$. Поэтому, по приходу в верхний слой, она в среднем становится соответствующей $C_vT$ (теряет $A$).

-- 17.09.2023, 14:44 --

realeugene в сообщении #1609793 писал(а):

Не просто температура, но и всё распределение Максвелла, с уменьшением плотности с высотой.

Далее я написал, почему не согласен с pppppppo_98, и, соответственно, с вами.

[realeugene]

tehnolog в сообщении #1609803 писал(а):

Далее я написал, почему не согласен с pppppppo_98, и, соответственно, с вами.

Мне лень искать ошибки в ваших очевидно неправильных расчётах. Найти их - ваша собственная задача.

[pppppppo_98]

tehnolog в сообщении #1609780 писал(а):

Качественная сторона ситуации, которую вы описали, мне понятна.

чо там не понятного... Итак сразу оставляем одну ось z, которую направляем по градиенту потенциала.

Итак на слое 1 имеем плотность молекул по скоростям $n(z,v) dv = n(z)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}} e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv$, и аналогично в слое 2 $n(z,v) dv = n(z +dz)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}} e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv$. Посчитаем потоки частиц, пусть разница энергий между слоями dU, тогда в первом слое в поток будет давать частициы с кинетической энергией $E_t\ge dU$ и направленные по оси z вверх (по градиенту), а во втором слое все молекулы направленные протв градиента. Посчитаеи сколько молекул dN пройдет через площадку dS за время dt, в фракции молекул, движущихися со скоростью в интервале [v.v+dv] $dN(z,v) = dS\, v\, dt\, n(z,v) dv$, n(v) -плотность вышеназванной фракции. просуммируем по всем фракциям с энергией больше $E_t$ ,этим определяется поток снизу вверх.

$$j_u= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{v_t}^{+\infty} dN(z,v)= \int\limits_{v_t}^{+\infty} n(z,v)\, v\, dv= n(z)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}}\int\limits_{v_t}^{+\infty} dv\, v\, e^{\frac{-mv^2}{2 T}}=n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{dU}^{+\infty}dE e^{\frac{-E}{T}}$$

$$=n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{0}^{+\infty}dE e^{\frac{-E}{T}}-n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{0}^{dU}dE e^{\frac{-E}{T}}=n(z)\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}-n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}} dU$$

Аналогично поток вниз

$$j_d= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{-\infty}^{0} dN(z+dz,v)= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{-\infty}^{0}n(z+dz,v)\, v\, dv = n(z+dz)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}}\int\limits_{-\infty}^{0} dv\, v\, e^{\frac{-mv^2}{2 T}}=$$

$$=n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{+\infty}^{0}dE e^{\frac{-E}{T}}=-n(z+dz)\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}$$

тогда из баланса получаем $0=\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}\left(j_u+j_d\right)=n(z) -n(z)\frac{dU}{T}-n(z+dz)$ или
$\frac{n(z+dz)-n(z)}{n(z)}=-\frac{dU(z)}{T}$. Откель равновесное распределение $\n(z)=n_0 e^{-\frac{U(z)-U(0)}{T}}$

-- Вс сен 17, 2023 16:43:13 --

tehnolog в сообщении #1609780 писал(а):

Качественная сторона ситуации, которую вы описали, мне понятна.

чо там не понятного... Итак сразу оставляем одну ось z, которую направляем по градиенту потенциала.

Итак на слое 1 имеем плотность молекул по скоростям $n(z,v) dv = n(z)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}} e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv$, и аналогично в слое 2 $n(z,v) dv = n(z +dz)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}} e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv$. Посчитаем потоки частиц, пусть разница энергий между слоями dU, тогда в первом слое в поток будет давать частициы с кинетической энергией $E_t\ge dU$ и направленные по оси z вверх (по градиенту), а во втором слое все молекулы направленные протв градиента. Посчитаеи сколько молекул dN пройдет через площадку dS за время dt, в фракции молекул, движущихися со скоростью в интервале [v.v+dv] $dN(z,v) = dS\, v\, dt\, n(z,v) dv$, n(v) -плотность вышеназванной фракции. просуммируем по всем фракциям с энергией больше $E_t$ ,этим определяется поток снизу вверх.

