Термодинамическое равновесие и градиент температуры

[EUgeneUS]

Освежил в памяти учебники
тут упоминался Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. (том 6), но почему-то не был упомянут том 5: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1.

Да, действительно, в первых строках параграфах тома (параграф 9), где вводится понятие температуры, обосновывается, что при термодинамическом равновесии температура постоянна по протяжению тела.

А в параграфе 38 приведено решение задачи из стартового поста.

[siago]

sergey zhukov в сообщении #1608147 писал(а):

А вот что менее очевидно. Всегда ли атмосфера стабильна, если ее плотность с высотой падает? Например, будет ли стабильна атмосфера, в которой плотность по высоте постоянна?

Сижу, перечитываю всю дискуссию и с удивлением обнаруживаю, что на некоторые вещи не обращал внимания. В частности на этот вопрос я тогда решил не отвечать, поскольку посчитал его не относящимся к делу. А ведь он был именно по делу и непосредственно связан с темой дискуссии. Ну, отвечу с опозданием, может быть вы тогда зададите еще один наводящий вопрос. Я бы так ответил:
1) Для участка, где не происходит инверсии, стабильность атмосферы зависит от отношения градиента плотности и градиента температуры. Если упрощать, то градиент температуры должен быть равен обратному градиенту плотности. Если это отношение $<1$, то молярный объем более теплого воздуха будет превышать такой же холодного и будет возникать конвекция. Я видел параграф, в котором обсуждается условие возникновения конвекции, но не читал, а в памяти отложился - видно мысль его почему-то выделила.

[sergey zhukov]

Не очень понятно. Если это соображение применить к атмосфере равной плотности, она устойчива? В такой атмосфере градиент плотности равен нулю, градиент температуры отрицательный (падает снизу вверх).

[siago]

realeugene в сообщении #1608150 писал(а):

siago в сообщении #1608144 писал(а):

Если ваш вывод правильный, значит ошиблись Ландау и Лифшиц.

Попробуйте доказать, что они ошиблись. Но вообще-то это ещё школьная физика. Вам не рано читать ЛЛ?

Я попробую доказать.
В силовом поле (поле центробежных сил) образуется градиент плотности, то есть уменьшается молярный объем. В адиабатных условиях
$p$ \cdot V$\overset{k}{}$ = \operatorname{const}$,
то есть с уменьшением объема растет давление. А поскольку уравнение адиабаты имеет еще и вид
$T \cdot V$\overset{(1-k)}{}$ = \operatorname{const}$,
то с уменьшением объема растет и температура. Рост температуры свидетельствует о росте кинетической энергии молекул.
Получаем такую картину: вдоль радиуса цилиндра имеем градиент молярного объема, градиент давления и градиент температуры. Силовое поле обеспечивает и градиент энергии за счет образования градиента потенциальной энергии и градиента кинетической энергии.
Поскольку температура это величина, обратная производной энтропии тела $S$ по его энергии $E$
$d S/ d E  = 1/T$,
то вдоль радиуса цилиндра должен быть и градиент энтропии. Энтропия в каждом элементарном объеме максимальна. Чтобы выровнять ее градиент в соседних элементарных объемах, нужно, чтобы в одном из них она уменьшилась, но произвольным образом этого произойти не может. Следовательно не может произойти и произвольного выравнивания температуры.
Делаем вывод: Ландау и Лифшиц ошиблись, а вы были правы.

[realeugene]

siago в сообщении #1608478 писал(а):

Делаем вывод: Ландау и Лифшиц ошиблись, а вы были правы.

Поменьше бреда, пожалуйста.

-- 09.09.2023, 00:37 --

siago
Чему равна среднеквадратичная скорость молекул в идеальном газе в состоянии равновесия?

[GraNiNi]

siago в сообщении #1608461 писал(а):

молярный объем более теплого воздуха будет превышать такой же холодного и будет возникать конвекция.

Конвекция возникает, когда в одинаковых объемах - разные массы.

[siago]

sergey zhukov в сообщении #1608464 писал(а):

Не очень понятно. Если это соображение применить к атмосфере равной плотности, она устойчива? В такой атмосфере градиент плотности равен нулю, градиент температуры отрицательный (падает снизу вверх).

Гравитация создает градиент плотности. Обратный градиент плотности может создать только нагрев нижних слоев атмосферы, а поскольку мы говорим об адиабатных условиях, то этого не может произойти, то есть в силовом поле не может образоваться атмосфера равной плотности без дополнительного воздействия извне. В реальной атмосфере земля нагревается и если теплообмен создает градиент температуры, обуславливающий обратный градиент плотности, компенсирующий градиент плотности, созданный гравитацией, атмосфера будет устойчивой до тех пор, пока градиент плотности не поменяет знак.

