2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ... 22  След.
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 09:49 


22/10/20
1206
epros в сообщении #1604398 писал(а):
Он имеет какое-то отношение к теме или хотя бы к вопросу о том, что такое аксиоматические теории?
Да. Я привел пример теоремы о вещественных числах:
EminentVictorians в сообщении #1604287 писал(а):
$$\text{Всякое несчётное замкнутое множество M есть сумма совершенного }$$ $$\text{множества своих точек конденсации и не более, чем счетного множества остальных точек. }$$


Вы действительные числа определили (и я понял как - как формальную теорию действительных чисел первого порядка).

Мне интересно, как Вы будете определять вещи из этой теоремы. Хотя бы вот эти две:

1)Как Вы определите несчетное подмножество действительных чисел?
2)Как Вы сформулируете "всякое несчетное подмножество $M$"? (У Вас же теория первого порядка, квантификации по подмножествам нету. Теории множеств тоже нету.)

Пример в том, что эта теорема - чисто о действительных числах. Но сможете ли Вы ее сформулировать? (при Вашем подходе к определению $\mathbb R$ разумеется)

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
epros в сообщении #1604398 писал(а):
Думаю, что в этом нам поможет теорема о единственности максимального архимедова упорядоченного поля, о которой я слышал, но углубиться не сподобился
Нет, не поможет.
Нетривиальных эндоморфизмов у $\mathbb R$ не бывает, да. Потому что неотрицательные элементы - это в точности квадраты, значит эндоморфизм $\mathbb R$ сохраняет $\mathbb R_+$, значит сохраняет порядок, значит непрерывен. Ну а если сохраняет $\mathbb Q$ и непрерывен - то сохраняет всё.
Но у $\mathbb C$ полно нетривиальных эндоморфизмов в себя (если принять аксиому выбора). $\mathbb R$ при них переходит не в себя.

Точное утверждение такое: пусть $\mathbb C$ - поле $(\mathbb R \times \mathbb R, +_\mathbb C, \cdot_\mathbb C)$, сложение покоординатное, умножение понятно какое.
Тогда существует такое подмножество $T \subseteq \mathbb R \times \mathbb R$, что $C' = (T, (+_\mathbb C)_{T}, (\cdot_\mathbb C)_{T})$ - поле, изоморфное $\mathbb C$. В частности, существует изоморфное вложение $\mathbb R$ в $C'$ (отличающееся, естественно, от $x \to (x, 0)$). Вы сомневаетесь в этом утверждении, или хотите сказать, что оно не противоречит единственности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 11:42 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Alexey Rodionov в сообщении #1604124 писал(а):
комплексное число с нулевой мнимой частью $(a,0) $, это число действительное, а именно, число $a$. То есть, $a = (a,0)$.

Цитата:
Ainsi, lorsque l’on écrit « $a=(a,\ 0)$ », l’injection $\Phi$ est sous-entendue, l’ecriture correcte étant $\Phi(a)=(a,\ 0).$
Таким образом, когда мы пишем « $a=(a,\ 0)$ », подразумевается инъекция $\Phi$, правильным написанием являясь $\Phi(a)=(a,\ 0).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 14:06 


07/05/13
174
gefest_md в сообщении #1604410 писал(а):
Таким образом, когда мы пишем « $a=(a,\ 0)$ », подразумевается инъекция $\Phi$, правильным написанием являясь $\Phi(a)=(a,\ 0).$

Конечно, так оно и есть. В текстах это нужно писать один раз, но большими буквами. В аудитории говорить один раз, но громко.
Говорим партия - подразумеваем Ленин. "Максимка" туда же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10984
mihaild в сообщении #1604407 писал(а):
Но у $\mathbb C$ полно нетривиальных эндоморфизмов в себя (если принять аксиому выбора). $\mathbb R$ при них переходит не в себя.