$$j_u= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{v_t}^{+\infty} dN(z,v)= \int\limits_{v_t}^{+\infty} n(z,v)\, v\, dv= n(z)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}}\int\limits_{v_t}^{+\infty} dv\, v\, e^{\frac{-mv^2}{2 T}}=n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{dU}^{+\infty}dE e^{\frac{-E}{T}}$$

$$=n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{0}^{+\infty}dE e^{\frac{-E}{T}}-n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{0}^{dU}dE e^{\frac{-E}{T}}=n(z)\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}-n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}} dU$$

Аналогично поток вниз

$$j_d= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{-\infty}^{0} dN(z+dz,v)= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{-\infty}^{0}n(z+dz,v)\, v\, dv = n(z+dz)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}}\int\limits_{-\infty}^{0} dv\, v\, e^{\frac{-mv^2}{2 T}}=$$

$$=n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{+\infty}^{0}dE e^{\frac{-E}{T}}=-n(z+dz)\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}$$

тогда из баланса получаем $0=\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}\left(j_u+j_d\right)=n(z) -n(z)\frac{dU}{T}-n(z+dz)$ или
$\frac{n(z+dz)-n(z)}{n(z)}=-\frac{dU(z)}{T}$. Откель равновесное распределение $\n(z)=n_0 e^{-\frac{U(z)-U(0)}{T}}$

С потоком энергии все аналогично, только в выражениях для потоков нужно умножить на энергию, и тогда для потока вниз в последнем выражении вообще не будет выражения с множителем dU (значению подинтегрального выражения равно - dU<<Eк, поэтому с принятой точностью модно пренебречь наличием молекул с черезвычайно низкой кинетической энергией мпньше dU - они не дают вклад в поток энергии), и потоки энергии совпадают

[tehnolog]

pppppppo_98
Я не стал проверять все ваши преобразования, потому что у вас неверная функция распределения. Максвелловская функция распределения скоростей: $F(v)=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\,v^2$. Но следуя вашему примеру, решил посчитать сам.
Поток молекул, пролетающих через уровень определяется с точностью до некоторой постоянной $A$:

$$j_u=A \int\limits_{v_t}^{+\infty} n(z)F(v)\,v\,dv= 4A\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} \int\limits_{v_t}^{+\infty} n(z)e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\,v^3\,dv=8A\,n(z)\sqrt{\frac{\pi}{m}}\left(\frac{1}{2kT}\right)^{\frac{3}{2}}\int\limits_{dU}^{+\infty}e^{-\frac{E}{kT}}\,E\,dE$$

Неопределенный интеграл $\int e^{-\frac{x}{b}}\,x\,dx = - \frac{bx+b^2}{e^{\frac{x}{b}}}+C$ Тогда

$$j_u=8A\,n(z)\sqrt{\frac{\pi}{m}}\left(\frac{1}{2kT}\right)^{\frac{3}{2}}\left(-\frac{kT\,E+(kT)^2}{e^{\frac{E}{kT}}}\right)_{dU}^{+\infty}=0-\left(-8A\,n(z)\sqrt{\frac{\pi}{m}}\left(\frac{1}{2kT}\right)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{kT\,dU+(kT)^2}{e^{\frac{dU}{kT}}}\right)\right)=$$ $$=8A\,n(z)\sqrt{\frac{\pi}{m}}\left(\frac{1}{2kT}\right)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{kT\,dU+(kT)^2}{e^{\frac{dU}{kT}}}\right)$$

$$j_d=-8A\,n(z+dz)\sqrt{\frac{\pi}{m}}\left(\frac{1}{2kT}\right)^{\frac{3}{2}}\left(-\frac{kT\,E+(kT)^2}{e^{\frac{E}{kT}}}\right)_{0}^{+\infty}=-8A\,n(z+dz)\sqrt{\frac{\pi}{m}}\left(\frac{1}{2kT}\right)^{\frac{3}{2}}(kT)^2$$

$$j_u+j_d = 8A\sqrt{\frac{\pi}{m}}\left(\frac{1}{2kT}\right)^{\frac{3}{2}}\left(n(z)\left(\frac{kT\,dU+(kT)^2}{e^{\frac{dU}{kT}}}\right)-n(z+dz)(kT)^2\right)=0$$

Или

$$n\left(\frac{kT\,dU+(kT)^2}{e^{\frac{dU}{kT}}}\right)-(n+dn)(kT)^2=0$$

Откуда

$$\frac{dn}{n}=\frac{1}{kT}dU\qquad \frac{n}{n_0}=e^{\frac{u-u_0}{kT}}$$

Визуально форма результата совпадает с распределением Больцмана, за исключением того, что потерян знак "минус". И либо я его потерял (не нахожу, где), либо изотермическая атмосфера быть не может))

[pppppppo_98]

tehnolog в сообщении #1610210 писал(а):

Я не стал проверять все ваши преобразования, потому что у вас неверная функция распределения. Максвелловская функция распределения скоростей: $F(v)=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\,v^2$.

