2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 00:49 
Заслуженный участник


24/08/12
1093
Функция $g$ непрерывна, и определена над любой точке окружности в эвклидовой плоскости.
Доказать, что существуют две "противоположные точки" окружности (на концах отрезка какого-то из ее диаметров) $P_1$ и $P_2$, для которых $g(P_1)=g(P_2)$

Обобщение для n-мерном пространстве (мне сказали что это доказывается сложно, на отличие от случая выше):
Дана $n$-сфера в эвклидовом $n$-мерном пространстве, и на ней определены $n$ непрерывных функций $g_1, g_2,....g_n$.
Доказать, что существуют две "противоположные точки" $n$-сферы (на концах отрезка какого-то из ее диаметров) $P_1$ и $P_2$, для которых $g_1(P_1)=g_1(P_2), g_2(P_1)=g_2(P_2), .... , g_n(P_1)=g_n(P_2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 02:11 


13/01/23
307
manul91 писал(а):
в эвклидовом $n$-мерном пространстве
$n+1$-мерном

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 02:50 


05/09/16
12108
manul91 в сообщении #1607180 писал(а):
Доказать, что существуют две "противоположные точки" окружности (на концах отрезка какого-то из ее диаметров) $P_1$ и $P_2$, для которых $g(P_1)=g(P_2)$

Интеграл суммы вдоль окружности $\int \limits_0^{2\pi} g(\phi)-g(\phi+\pi)d\phi=0$ (слагаемые - периодические функции, так что это сумма (в смысле -- разность) двух интегралов одной и той же функции по полному периоду), а сама сумма $g(\phi)-g(\phi+\pi)$ непрерывна т.к. непрерывны слагаемые. Ну тогда или эта сумма тождественный ноль или через него проходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 03:09 
Заслуженный участник


24/08/12
1093
wrest в сообщении #1607195 писал(а):
Интеграл суммы вдоль окружности $\int \limits_0^{2\pi} g(\phi)-g(\phi+\pi)d\phi=0$ (слагаемые - периодические функции, так что это сумма (в смысле -- разность) двух интегралов одной и той же функции по полному периоду), а сама сумма $g(\phi)-g(\phi+\pi)$ непрерывна т.к. непрерывны слагаемые. Ну тогда или эта сумма тождественный ноль или через него проходит.
Что-то тут кажется не так.
Интеграл суммы $\int \limits_0^{2\pi} g(\phi)-g(\phi+\frac{\pi}{17})d\phi$ тоже равен нулю (поскольку по полному периоду $\int \limits_0^{2\pi} g(\phi) = \int \limits_0^{2\pi} g(\phi+\frac{\pi}{17})d\phi$)
Значит ли это, что всегда существуют точки отстоящие на угол $\frac{\pi}{17}$ в которых $g$ принимает одинаковые значения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 03:16 


05/09/16
12108
manul91 в сообщении #1607196 писал(а):
Значит ли это, что всегда существуют точки отстоящие на угол $\frac{\pi}{17}$ в которых $g$ принимает одинаковые значения?

Это мне тоже пришло в голову, и сперва сильно смутило, но кажется что да, именно это и значит.
За это отвечает непрерывность. Для любого угла существуют такие две точки (если угол ноль, то точки совпадают).

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 04:05 
Заслуженный участник


24/08/12
1093
wrest в сообщении #1607197 писал(а):
Это мне тоже пришло в голову, и сперва сильно смутило, но кажется что да, именно это и значит.
За это отвечает непрерывность. Для любого угла существуют такие две точки (если угол ноль, то точки совпадают).
Мне непонятно само математическое рассуждение, можете его расписать подробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 05:44 
Заслуженный участник


24/08/12
1093
wrest
Кажется, понял. Рассмотрим функцию $F(\varphi) = \int _0^{\varphi} (g(\varphi) - g(\varphi + \theta))d\varphi$ где $\theta$ - любой угол.
$F(0) = 0$, и $F(2\pi) = 0$ (понятно, почему).
Из известной теореме следует, что если функция принимает одинаковые значения на концах интервала - то она либо константа, либо достигает экстремум где-то на интервале.
В точке экстремума $\varphi_0$ производная $F$ равна нулю - но она там равна $g(\varphi_0) - g(\varphi_0 + \theta)$ откуда следует что именно в этой точке равны значения функции и ее значение на отстояния угла $\theta$.
Если все так, то отсюда следует даже более сильное утверждение (ненужно чтобы ф-я была одна и та же) - если даны две функции $f$ и $g$ на окружности такие, что их интегралы на окружности равны $\int _{0}^{2\pi} g(\varphi)d\varphi = \int _{0}^{2\pi} f(\varphi)d\varphi $ - то для любого угла $\theta$ найдутся две соответные точки для которых значения функций равны $f(\varphi) = g(\varphi + \theta)$? Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 11:22 