-- 09.09.2023, 00:51 --

realeugene в сообщении #1608479 писал(а):

siago в сообщении #1608478 писал(а):

Делаем вывод: Ландау и Лифшиц ошиблись, а вы были правы.

Поменьше бреда, пожалуйста.

-- 09.09.2023, 00:37 --

siago
Чему равна среднеквадратичная скорость молекул в идеальном газе в состоянии равновесия?

Если мы говорим о системе в силовом поле, то нужно говорить о среднеквадратичной скорости молекул для каждого отдельного элементарного объема газа.
А бред с какой строки начинается?

-- 09.09.2023, 00:51 --

GraNiNi в сообщении #1608480 писал(а):

siago в сообщении #1608461 писал(а):

молярный объем более теплого воздуха будет превышать такой же холодного и будет возникать конвекция.

Конвекция возникает, когда в одинаковых объемах - разные массы.

Так а я разве не об этом же сказал? Я сказал, что одинаковые массы в разных объемах. Или это не одно и то же?

-- 09.09.2023, 01:09 --

EUgeneUS в сообщении #1608333 писал(а):

Освежил в памяти учебники
тут упоминался Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. (том 6), но почему-то не был упомянут том 5: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1.

Да, действительно, в первых строках параграфах тома (параграф 9), где вводится понятие температуры, обосновывается, что при термодинамическом равновесии температура постоянна по протяжению тела.

А в параграфе 38 приведено решение задачи из стартового поста.

Нет, был упомянут. Я поэтому к нему и обратился. На стр. 7 настоящей дискуссии. А вы один из немногих, точнее - второй, кто за адиабатический градиент температуры в силовом поле. Ну скажите же, что Ландау и Лифшиц ошиблись!
А задача в стартовом посте не совсем такая. Я бы даже сказал - совсем не такая. Там общего только силовое поле. А о температуре там речь не идет.

[realeugene]

siago в сообщении #1608482 писал(а):

Если мы говорим о системе в силовом поле, то нужно говорить о среднеквадратичной скорости молекул для каждого отдельного элементарного объема газа.

Запишите формулу. Её проходят в школе.

siago в сообщении #1608482 писал(а):

А бред с какой строки начинается?

Ваш бред я процитировал.

Если вам кажется, что я утверждаю нечто, противоречащее ЛЛ, значит, вы либо не поняли что написал я, либо что написано в ЛЛ, либо, что вероятнее всего, всё сразу.

[EUgeneUS]

siago в сообщении #1608482 писал(а):

А вы один из немногих, точнее - второй, кто за адиабатический градиент температуры в силовом поле.

Неверное утверждение. Там не хватает слова "был".

siago в сообщении #1608482 писал(а):

Ну скажите же, что Ландау и Лифшиц ошиблись!

https://youtu.be/q-PkF8VM0NU?si=BbWSa1eHreAMTyxJ

[sergey zhukov]

siago в сообщении #1608482 писал(а):

Гравитация создает градиент плотности. Обратный градиент плотности может создать только нагрев нижних слоев атмосферы, а поскольку мы говорим об адиабатных условиях, то этого не может произойти, то есть в силовом поле не может образоваться атмосфера равной плотности без дополнительного воздействия извне. В реальной атмосфере земля нагревается и если теплообмен создает градиент температуры, обуславливающий обратный градиент плотности, компенсирующий градиент плотности, созданный гравитацией, атмосфера будет устойчивой до тех пор, пока градиент плотности не поменяет знак.

Вроде бы это можно так понимать, что атмосфера равной плотности (конечно, ее нужно поддерживать при помощи нагрева/охлаждения) будет устойчивой к конвекции? А попробуйте рассмотреть, что будет, если я возьму мыльный пузырь с воздухом в такой атмосфере внизу и перенесу его немного повыше. Что станет с давлением и температурой воздуха внутри мыльного пузыря при переносе? Теплообменом с окружающим воздухом пренебрегаем. Дополнительным давлением стенок пузыря тоже (он тут только для наглядности).

siago в сообщении #1608478 писал(а):

Делаем вывод: Ландау и Лифшиц ошиблись, а вы были правы.

Давайте уже с этим завязывать. Совершенно ясно, что это все глупости. Ошибки тут только у вас.