Комплементом - на комплемент... Я не стал читатть далее этой фразы ваше растекание мыслею по древу , по елику вы не знаете азов - распредельния больцмана, оно же в случае идеального газа распределения максвелла. Подучите матчасть...

Все шо ниже этой фразы бред

[amon]

tehnolog в сообщении #1610210 писал(а):

Я не стал проверять все ваши преобразования, потому что у вас неверная функция распределения.

Все там правильно.

[tehnolog]

Я ошибся в коэффициенте у себя не $\sqrt{\frac{m}{\pi}}$, а $\sqrt{\frac{1}{m \pi}}$

tehnolog в сообщении #1610210 писал(а):

Комплементом - на комплемент... Я не стал читатть далее этой фразы ваше растекание мыслею по древу , по елику вы не знаете азов - распредельния больцмана, оно же в случае идеального газа распределения максвелла. Подучите матчасть...

Я не хотел вас задеть...Абсолютно без пафоса. Матчасть подучу.. Но распределение Больцмана - это ведь распределения по значениям потенциальных энергий; Максвелла - по кинетическим. В чем я не прав? Вы указали концентрацию молекул по скоростям как

pppppppo_98 в сообщении #1609819 писал(а):

$n(z,v) dv = n(z)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}} e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv$

А из курса общей физики известно, что она должна быть равна $n(z)\cdot 4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\,v^2\, dv$. Не проставили даже константу Больцмана...(я это счел за мелочь).

-- 18.09.2023, 03:02 --

pppppppo_98 в сообщении #1610225 писал(а):

Все шо ниже этой фразы бред

Что именно бред??

-- 18.09.2023, 03:11 --

amon в сообщении #1610231 писал(а):

Все там правильно.

Где ж правильно. Если функция распределения Максвелла по скоростям не такая. Даже без константы Больцмана. Или это я чего-то не понимаю? Тогда объясните почему я не прав.

[realeugene]

tehnolog в сообщении #1610235 писал(а):

Но распределение Больцмана - это ведь распределения по значениям потенциальных энергий; Максвелла - по кинетическим. В чем я не прав?

Распределение Максвелла - это частный случай распределения Больцмана. В некотором смысле, в каком - разберитесь.

tehnolog в сообщении #1610235 писал(а):

Если функция распределения Максвелла по скоростям не такая.

Вы путаете трёхмерное распределение по модулю скорости с одномерным распределением проекции скорости.

[pppppppo_98]

tehnolog в сообщении #1610235 писал(а):

Абсолютно без пафоса. Матчасть подучу.