Это как-нибудь учитывает то факт, что нуль и единица должны переходить в себя?

mihaild в сообщении #1604407 писал(а):
Точное утверждение такое: пусть $\mathbb C$ - поле $(\mathbb R \times \mathbb R, +_\mathbb C, \cdot_\mathbb C)$, сложение покоординатное, умножение понятно какое.
Тогда существует такое подмножество $T \subseteq \mathbb R \times \mathbb R$, что $C' = (T, (+_\mathbb C)_{T}, (\cdot_\mathbb C)_{T})$ - поле, изоморфное $\mathbb C$. В частности, существует изоморфное вложение $\mathbb R$ в $C'$ (отличающееся, естественно, от $x \to (x, 0)$). Вы сомневаетесь в этом утверждении, или хотите сказать, что оно не противоречит единственности?

Для начала я хочу уточнить, что моё понимание подполя предполагает равенство $+_\mathbb{C}=(+_\mathbb{C})_{T}$ и $\cdot_\mathbb{C}=(\cdot_\mathbb{C})_{T}$. Так что изоморфное вложение $\mathbb R$ в $C'$, как я полагаю, не будет отличаться от $x \to (x, 0)$.

Вообще, было бы странным, если бы сложение $a$ и $b$ в подполе $\mathbb{R}$ отличалось бы от сложения $(a,0)$ и $(b,0)$ в поле $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
epros в сообщении #1604433 писал(а):
Это как-нибудь учитывает то факт, что нуль и единица должны переходить в себя?
Да, конечно, любой изоморфизм полей сохраняет 0 и 1.
epros в сообщении #1604433 писал(а):
Для начала я хочу уточнить, что моё понимание подполя предполагает равенство $+_\mathbb{C}=(+_\mathbb{C})_{T}$ и $\cdot_\mathbb{C}=(\cdot_\mathbb{C})_{T}$.
У меня там вертикальная черта потерялась. Должно было быть $(+_\mathbb C)|_T$ и $(\cdot_\mathbb C)|_T$ - операции в подполе определяются как ограничение исходных на носитель подполя (точного равенства не получится, т.к. область определения разная).
epros в сообщении #1604433 писал(а):
Так что изоморфное вложение $\mathbb R$ в $C'$, как я полагаю, не будет отличаться от $x \to (x, 0)$.
Будет отличаться. Если $T$ содержит $\mathbb R \times \{0\}$, то обязательно будет $T = \mathbb R \times \mathbb R$. Но $T$ не обязательно содержит $\mathbb R \times \{0\}$.
В $\mathbb C$ (при условии аксиомы выбора) куча разных подполей, изоморфных $\mathbb R$. Они все содержат $\mathbb Q$, но не обязаны содержать, например, $\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 16:52 


07/05/13
174
Alexey Rodionov в сообщении #1604421 писал(а):
gefest_md в сообщении #1604410 писал(а):
Таким образом, когда мы пишем « $a=(a,\ 0)$ », подразумевается инъекция $\Phi$, правильным написанием являясь $\Phi(a)=(a,\ 0).$

Конечно, так оно и есть. В текстах это нужно писать один раз, но большими буквами. В аудитории говорить один раз, но громко.
Говорим партия - подразумеваем Ленин. "Максимка" туда же.


Виноват. Такого $a=(a,\ 0)$ мы писать вообще не будем. А вот если придется написать $\alpha c$ где $\alpha $ действительное, а $ c$ комплексное, то поясним, что это следует понимать как $\Phi(\alpha)c$ и для большей лучшести прошепчем, что вложение $R \subset C$ места не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10984
mihaild в сообщении #1604435 писал(а):
Если $T$ содержит $\mathbb R \times \{0\}$, то обязательно будет $T = \mathbb R \times \mathbb R$. Но $T$ не обязательно содержит $\mathbb R \times \{0\}$.

Мне даже интересно стало, как может не содержать. Я правильно понимаю, что из наличия в этом $T$ нуля и единицы, а также операций сложения и умножения следует наличие в нём всех натуральных чисел? Далее, из существования противополжного элемента следует наличие в нём всех целых чисел? Далее, из существования обратного элемента следует наличие в нём всех рациональных чисел? Конечно, в смысле $\mathbb{Q} \times \{0\}$.

mihaild в сообщении #1604435 писал(а):
В $\mathbb C$ (при условии аксиомы выбора) куча разных подполей, изоморфных $\mathbb R$. Они все содержат $\mathbb Q$, но не обязаны содержать, например, $\pi$.