[tehnolog]

Давно хотел поднять подобную тему, но все не решался…
Пожалуй, пришло время изложить мысли по этому поводу, и услышать ваши замечания. Прошу не судить строго)..
Допустим, идеальный газ находится в гравитационном поле, в адиабатической оболочке. Согласно распределению Больцмана, температура его однородна по высоте столба. Однако не стоит забывать, что молекулы газа находятся в непрерывном тепловом хаотическом движении, а не «фиксированы» на своих местах. Разобьем столб газа на элементарные объемы (слои), настолько малой высоты dh, чтоб им можно было приписать определенные значения координаты высоты h, и давления p. На примере такого элементарного объема и рассмотрим условие равновесия в газе. Число молекул, покидающих в единицу времени этот объем, равно числу молекул, входящих в него. Из этого числа можно выделить те молекулы, которые движутся против поля и вдоль гравитационного поля (соответственно, вверх и вниз). Преодолев, в среднем, величину кратную среднему свободному пробегу $\langle\lambda \rangle$ - $l$ , молекулы, летящие против поля, теряют кинетическую энергию $m_{mol} gl$ Молекулы, летящие вдоль поля, приобретают эту же энергию. Тепловой баланс данного элементарного объёма (слоя) можно описать:

$$mC_v\frac{dT}{d\tau}=\frac{dn}{d\tau}\cdot (C_v T+Mgl +(C_v T-Mgl)-2C_v T)=0$$

Здесь $C_v$ -изохорная молярная теплоемкость;$M$ - молярная масса газа; $m$ - количество молей газа в рассматриваемом объеме (слое); $\frac{dn}{d\tau}$ - количество молей газа покидающих слой (или прибывающих в него) в одном из направлений, в единицу времени;. Расшифровка выражения в скобках: $C_v T+Mgl$ - энергия приносимая в слой 1 моль газа из вышележащего слоя; $C_v T-Mgl$ - энергия приносимая 1 моль газа в слой из нижележащего слоя; $2C_v T$ - энергия уносимая из рассматриваемого слоя (в верхний и нижний слои). Таким образом $\frac{dT}{d\tau}=0$ и с первого взгляда можно сказать, что температура в каждом слое постоянна, и не изменяется со временем. Но рассмотрим аналогичный газовый слой (объем) в основании столба. Для него баланс будет:

$$mC_v\frac{dT}{d\tau}=\frac{dn}{d\tau}\cdot (C_v T+Mgl -C_v T)= \frac{dn}{d\tau}Mgl$$

И, соответственно, $\frac{dT}{d\tau}\ne 0$. Это значит, что температура у основания газового столба не может оставаться постоянной при изотермичности газового столба. Это, в свою очередь, ведет к перераспределению температуры во всем столбе, что не трудно показать на следующем примере. Пусть температура в основании столба – $T_0$. В состоянии равновесия температура с течением времени меняться не должна ни в одном из слоев. Тогда балансовое уравнение для основания:

$$mC_v\frac{dT_0}{d\tau}=\frac{dn}{d\tau}\cdot (C_v T_1+Mgl -C_v T_0)=0$$

Откуда,

$$C_v T_1=C_v T_0-Mgl$$

Для вышележащих слоев газа:

$$mC_v\frac{dT_1}{d\tau}=\frac{dn}{d\tau}\cdot (C_v T_2+Mgl +(C_v T_0-Mgl)-2C_v T_1)=0$$

Откуда,

$$C_v T_2=2C_v T_1-C_v T_0=C_v T_0-Mg(2l)$$

$$mC_v\frac{dT_2}{d\tau}=\frac{dn}{d\tau}\cdot (C_v T_3+Mgl +(C_v T_1-Mgl)-2C_v T_2)=0$$

$$C_v T_3=2C_v T_2-C_v T_1=C_v T_0-Mg(3l)$$

Для i - го слоя:

$$C_v T_i=2C_v T_{i-1}-C_v T_{i-2}=C_v T_0-Mg(il)$$

Поскольку $il=h$, то окончательно можно заключить: $C_v T=C_v T_0- Mgh$, и $T=T_0-\frac{Mgh}{C_v}$; $\frac{dT}{dh}=-\frac{Mg}{C_v}$. Тогда соответствующий стационарный температурный градиент по высоте: $\nabla T=\frac{M}{C_v}\vec{g}$ Полученное уравнение можно также вывести из следующих соображений.
В адиабатическом газовом столбе реализуются два энергетических потока в противоположных направлениях. Первый – поток тепла, в соответствии с градиентом температур, второй – поток механической энергии в поле сил тяжести g:

$$\vec{q_h}=-\chi \nabla T ; \quad \vec{q_m}=\mu \vec{g} ;\quad \vec{q_m}=-\vec{q_h}$$

