Термодинамическое равновесие и градиент температуры

[tehnolog]

sergey zhukov в сообщении #1608520 писал(а):

Вы согласны, что хотя-бы для одномерного случая ясно: если распределение молекул по энергиям в каком-то слое газа в гравитационном поле экспоненциально, то оно будет иметь точно такое же распределение в любом другом слое по высоте? Т.е. в этом случае распределение по энергиям от высоты не зависит?

Да, пожалуй с этим я соглашусь. Только одномерный случай уже наверное не отвечает термодинамическому характеру распределения по кинетическим энергиям, и значит не определяет температуру среды. Не совсем представляю себе такое понятие, как одномерный газ.

sergey zhukov в сообщении #1608520 писал(а):

Тогда в чем разница между воображаемой границей слоев и поверхностью земли? На этом же у вас все держится?

Я думаю, в том, что можно взять газовый слой, находящийся на расстоянии $l$ от нижней поверхности. И в этот слой попадет достаточно много молекул, чтоб статистически ему можно было присвоить понятие температуры. При этом молекулы отбившиеся от поверхности не успевают пройти эффективное расстояние $l$, чтоб потерять часть энергии поступательного движения, и передают ее часть соседним молекулам при столкновениях (распределение по степеням свободы).

[realeugene]

tehnolog в сообщении #1608518 писал(а):

Интересно было бы почитать этот вывод из статфизики

Кажется, это было у Фейнмана в ФЛФ, но под рукой у меня его сейчас нет, и деталей не помню.

tehnolog в сообщении #1608518 писал(а):

в распределении Максвелла-Больцмана в априори заложено бездоказательное условие статистической независимости распределения молекул по потенциальным энергиям Больцмана от Максвеловского распределения по скоростям. Эти вероятности умножаются как статнезависимые..

Ну да, это прямое следствие распределения Больцмана по энергиям и аддитивности кинетической и потенциальной энергии. Сумма в показателе экспоненты превращается в произведение независимых экспонент, то есть, в независимость вероятностей для распределений по потенциальной и кинетической энергиям.

[sergey zhukov]

tehnolog в сообщении #1608537 писал(а):

Не совсем представляю себе такое понятие, как одномерный газ.

Да это же проще простого. Бусины на спице. Ничто не мешает нам определить тут температуру, как меру средней кинетической энергии бусин на любом участке длины. Одномерный газ - совершенно прозрачная модель.

Не берите газовых слоев. Возьмите сечение, представьте себе, что оно абсолютно черное и непрозрачное и спросите себя: как я, глядя на него изнутри слоя, могу определить, что за ним? Следующий слой газа или стенка? Вот я вижу, как молекула ушла через сечение. Тут же из этого сечения появилась точно такая же молекула в обратном направлении и с той же скоростью. Все различие в том, что в случае стенки эта симметрия локальная в пространстве и времени (отражение, т.е. "другая" молекула появляется точно в том же месте, в то же время и с той же скоростью), а в случае газового слоя все это уравновешено только в среднем по пространству, времени и скорости. Разницы никакой нет.

[tehnolog]

sergey zhukov в сообщении #1608545 писал(а):

Разницы никакой нет.

Не согласен. Разница есть, потому что процесс переноса осуществляется разным способом, и ему соответствует разное количество переносимой через поверхность поперечного сечения энергии в слой $E_0$.

Левый рисунок - без твердой стенки, правый рисунок - наличие твердой стенки. Рассматриваем слой (объем), в среднем соответствующий потенциальной энергии $E_0$. Вариант без твердой стенки:

$$\Delta E(1) = n_1(E_1-E_0)=n_1m_{mol}gl,\quad \Delta E(2)=n_2(E_0'-E_0)=-n_2m_{mol}gl,\quad\Delta E=\Delta E(1) +\Delta E(2)=0$$

.
Вариант с твердой стенкой:

$$\Delta E(1) = n_1(E_1-E_0)=n_1m_{mol}gl,\quad \Delta E(2)=n_2(E_0-E_0)=0,\quad\Delta E=\Delta E(1) +\Delta E(2)=n_1m_{mol}gl$$

.

[sergey zhukov]

tehnolog
Вы полагаете, что с верхнего слоя в нижний в среднем падают молекулы с большей кинетической энергией, чем возвращаются из нижнего слоя в верхний. Неверно. Вниз падают молекулы, кинетическая энергия которых ниже средней по верхнему слою. Вверх поднимаются молекулы, кинетическая энергия которых выше средней по нижнему слою. У них в среднем равная кинетическая (и полная) энергия именно в сечении между слоями.

[sergey zhukov]

Случай, который вы рассматриваете, не исключен для каких-то молекул. Только это не типичный, не средний случай. Нельзя на нем основывать вывод о среднем потоке энергии.

[tehnolog]

sergey zhukov в сообщении #1608636 писал(а):

Вниз падают молекулы, кинетическая энергия которых ниже средней по верхнему слою. Вверх поднимаются молекулы, кинетическая энергия которых выше средней по нижнему слою. У них в среднем равная кинетическая (и полная) энергия именно в сечении между слоями.

Что сортирует эти молекулы по энергии на бОльшую и меньшую от средней в зависимости от направления? Ведь распределение скоростей по абсолютным значениям одинаково во всех направлениях для данной температуры.
Я сейчас сильно загружен, потому если не смогу ответить, продолжу после 12 сентября)

[sergey zhukov]

tehnolog в сообщении #1608645 писал(а):

Что сортирует эти молекулы по энергии на бОльшую и меньшую от средней в зависимости от направления?