Интересно, а. как на это посмотрят остальные аксиомы действительных чисел? Я имею в виду порядка и, скажем, непрерывности? Например, берём две последовательности рациональных чисел, приближающие $\pi$ одна снизу, а другая сверху. Согласно аксиоме непрерывности между ними непременно есть действительное число. И это действительное число - непременно $\pi$. Каким образом это число может не войти в данное подполе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
epros в сообщении #1604451 писал(а):
Далее, из существования обратного элемента следует наличие в нём всех рациональных чисел? Конечно, в смысле $\mathbb{Q} \times \{0\}$.
Да, и Вы ниже это цитируете:)
epros в сообщении #1604451 писал(а):
Интересно, а. как на это посмотрят остальные аксиомы действительных чисел? Я имею в виду порядка и, скажем, непрерывности?
Порядок на вещественных числах как подполе $\mathbb C$ не выражается через операции на $\mathbb C$.
Т.е. вот взяли $K$ - подполе $\mathbb C = \mathbb R \times \mathbb R$, изоморфное $\mathbb R$, но не совпадающее с $\mathbb R \times \{0\}$. Оно неизбежно будет довольно диким. И задаваемая изоморфизмом топология будет отличаться от исходной.
epros в сообщении #1604451 писал(а):
И это действительное число - непременно $\pi$
Давайте сыграем в игру Эренфойхта.
Нет, я утверждаю, что точка между $\mathbb Q \cap (-\infty, \pi)$ и $\mathbb Q \cap (\pi, \infty)$ (точнее понятно соответствующими им подмножествами $\mathbb R^2$) - это $42 + e \cdot i$. Попробуйте поймать меня за руку.

Если бы мы были на прямой, и я бы попытался сказать, что эти два множества разделяет например число $e$, то Вы смогли бы поймать меня за руку, попросив показать число, квадрат которого равен $e - 3$ - Вы-то показать квадрат числа, равный $\pi - 3$ легко можете. А вот в комплексных числах это не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10984
mihaild в сообщении #1604455 писал(а):
Порядок на вещественных числах как подполе $\mathbb C$ не выражается через операции на $\mathbb C$.

Но на подполе, существующем в силу аксиомы 3, порядок ведь есть?

mihaild в сообщении #1604455 писал(а):
Оно неизбежно будет довольно диким. И задаваемая изоморфизмом топология будет отличаться от исходной.

Я слышал о базисах Гамеля и возможности построить с их помощью нелинейные аддитивные функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (наверное, Вы нечто подобное имеете в виду под "дикостью"?). Однако, насколько я понимаю, в данном случае такие финты не прокатывают. Ибо то $\mathbb{Q}$, которое мы построили внутри подполя, изоморфного $\mathbb{R}$, имеет стандартный линейный порядок, согласованный со сложением и умножением (в силу аксиом порядка для подполя). И то число, которое мы поставим между $\mathbb Q \cap (-\infty, \pi)$ и $\mathbb Q \cap (\pi, \infty)$, должно тоже подчиняться тому же стандартному линейному порядку, ибо он един для всего подполя.

mihaild в сообщении #1604455 писал(а):
Если бы мы были на прямой, и я бы попытался сказать, что эти два множества разделяет например число $e$, то Вы смогли бы поймать меня за руку, попросив показать число, квадрат которого равен $e - 3$ - Вы-то показать квадрат числа, равный $\pi - 3$ легко можете. А вот в комплексных числах это не получится.

