метрические пространства

[redhat]

$(M,\rho)$ -- метрический компакт , непрерывное отображение $f:M\to M$ таково, что
$\rho(f(x),f(y))\ge \rho(x,y)$ для любых $x,y\in M$ Доказать, что $f$ -- изометрия

[AGu]

Пусть $f^n$ -- $n$-ая композиционная степень отображения $f$,
т.е. $f^0(x)=x$, $f^{n+1}(x)= f\bigl(f^n(x)\bigr)$.

Сразу заметим, что $\rho\bigl(f(x),f(y)\bigr)\leqslant\rho\bigl(f^n(x),f^n(y)\bigr)$
и $\rho\bigl(f^n(x),x\bigr)\leqslant\rho\bigl(f^{n+m}(x),f^m(x)\bigr)$
для любых $x,y\in M$, $n,m\in\mathbb N$.

Допустим вопреки доказываемому, что
$\rho\bigl(f(x),f(y)\bigr)=\rho(x,y)+\varepsilon$
для некоторых $x,y\in M$ и $\varepsilon>0$.

Поскольку $M$ компактно, последовательности $\bigl(f^n(x)\bigr)$ и $\bigl(f^n(y)\bigr)$
имеют сходящиеся подпоследовательности.
Выбирая подпоследовательности этих подпоследовательностей,
получим сходящиеся последовательности $\bigl(f^{n_k}(x)\bigr)$ и $\bigl(f^{n_k}(y)\bigr)$.
Сходящиеся последовательности фундаментальны,
а значит, найдутся $n,m\in\mathbb N$ такие, что
$\rho\bigl(f^{n+m}(x),f^m(x)\bigr)<\frac\varepsilon2$, $\rho\bigl(f^{n+m}(y),f^m(y)\bigr)<\frac\varepsilon2$.
Следовательно,
$\varepsilon=\rho\bigl(f(x),f(y)\bigr)-\rho(x,y)\leqslant\rho\bigl(f^n(x),f^n(y)\bigr)-\rho(x,y)\leqslant$
$\leqslant\rho\bigl(f^n(x),x\bigr)+\rho\bigl(f^n(y),y\bigr)\leqslant$
$\leqslant\rho\bigl(f^{n+m}(x),f^m(x)\bigr)+\rho\bigl(f^{n+m}(y),f^m(y)\bigr)<\varepsilon$.

P.S. Непрерывность $f$ в доказательстве не пригодилась,
да и компактность $M$ использована не в полной мере
(например, ее можно ослабить до предкомпактности).

[redhat]

AGu писал(а):

Пусть $f^n$ -- $n$-ая композиционная степень отображения $f$,
т.е. $f^0(x)=x$, $f^{n+1}(x)= f\bigl(f^n(x)\bigr)$.

Сразу заметим, что $\rho\bigl(f(x),f(y)\bigr)\leqslant\rho\bigl(f^n(x),f^n(y)\bigr)$
и $\rho\bigl(f^n(x),x\bigr)\leqslant\rho\bigl(f^{n+m}(x),f^m(x)\bigr)$
для любых $x,y\in M$, $n,m\in\mathbb N$.

Допустим вопреки доказываемому, что
$\rho\bigl(f(x),f(y)\bigr)=\rho(x,y)+\varepsilon$
для некоторых $x,y\in M$ и $\varepsilon>0$.

Поскольку $M$ компактно, последовательности $\bigl(f^n(x)\bigr)$ и $\bigl(f^n(y)\bigr)$
имеют сходящиеся подпоследовательности.
Выбирая подпоследовательности этих подпоследовательностей,
получим сходящиеся последовательности $\bigl(f^{n_k}(x)\bigr)$ и $\bigl(f^{n_k}(y)\bigr)$.
Сходящиеся последовательности фундаментальны,
а значит, найдутся $n,m\in\mathbb N$ такие, что
$\rho\bigl(f^{n+m}(x),f^m(x)\bigr)<\frac\varepsilon2$, $\rho\bigl(f^{n+m}(y),f^m(y)\bigr)<\frac\varepsilon2$.
Следовательно,
$\varepsilon=\rho\bigl(f(x),f(y)\bigr)-\rho(x,y)\leqslant\rho\bigl(f^n(x),f^n(y)\bigr)-\rho(x,y)\leqslant$
$\leqslant\rho\bigl(f^n(x),x\bigr)+\rho\bigl(f^n(y),y\bigr)\leqslant$
$\leqslant\rho\bigl(f^{n+m}(x),f^m(x)\bigr)+\rho\bigl(f^{n+m}(y),f^m(y)\bigr)<\varepsilon$.

P.S. Непрерывность $f$ в доказательстве не пригодилась,
да и компактность $M$ использована не в полной мере
(например, ее можно ослабить до предкомпактности).

Угу. Доказательство (с совершенно другой техникой) аналогичного утверждения с обратным неравенством см http://dxdy.ru/topic16887.html
Формулировки этих задач во всей общности без лишних предположений см Энгелькинг Общая топология.

[zoo]

$f:K\to K$--несжимающее отображение метрического компакта
Докаазать, что $f$ -- изометрия (вот только не соображу сходу надо ли считать, что $f$ непрерывно)

[ewert]

Не надо. $f: x\mapsto\sqrt x$ на $[0;1]$.

[zoo]

не понял

[ewert]

я тоже

(ладно, сделал вид что. У Вас ведь нет никаких ограничений на образ. Можно ли на что-то расчитывать?)

[zoo]

есть только то, что написано в условии, про непрерывность -- не уверен нужно ли ее закладывать

[Хорхе]

Ага, это задачка из Садовничьего-Григорьяна-Подколзина, над которой в свое время я долго корпел, т.к. решение в книжке отсутствовало. "Несжимающее" --- это значит, что для любых $x,y$

$$ d(f(x),f(y))\ge d(x,y). $$

Непрерывность кажись не нужна, не помню, а в книжку лезть лень.

[id]

Хорхе
Не подскажите конкретнее, откуда эта задачка? Интересует название книги, чтобы в Интернете поискать.


Недавно поднималась эта задачка:
http://dxdy.ru/topic16887-15.html, http://dxdy.ru/topic17017.html

[Хорхе]

id писал(а):

Хорхе
Не подскажите конкретнее, откуда эта задачка? Интересует название книги, чтобы в Интернете поискать.


Недавно поднималась эта задачка:
http://dxdy.ru/topic16887-15.html, http://dxdy.ru/topic17017.html

Сорри, неправильно указал авторов, Григорьян там лишний. Эту книжку я не нашел, зато есть другая, в которой Григорьян нелишний (может, кстати, задача и из нее )
Поиск книг

[id]

Хорхе
А разве там задачка не в "противоположную" сторону, т.е.

Цитата:

Пусть $f$ - отображение метрического компакта $X$ на себя такое, что $\rho(f(x),f(y)) \leqslant \rho(x,y)$. Доказать, что $f$ -изометрия

?

Задачки такого типа видел в Арханегельском, Общая топология в задачах. Но без решения.

[AD]

id, дык это ж неверно просто. $f$ может всё в одну точку уложить.

[zoo]

снимаю задачу
http://dxdy.ru/topic16887-15.html, http://dxdy.ru/topic17017.html --- тут все разобрано и ссылки даны верные

[id]

AD
Поэтому в условии и сказано "на" себя.