Откуда, $\nabla T=\frac{\mu}{\chi}\vec{g}$, где $\mu$ - коэффициент вязкости газа; $\chi$ -коэффициент теплопроводности газа ($\chi=k \langle\nu\rangle \lambda \rho \frac{C_v}{M};\quad \mu=k \langle\nu\rangle \lambda \rho$, $k$ - числовой коэффициент) Таким образом, поток механической энергии преобразуется в тепловую на нижнем основании адиабатического цилиндра, а тепловой – в механическую на верхнем. Легко посчитать также распределение давлений. Которое для данного градиента оказывается:

$$p=p_0 \left(1-\frac{Mgh}{C_v T_0}\right)^{\frac{C_v}{R}}$$

[sergey zhukov]

tehnolog
Возьмем любое поперечное сечение столба газа плоскостью и рассмотрим молекулы в этом сечении. Как вы полагаете, те молекулы, что летят вверх, имеют в среднем ту же энергию, что и молекулы, которые летят вниз? Не зеркально ли симметрично распределены векторы скорости этих молекул относительно этой плоскости? Нельзя ли это рассматривать так, что молекулы от этой плоскости (разделяющей два соседних слоя) в среднем просто отражаются вверх и вниз, как от твердой стенки? Не значит ли это, что твердая стенка в среднем ничем не отличается от воображаемой границы между газовыми слоями?

Ясно же, что если бы это было не так (скажем, средняя вертикальная скорость молекул в сечении направлена вниз), то существовал бы вертикальный макроскопический поток молекул вниз. Какое же это равновесие?

tehnolog в сообщении #1608509 писал(а):

В адиабатическом газовом столбе реализуются два энергетических потока в противоположных направлениях. Первый – поток тепла, в соответствии с градиентом температур, второй – поток механической энергии в поле сил тяжести g:

Что значит поток механической энергии? Это энергия, которую переносят падающие частицы? Тогда в вашей модели должен быть макроскопический поток воздуха вниз. Как это возможно? Допустим, мы пометили верхнюю молекулу воздуха. По вашему, она должна неуклонно падать все ниже и ниже, пока не достигнет земли. А теперь ... она просто исчезает. На самом деле ей необходимо будет снова подняться наверх, т.е. стать частью такого же механического потока энергии в обратном направлении.

[realeugene]

tehnolog в сообщении #1608509 писал(а):

И, соответственно, $\frac{dT}{d\tau}\ne 0$.

Хорошо известно, что если всё аккуратно посчитать в рамках базовой модели идеального газа, получится как раз равенство нулю. И что это следует из основ статфизики для любого тела, не только для газа.

[tehnolog]

sergey zhukov в сообщении #1608514 писал(а):

tehnolog
Возьмем любое поперечное сечение столба газа плоскостью и рассмотрим молекулы в этом сечении. Как вы полагаете, те молекулы, что летят вверх, имеют в среднем ту же энергию, что и молекулы, которые летят вниз? Не зеркально ли симметрично распределены векторы скорости этих молекул относительно этой плоскости? Нельзя ли это рассматривать так, что молекулы от этой плоскости (разделяющей два соседних слоя) в среднем просто отражаются вверх и вниз, как от твердой стенки? Не значит ли это, что твердая стенка в среднем ничем не отличается от воображаемой границы между газовыми слоями?

Ясно же, что если бы это было не так (скажем, средняя вертикальная скорость молекул в сечении направлена вниз), то существовал бы вертикальный макроскопический поток молекул вниз. Какое же это равновесие?

Естественно я не претендую на последнюю истину, но именно так, как вы говорите, я себе это и представляю (в плане зеркальности). Естественно макропотока как такового нет. В пределах каждого из газовых слоев происходит распределение энергии по степеням свободы. Поэтому в пределах слоя вертикальные составляющие средних скоростей поступательного движения равны по модулю, и противоположны по направлению. Но модули этих скоростей падают с увеличением высоты, так как падает температура...

realeugene в сообщении #1608516 писал(а):

Хорошо известно, что если всё аккуратно посчитать в рамках базовой модели идеального газа, получится как раз равенство нулю. И что это следует из основ статфизики для любого тела, не только для газа

Интересно было бы почитать этот вывод из статфизики, если б я конечно осилил его.. По крайней мере из того, что я видел в курсе общей физики Савельева (понимаю, что это, возможно, не тот уровень) у меня сложилось впечатление, что в распределении Максвелла-Больцмана в априори заложено бездоказательное условие статистической независимости распределения молекул по потенциальным энергиям Больцмана от Максвеловского распределения по скоростям. Эти вероятности умножаются как статнезависимые..

[sergey zhukov]

tehnolog в сообщении #1608518 писал(а):

но именно так, как вы говорите, я себе это и представляю (в плане зеркальности).

Тогда в чем разница между воображаемой границей слоев и поверхностью земли? На этом же у вас все держится?

Вы согласны, что хотя-бы для одномерного случая ясно: если распределение молекул по энергиям в каком-то слое газа в гравитационном поле экспоненциально, то оно будет иметь точно такое же распределение в любом другом слое по высоте? Т.е. в этом случае распределение по энергиям от высоты не зависит?