Если мы берем некоторую случайную молекулу в середине слоя, то чем ниже ее кинетическая энергия, тем вероятнее она пересечет нижнюю границу слоя, а не верхнюю.Чем ниже энергия молекулы, тем эта асимметрия сильне (если столкновения в слое не учитывать).

Очевидно, например, что есть частицы с такой низкой кинетической энергией, что они из середины слоя могут только нижнюю границу пересечь, куда бы они ни летели. Им до верхней вообще не долететь. У нас же частицы внутри слоя по параболам, грубо говоря, летают, не по прямым.

[tehnolog]

sergey zhukov в сообщении #1608647 писал(а):

Очевидно, например, что есть частицы с такой низкой кинетической энергией, что они из середины слоя могут только нижнюю границу пересечь, куда бы они ни летели. Им до верхней вообще не долететь.

Это может иметь место только в случае очень сильных гравитационных полей, или очень низких температур, когда средняя кинетическая энергия молекул соизмерима с разницей потенциальной энергии между соседними слоями. Поэтому число таких молекул которые "не долетят" стремится к нулю, так же как стремиться к нулю разница потенциальной энергии между соседними слоями.
Крайние варианты мы не рассматриваем..

[sergey zhukov]

tehnolog
Ну уж нет, так не отмажетесь. Это принципиально, а не просто эффект, которым можно пренебречь. Я бы тогда прямо сейчас изменением потенциальной энергии молекулы при подьеме пренебрегал бы (как несоизмеримым с кинетической). Тогда можно просто пренебречь гравитацонным полем.

Криволинейность траектории - прямое следствие изменения потенциальной энергии. Либо учет и того и другого, либо не учет ни того, ни другого.

[tehnolog]

sergey zhukov в сообщении #1608650 писал(а):

Тогда можно просто пренебречь гравитацонным полем.

Нельзя пренебречь.
Вы пытаетесь сравнить величину порядка T (кинетическую энергию) с величиной порядка dT (разница стремящаяся к нулю). Вас же не смущает, например, то, что при нахождении предэкспоненциального множителя в распределении Максвелла, и при нахождении среднего квадрата скорости, интегрирование берется от $0$ до $\infty$, вместо того, чтоб брать от $0$ до $v_{\max}$, потому что вклад интеграла от $v_{\max}$ до $\infty$ - ничтожен.
Средняя величина свободного пробега настолько мала, что разница потенциальной энергии между двумя соседними слоями намного меньше порядка средней кинетической энергии, которая того же порядка, что и температура. В пределах же слоя происходит перераспределение энергии. Вот если взять сильно разреженный газ с огромной средней длиной пробега, то тогда вы будете правы. И потом, следуя вашей логике "сортировки" молекул - быстрые молекулы в любом случае достигают равновероятно и вышележащих слоев, и нижележащих. А медленные - только нижележащих. Тогда по меньшей мере должно изменяться число молекул в слое, а значит это уже не равновесное состояние.

[sergey zhukov]

tehnolog в сообщении #1608658 писал(а):

В пределах же слоя происходит перераспределение энергии

В таком случае я не понимаю, как можно говорить, что молекула, падающая с середины слоя (толщиной $2l$) до нижнего среза уносит из слоя энергию $mgl$ (и аналогично при движении вверх). Так можно говорить только в случае, если толщина слоя порядка средней длины пробега молекулы, т.е. столкновений не происходит и энергия молекулы при падении не рассеивается в этом же слое. Но тогда неясно, почему "в пределах слоя происходит перераспределение энергии"?

В ваших рассуждениях $l$ - это на самом деле свободный пробег молекулы, а не толщина слоя. Если слой у вас толщиной со свободный пробег, то:

tehnolog в сообщении #1608658 писал(а):

Вот если взять сильно разреженный газ с огромной средней длиной пробега, то тогда вы будете правы

Я прав.

Если же слой много толще свободного пробега молекулы, то ваша логика неверна: верхнюю границу слоя пересекают молекулы только из верхнего подслоя этого слоя. Нижнуюю - только из нижнего подслоя.

И еще. Это условие:

tehnolog в сообщении #1608658 писал(а):

если взять сильно разреженный газ с огромной средней длиной пробега, то тогда вы будете правы.

всегда можно соблюсти, взяв толщину слоев достаточно малой. От выбранной толщины слоев вывод ведь не зависит?

И еще вот что: со среднего сечения до верхней границы слоя не долетят не только молекулы с малой энергией, но так же множесто молекул и с очень большой энергией, у которых просто вектор скорости оказался направлен почти горизонтально.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1608661 писал(а):

Я прав.

В чём именно?

Там ничего не зависит от того, есть соударения, или нет. Распределение Максвелла - это частный случай распределения Больцмана. Когда молекулы газа без соударений прилетают сверху вниз, их потенциальная энергия уменьшается, но кинетическая возрастает, полная энергия сохраняется, и вероятностное распределение по энергиям оказывается одинаковым в двух слоях, были соударения или нет.

[sergey zhukov]

realeugene в сообщении #1608664 писал(а):

В чём именно?

В том, что:

tehnolog в сообщении #1608658 писал(а):

Вот если взять сильно разреженный газ с огромной средней длиной пробега, то тогда вы будете правы.

Я просто согласился с tehnolog: если взять такой газ, то я прав.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1608666 писал(а):

В том, что:

Понятнее не стало, кто в чём кого считает правым.

Пусть лучше человек сам за себя отвечает.