Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[Doctor Boom]

vicvolf в сообщении #1605866 писал(а):

Пусть $\varphi=\pi/4$. Возьмем $2 \in R$ и $3 \in R$. Получим на прямой два значения $\sqrt {2}(1+i)$ и $\frac {3}{2}\sqrt {2}(1+i)$. Какое больше?

Если зададим положительное направление вверх-вправо, то второе больше, если вниз-влево, то первое больше

[vicvolf]

Doctor Boom в сообщении #1605872 писал(а):

vicvolf в сообщении #1605866 писал(а):

Пусть $\varphi=\pi/4$. Возьмем $2 \in R$ и $3 \in R$. Получим на прямой два значения $\sqrt {2}(1+i)$ и $\frac {3}{2}\sqrt {2}(1+i)$. Какое больше?

Если зададим положительное направление вверх-вправо, то второе больше

Т.е. Вы допускаете сравнение комплексных чисел и считаете такую запись корректной $\sqrt {2}(1+i) < \frac {3}{2}\sqrt {2}(1+i)$?

[Doctor Boom]

vicvolf в сообщении #1605874 писал(а):

Т.е. Вы допускаете сравнение комплексных чисел и считаете такую запись корректной $\sqrt {2}(1+i) < \frac {3}{2}\sqrt {2}(1+i)$?

Сравнивать можно любые элементы чего-угодно, если задать аксиомы порядка на них. В данном случае сравнение происходит на одномерном комплексном подмножестве

[vicvolf]

Doctor Boom в сообщении #1605877 писал(а):

В данном случае сравнение происходит на одномерном комплексном подмножестве

Понятно, значит на каждой прямой своя линейная упорядоченность. Это вполне соответствует системе действительных чисел, которая получается при $\varphi=0$. В отношении Вашей, так называемой, "естественной" упорядоченности ничего сказать не могу.

[bot]

Doctor Boom в сообщении #1605877 писал(а):

Сравнивать можно любые элементы чего-угодно, если задать аксиомы порядка на них.

Это всё о чём и зачем? Любое множество с ZFC , в частности - любое множество на прямой или кривой может быть упорядочено (и даже вполне) и что?
Это ведь не отменяет того факта, что множество комплексных чисел упорядочено быть не может, ибо порядок предполагается не абы какой, а линейный и согласованный с операциями.

[Doctor Boom]

vicvolf
bot
Я говорил об отсутствии естественного линейного порядка на одномерных подмножествах комплексных чисел. Вообще идею этого доказательства лучше применить на ориентациях векторов. Например, можно показать, для упорядоченной пары векторов в трехмерном пространстве нет естественной ориентации (в двухмерном пространстве есть, а в трехмерном есть для тройки упорядоченных векторов). Соображения все те же - пусть такая ориентация есть для какой-то пары векторов. Начнем вращать какой-то вектор этой пары, чтобы в конце он сменил знак. Очевидно, что при малом изменении положения нашей пары ее ориентация не должна поменяться, тогда она должна быть той же самой и в конце пути. Но в конце она должна сменить знак, т.к. один вектор из пары сменил знак, получаем противоречие. Значит у пары упорядоченных векторов нет естественной ориентации в трехмерном пространстве, чтд. (хотя такую ориентацию можно ввести искусственно для каждой пары, главное чтобы у пар, которые отличаются знаком одного из векторов, были противоположные ориентации)

[vicvolf]

Doctor Boom в сообщении #1605984 писал(а):

Я говорил об отсутствии естественного линейного порядка на одномерных подмножествах комплексных чисел.

Doctor Boom в сообщении #1605803 писал(а):

vicvolf в сообщении #1605771 писал(а):

Вы считаете, что поле $Re^{i\varphi}$ не является упорядоченным. Оно действительно не является упорядоченным

Там можно ввести аж две упорядоченности)

Doctor Boom в сообщении #1605984 писал(а):

Вообще идею этого доказательства лучше применить на ориентациях векторов.

Не в этой теме.

[mihaild]

epros в сообщении #1605844 писал(а):

Но неконструктивные числа по моим понятиям - чистый продукт воображения

А множество конструктивных чисел - продукт воображения или нет?

[vicvolf]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1605844 писал(а):

Но неконструктивные числа по моим понятиям - чистый продукт воображения, т.е. утверждение, что они могут где-то храниться - это тоже чистая фантазия.

