Для окружности уже сказано все, но можно сказать совсем коротко: пусть
наше непрерывное отображение. Рассмотрим
. Поскольку
, то либо
- тождественный ноль, либо нет, но тогда по теореме о промежуточном значении
в некоторой точке. Последнее можно переформулировать так: в предположении, что
всегда, рассмотрим
, что дает нам отображение из окружности в пару точек
. В силу связности окружности получаем, что образ должен состоять из одной точки, что противоречит нечетности
. Также отсюда видно, что условие непрерывности никак нельзя ослабить (например, одной интегрируемости уже не хватит).
Это можно обобщить на размерность 2: пусть также
. Аналогично рассмотрим
(в предположении
), тогда
будет отображением
. Поскольку
, то мы имеем свойство:
переводит диаметрально противоположные точки на сфере в тоже диаметрально противоположные точки на окружности, значит, можно опустить до отображения
. Теперь нужно воспользоваться фундаментальной группой
и заметить, что всякой петле, являющейся образующей в
(это единственные нестягиваемые петли в
) соответствует нестягиваемая петля в
, т.к. нетривиальные петли в
это только те, которые являются образами путей с концами диаметрально противоположными точками в исходной сфере
, в силу того, что такие концы петель перейдут в концы петель уже на
, а они тоже нетривиальны. Но
, а
, откуда видно, что ненулевых гомоморфизмов этих групп быть не может, а стало быть, не может быть и исходного отображения
сферы в плоскость. Фундаментальная группа обобщает понятие свзяности, которое использовалось в одномерном случае.
Для случая
доказать можно используя ту же идею с диаметрально противоположными точками, но техника потребуется несколько более продвинутая, нежели группа петель.