Для окружности уже сказано все, но можно сказать совсем коротко: пусть

наше непрерывное отображение. Рассмотрим

. Поскольку

, то либо

- тождественный ноль, либо нет, но тогда по теореме о промежуточном значении

в некоторой точке. Последнее можно переформулировать так: в предположении, что

всегда, рассмотрим

, что дает нам отображение из окружности в пару точек

. В силу связности окружности получаем, что образ должен состоять из одной точки, что противоречит нечетности

. Также отсюда видно, что условие непрерывности никак нельзя ослабить (например, одной интегрируемости уже не хватит).
Это можно обобщить на размерность 2: пусть также

. Аналогично рассмотрим

(в предположении

), тогда

будет отображением

. Поскольку

, то мы имеем свойство:

переводит диаметрально противоположные точки на сфере в тоже диаметрально противоположные точки на окружности, значит, можно опустить до отображения

. Теперь нужно воспользоваться фундаментальной группой

и заметить, что всякой петле, являющейся образующей в

(это единственные нестягиваемые петли в

) соответствует нестягиваемая петля в

, т.к. нетривиальные петли в

это только те, которые являются образами путей с концами диаметрально противоположными точками в исходной сфере

, в силу того, что такие концы петель перейдут в концы петель уже на

, а они тоже нетривиальны. Но

, а

, откуда видно, что ненулевых гомоморфизмов этих групп быть не может, а стало быть, не может быть и исходного отображения

сферы в плоскость. Фундаментальная группа обобщает понятие свзяности, которое использовалось в одномерном случае.
Для случая

доказать можно используя ту же идею с диаметрально противоположными точками, но техника потребуется несколько более продвинутая, нежели группа петель.