Представление об неконструктивных числах всё же дать можно, если привлечь понятие случайного действительного числа (которое, конечно, не то же самое, что и детерминированное действительное число). СЛУЧАЙНОЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО можно представить как десятичную (или любую систематическую дробь – двоичную, троичную и т.п.) бесконечную дробь, значения всех (или по крайней мере какого-то бесконечного подмножества) цифровых разрядов которого являются случайными выборками из множества 10 цифр, производимыми по некоторым (определённым или неопределённым) случайным законам. Если в бесконечное число десятичных (двоичных и т.п.) разрядов подставить цифры, полученные в результате множества случайных выборок (которые не является алгоритмами), то получится некоторое действительное число, которое будет моделью неконструктивного действительного числа. Вероятность получения в бесконечной случайной выборке рационального числа, очевидно, стремится к нулю и, значит, полученное число будет иррациональным, а, т.к. составляющие его цифры не предсказуемы, оно будет неконструктивным.

[epros]

mihaild в сообщении #1606031 писал(а):

А множество конструктивных чисел - продукт воображения или нет?

Множество конструктивных чисел - наверняка продукт чистого воображения. Само по себе отдельно взятое конструктивное действительное число - хотя и продукт воображения, но уже не настолько чистого, поскольку оно имеет конкретные представления на бумаге (то бишь может быть "записано").

Вообще-то вся математика - наука о воображаемом, так что это вовсе не ругательство. Просто нужно иметь в виду, что чистое воображение иногда может завести слишком далеко.

vicvolf в сообщении #1606037 писал(а):

СЛУЧАЙНОЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

Увы, это не определение конкретного числа.

[Doctor Boom]

vicvolf
Если вы хотели усмотреть противоречие, то его там нет, т.к. я говорил об отсутствии естественной упорядоченности, что не противоречит возможности ввести два "искусственных" линейных порядка, ни один из которых не лучше другого

[mihaild]

epros в сообщении #1606090 писал(а):

Само по себе отдельно взятое конструктивное действительное число - хотя и продукт воображения, но уже не настолько чистого, поскольку оно имеет конкретные представления на бумаге (то бишь может быть "записано").

Если я запишу на бумаге "$A$ - множество конструктивных действительных чисел", то чем это хуже?

Doctor Boom в сообщении #1606109 писал(а):

т.к. я говорил об отсутствии естественной упорядоченности

А что такое "естественная" упорядоченность?

[epros]

mihaild в сообщении #1606112 писал(а):

Если я запишу на бумаге "$A$ - множество конструктивных действительных чисел", то чем это хуже?

С точки зрения неограниченности чистой фантазии - ничем не хуже. Но с точки зрения нежелательности слишком сильно улетать в область фантазий: Множество следует считать определённым только после того, как продемонстрирована возможность для любого предъявленного объекта узнать, принадлежит ли он этому множеству. В данном случае я по любой предъявленной формуле должен определить, является ли она формулой сходящейся последовательности рациональных чисел.

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1606112 писал(а):

А что такое "естественная" упорядоченность?

Такая упорядоченность, у которой мы можем однозначно выделить положительное направление в силу эвристических причин. И которое не изменится резко на 180 при небольшом повороте множества

[vicvolf]

Doctor Boom в сообщении #1606109 писал(а):

vicvolf
Если вы хотели усмотреть противоречие, то его там нет, т.к. я говорил об отсутствии естественной упорядоченности, что не противоречит возможности ввести два "искусственных" линейных порядка, ни один из которых не лучше другого

Вы совсем меня запутали. Думаю, что не только меня. Вы то говорите о линейной упорядоченности, то о так называемой Вами "естественной", а теперь опять что-то новое

Doctor Boom в сообщении #1605984 писал(а):

Я говорил об отсутствии естественного линейного порядка на одномерных подмножествах комплексных чисел.

А что такое естественный линейный порядок. Я думал, что это линейная упорядоченность, а оказывается это естественная. Похоже этот термин Вам нужен для того, чтобы когда хотите отказаться от утверждения об линейной упорядоченности, то называете ее естественной и наоборот. Дайте, пожалуйста, четкие определения для так называемых Вами "естественной" упорядоченности и "естественного линейного порядка"? Притом, пожалуйста, остановите полет фантазии и приблизьте его к рассматриваемым в теме числовым полям.