21/04/22
356
manul91 в сообщении #1607180 писал(а):
Функция $g$ непрерывна, и определена над любой точке окружности в эвклидовой плоскости.
Доказать, что существуют две "противоположные точки" окружности (на концах отрезка какого-то из ее диаметров) $P_1$ и $P_2$, для которых $g(P_1)=g(P_2)$

А не эквивалентна ли эта задача задаче из этой темы, если взять $h = \frac{1}{2}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
А зачем интегралы? Пусть $f(t) = (\sin t, \cos t)$, тогда для $h(t) = g(f(t + \pi)) - g(f(t))$ имеем $h(\pi) = -h(0)$. Значит по теорема о нуле непрерывной функции $h(\alpha) = 0$ для какого-то $\alpha \in [0, \pi]$.
Хотя с интегралами более сильное утверждение получается, да.
mathematician123 в сообщении #1607239 писал(а):
А не эквивалентна ли эта задача задаче из этой
темы, если взять $h = \frac{1}{2}$?
Там отрезок, а не окружность, поэтому там сильно сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 12:55 


05/09/16
12108
manul91 в сообщении #1607201 писал(а):
если даны две функции $f$ и $g$ на окружности такие, что их интегралы на окружности равны

Непрерывность (а не только интегрируемость), мне кажется, тут необходима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 13:51 


21/04/22
356
mihaild в сообщении #1607251 писал(а):
Там отрезок, а не окружность, поэтому там сильно сложнее.

А чем? Вроде можно сказать, что задать непрерывную функцию на окружности это то же самое, что и задать непрерывную функцию на отрезке с дополнительным условием, что значения функции на концах отрезка равны (а на окружности эти концы совмещаются а одну точку). Или возникнут трудности с формальным обоснованием?

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
А, да, ровно для случая $1/2$ одно и то же. Для других в том топике условие другое, потому что например $f(8/9) = f(1/9)$ для расстояния $2/9$ на окружности засчитывается, а на отрезке нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 15:10 


02/07/23
118
Для окружности уже сказано все, но можно сказать совсем коротко: пусть $f \colon S^1 \to \mathbb{R}$ наше непрерывное отображение. Рассмотрим $g(x) = f(x) - f(-x),\ x\in S^1$. Поскольку $g(-x) = - g(x)$, то либо $g$ - тождественный ноль, либо нет, но тогда по теореме о промежуточном значении $g=0$ в некоторой точке. Последнее можно переформулировать так: в предположении, что $g(x)\neq 0$ всегда, рассмотрим $h(x) = g(x)/\| g(x)\|$, что дает нам отображение из окружности в пару точек $\{-1,1\}$. В силу связности окружности получаем, что образ должен состоять из одной точки, что противоречит нечетности $g$. Также отсюда видно, что условие непрерывности никак нельзя ослабить (например, одной интегрируемости уже не хватит).

Это можно обобщить на размерность 2: пусть также $f\colon S^2 \to \mathbb{R}^2$. Аналогично рассмотрим $g = f (x)-f(-x),\ h = g/\|g\|$ (в предположении $g\neq 0$), тогда $h$ будет отображением $S^2\to S^1$. Поскольку $h(-x) = -h(x)$, то мы имеем свойство: $h$ переводит диаметрально противоположные точки на сфере в тоже диаметрально противоположные точки на окружности, значит, можно опустить до отображения $\tilde{h}\colon\mathbb{R}P^n\to\mathbb{R}^1\cong S^1$. Теперь нужно воспользоваться фундаментальной группой $\mathbb{R}P^2$ и заметить, что всякой петле, являющейся образующей в $\pi_1(\mathbb{R}P^2)$ (это единственные нестягиваемые петли в $\mathbb{R}P^2$) соответствует нестягиваемая петля в $\mathbb{R}P^1$, т.к. нетривиальные петли в $\mathbb{R}P^2$ это только те, которые являются образами путей с концами диаметрально противоположными точками в исходной сфере $S^2$, в силу того, что такие концы петель перейдут в концы петель уже на $\mathbb{R}P^1$, а они тоже нетривиальны. Но $\pi_1(\mathbb{R}P^2)\simeq \mathbb{Z}_2$, а $\pi_1(\mathbb{R}P^1)\simeq \mathbb{Z}$, откуда видно, что ненулевых гомоморфизмов этих групп быть не может, а стало быть, не может быть и исходного отображения $g$ сферы в плоскость. Фундаментальная группа обобщает понятие свзяности, которое использовалось в одномерном случае.
Для случая $n\geqslant 3$ доказать можно используя ту же идею с диаметрально противоположными точками, но техника потребуется несколько более продвинутая, нежели группа петель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 17:23 
Заслуженный участник