ну ладно без пафоса, значит без пафоса... Итак вся термодинамиика (точнее ее теоретическая основа - статистическая механика) строится не на распределении Максвелла, а на более общем распределении Больцмана, а именно вероятность подсистемы находится с энергией E есть $p(E)=e^{-\frac{E}{T}}$, где E может зависеть от импульсов, координат соседей, полевых переменных и прочяя, прочяя, прочяя... Есть простейшая модельная система идеальный газ(предельный случай газа при высокой температуре и относительно невысоком давлении), где пренебрегают столкновениями, и форма энергии сильно упрощается, остается только кинетическая энергия. Но в трехмерном случае кинетическая энергия состоит из трех компонент $E =\frac{1}{2}m v^2_x +\frac{1}{2}m v^2_y+\frac{1}{2}m v^2_z$, и посему распределение Больцмана, ставшее распределением Максвелла, запишется в виде $p(E) dv_x dv_y dv_z = e^{-\frac{m( v^2_x + v^2_y+ v^2_z)}{2 T}}dv_x dv_y dv_z$.
Далее я выбрал ось z по градиенту потенциальной энергии. И так как это снова идеальный газ, то движение газа в трех мерном пространстве можно разбить на независимые движения вдоль трех осей (степеней свобод). Движение вдоль осей
x и y, идет вдоль границы раздела двух слоев, и поэтому движение не вносит вклад в перенос частиц и энергии между слоями. Поэтому можно условно представить что, газ состоит из трех типов частиц (все они в термодинамическом равновесии), каждая движется по своей оси, два из которых в и не пересекают границу раздела слоев, а один пересекает. Но тогда частицы двух типов не вносят вклада в явления переноса, распределены равномерно по всему столбу газа. И их можно выкинуть. И газ становится одномерным с распределением $p(E) dv_z = e^{-\frac{m v^2_z }{2 T}}dv_z $. Именно с этого случая я и начал, предполагая что это очевидно каждому. Потом я ради упрощения обозначений - для того что бы не тягать по всем формулам бессмысленный индекс вместо $v_z$ написал v и далее сделал вывод, содержание которого вы не осилили. Но вы пошли своим путем, причем в самом начале совершили ошибку , которая обесценила весь дальнейший вывод. Распределение Максвелла в сферических координатах запишется не так ка вы записали а вот так $p(E) d\Omega_v= e^{-\frac{m v^2 }{2 T}} v^2 \sin\theta dv\,d\theta\,d\varphi$, и тогда ишк нужно правильно поток записать $j = n v \cos\theta$, и правильно проинтегрировать по сегменту, отсеченному на dU (чему явно не способствуют сферические координаты)

-- Пн сен 18, 2023 11:22:43 --

Да и еще относительно константы больцмана... вы видно таки курс теоретической физики вряд ли проходили,посему не приходилось выписывать тысячи формул, переписывая на 70-80% предыдущие. Дык вот переписывание длинных выражений часто и густо несет ошибки, посему люди стремятся сократить выражения. Термодинамика это всегда про энергию , поэтому температура всегла сопряжена с константой больцмана. Поэтому в теоретической физике часто и густо, константу константу Больцмана k убирают, измеряя температуру в джоулях. Мало того, учитывая этот факт на последней метрической конференции константу Больцмана на веки вечные зафиксировали, и теперь и для технических целей температура фактически измеряется в джоулях и фактически измерение в градусах температуры это некорая дань традициям, как измерения веса золота в тройских унциях

[tehnolog]

realeugene в сообщении #1610249 писал(а):

Вы путаете трёхмерное распределение по модулю скорости с одномерным распределением проекции скорости.

Спасибо. Уже понял. Предстоит повторить, как оно взаимосвязано - проходил когда-то самостоятельно без закрепления.
pppppppo_98
Спасибо за объяснения.

pppppppo_98 в сообщении #1610252 писал(а):

вы видно таки курс теоретической физики вряд ли проходили,посему не приходилось выписывать тысячи формул, переписывая на 70-80% предыдущие

Это был не профильный предмет. Вы правы, не выписывал формулы и не заучивал, осваивал самостоятельно по мере сил, и возможности..

pppppppo_98 в сообщении #1610252 писал(а):

и далее сделал вывод, содержание которого вы не осилили.

Я бы сказал - засомневался и поторопился...Осилить еще предстоит, принцип выкладки понятен, подробности разберу, спасибо.

[druggist]

pppppppo_98 в сообщении #1610252 писал(а):

а именно вероятность подсистемы находится с энергией E есть $p(E)=e^{-\frac{E}{T}}$, где E может зависеть от импульсов, координат соседей, полевых переменных и прочяя, прочяя, прочяя...

Это неверное утверждение

[amon]

tehnolog в сообщении #1610410 писал(а):

Осилить еще предстоит, принцип выкладки понятен, подробности разберу

Уважаемый pppppppo_98 из условия равенства потоков вверх и вниз получил совместное распределение Максвелла - Больцмана для идеального газа. В качестве упражнения полезно проделать его выкладку "снизу вверх" - считать известным это распределение (оно выводится из распределения Гиббса, например, у Климонтовича в "Статистической физике" стр. 90) и доказать, что при этом соблюдается равенство потоков.

[pppppppo_98]

druggist в сообщении #1610422 писал(а):

Это неверное утверждение

а как должно выгдлядеть верное утверждение для канонического ансамбля? Интересно послушать...