24/08/12
1093
wrest в сообщении #1607254 писал(а):
Непрерывность (а не только интегрируемость), мне кажется, тут необходима.
Так $g$ по условию непрерывна, разумеется то же подразумевалось и для $f$.

Leeb
А для $S^2$ в $3D$, с двух функций $f$ и $g$, годится ли следующее "обывательское доказательство"?:
1) Для функции $g$, возьмем две противоположные точки $O'$ и $O''$ на сфере, для которых $g(O') \neq g(O'')$ (предполагаем что существуют такие, если ф-и константы то все тривиально).
2) Построим большой круг через $O'$ и $O''$. Будем называть его "кольцом" и считать что он может "вращаться" вокруг "оси" $O'O''$, заметая при этом поверхность сферы.
3) В "начальном положении" кольца - в силу одномерной теоремы на нем существуют как минимум две противоположные точки $P_1$ и $P_2$, на которых $g$ принимает одинаковую величину (и эти точки - не $O'$ и не $O''$)
4) "Начинаем вращать кольцо". В силу непрерывности $g$, точки $P_1$ и $P_2$ при вращении опишут какую-то замкнутую кривую $\tau$ на сфере - такую, что если какая-то точка ей принадлежит, то и диаметрально противоположная точка ей тоже принадлежит. Она не переходит через точек $O'$ и $O''$ по построению. (Это и есть тот момент, котором я не уверен. На самом деле, "кривая" может "разветвляться" и "соединяться" наподобие "связки веревок" и даже иметь сплошные участки - но из этого множества точек мы какую-то одномерную кривую точно можем выбрать).
5) Такую же замкнутую кривую $\sigma$ аналогично можно построить и для $f$
6) Теперь, на сфере у нас две замкнутые кривые $\tau$ и $\sigma$; для каждой из них если какая-то точка ей принадлежит - то и диаметрально противоположная точка принадлежит тоже, и в этих противоположных точек $g$ и $f$ принимают свои одинаковые величины соответно.
7) В силу этого рассмотрим любую конкретную полусферу, ограниченную каком-нибудь большим кругом (части обоих кривых на этой полусфере, однозначно определяют их "диаметральные" дополнения). Кривая $\tau$ (из функции $g$) начинается с какой-то точке на граничном круге, проходит как-нибудь по полусфере и заходит в противоположной точке. Кривая $\sigma$ (из функции $f$) - тоже. Понятно, что они топологически обязаны пересекаться. Это и будет та точка (и соответно ее противоположная) в которой обе функции принимают соответно свои одинаковые значения...

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоположные точки на окружности
Сообщение30.08.2023, 19:59 


02/07/23
118
manul91
Мне не очевидно, почему кривые, получаемые заметанием точек $P_1$ и $P_2$, обязательно непрерывные. Хоть и $g\colon S^2\to \mathbb{R}$ непрерывна, но кривые строятся достаточно хитрым образом. Т.е., возьмем похожий пример: возьмем квадрат и очевидно непрерывную на нем функцию - проекцию на сторону. Но это не значит, что выбирая в каждом слое по точке совсем произвольным образом, мы получим непрерывную кривую в квадрате. Здесь нечто похожее - мы "разрезали" сферу на большие окружности и в каждой окружности выбрано по точке (паре точек), но почему объединение этих точек обязательно является непрерывной кривой?
Если этот момент разрешить, то будет хорошее решение задачи.

Т.е. если обозначить $\omega_t$ - наша окружность ("кольцо"), повернутое на угол $t$ вокруг $O'O''$ относительно начального положения, то мы имеем по сути $P_1$ как нули функции $g|_{\omega_t}(x_t) - g|_{\omega_t}(-x_t)$, какие, конечно, существуют из одномерной теоремы. Но почему кривая $P_1(t)\colon t\mapsto x_t$ непрерывна?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group