Вот тут я не понял, чего именно я не смогу на подполе, изоморфном $\mathbb{R}$, что мог бы на "самом" $\mathbb{R}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
epros в сообщении #1604458 писал(а):
Но на подполе, существующем в силу аксиомы 3, порядок ведь есть?
По умолчанию нет, но его можно ввести - сказав, что $a \geq b$ если уравнение $x^2 = a - b$ разрешимо.
epros в сообщении #1604458 писал(а):
Я слышал о базисах Гамеля и возможности построить с их помощью нелинейные аддитивные функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (наверное, Вы нечто подобное имеете в виду под "дикостью"?). Однако, насколько я понимаю, в данном случае такие финты не прокатывают.
Да, это. Как раз аналогичная конструкция прокатывает.
epros в сообщении #1604458 писал(а):
И то число, которое мы поставим между $\mathbb Q \cap (-\infty, \pi)$ и $\mathbb Q \cap (\pi, \infty)$, должно тоже подчиняться тому же стандартному линейному порядку, ибо он един для всего подполя
Какой "стандартный порядок"? Для задания порядка нужно подполе.
Вот у нас есть подполе $L := \mathbb R \times \{0\}$ и подполе $K \subset \mathbb R^2$, $K \neq L$, $K \simeq L$. Операции на каждом из них унаследованы из $\mathbb C$. Они оба, естественно, содержат $\mathbb Q \times \{0\}$. Можно ввести порядки $<_L$ и $<_K$. Это порядки разные, потому что у них даже области определения разные.
epros в сообщении #1604458 писал(а):
Вот тут я не понял, чего именно я не смогу на подполе, изоморфном $\mathbb{R}$, что мог бы на "самом" $\mathbb{R}$.
Немного не так: если бы я пытался найти в $\mathbb R$ собственное подполе, изоморфное $\mathbb R$, то Вы бы смогли меня поймать за руку, когда я попытаюсь в качестве верхней грани $\mathbb Q \cap (-\inf, \pi)$ подсунуть $e$. А вот если я пытаюсь в $\mathbb R^2$ найти подполе, изоморфное $\mathbb R$, и в качестве той же верхней грани подсовываю $(e, 0)$ - то поймать меня за руку не получится (т.к. существует вложение $\mathbb R \to \mathbb C$, такой что $f(\pi) = (e, 0)$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10984
mihaild в сообщении #1604459 писал(а):
epros в сообщении #1604458 писал(а):
Но на подполе, существующем в силу аксиомы 3, порядок ведь есть?
По умолчанию нет, но его можно ввести - сказав, что $a \geq b$ если уравнение $x^2 = a - b$ разрешимо.

Не понял, как это нет, если аксиома 3 утверждает, что это подполе изоморфно $\mathbb{R}$, т.е. удовлетворяет всем аксиомам действительных чисел, включая аксиомы линейного порядка?

mihaild в сообщении #1604459 писал(а):
Какой "стандартный порядок"?

Под словом "стандартный" я имел в виду линейный порядок, согласованный со сложением и умножением, который установлен стандартной аксиоматикой действительных чисел.

mihaild в сообщении #1604459 писал(а):
Можно ввести порядки $<_L$ и $<_K$. Это порядки разные, потому что у них даже области определения разные.

Хорошо, это понятно.

Не могли бы Вы пояснить, почему:
mihaild в сообщении #1604455 писал(а):
Если бы мы были на прямой, и я бы попытался сказать, что эти два множества разделяет например число $e$, то Вы смогли бы поймать меня за руку, попросив показать число, квадрат которого равен $e - 3$
И почему в подполе $\mathbb{R}^2$ это не срабатывает?

Насколько я понимаю, в жизни мы определяем число $\pi$ как предел некоторой последовательности рациональных чисел. Его никак невозможно перепутать с числом $e$, потому что последовательность разностей будет иметь пределом не нуль. И если у нас имеется последовательность пар рациональных чисел вида $(x,0)$, пределом которой является $(\pi,0)$, то каким образом в качестве этого предела становится возможным подсунуть $(e,0)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение08.08.2023, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
epros в сообщении #1604489 писал(а):
что это подполе изоморфно $\mathbb{R}$, т.е. удовлетворяет всем аксиомам действительных чисел, включая аксиомы линейного порядка
А что такое "изоморфно $\mathbb R$"? Обычно когда говорят о полях это означает, что есть биекция, сохраняющая сложение и умножение. Про порядок на поле ничего не говорится. Но это не очень важно, потому что на вещественных числах порядок выражается через сложение и умножение.
epros в сообщении #1604489 писал(а):
И почему в подполе $\mathbb{R}^2$ это не срабатывает?
Потому что когда Вы попросите меня предъявить квадратный корень из $e - 3$, я смогу это сделать. Т.к. мне для выбора доступны все комплексные числа.
epros в сообщении #1604489 писал(а):
Насколько я понимаю, в жизни мы определяем число $\pi$ как предел некоторой последовательности рациональных чисел.
А как Вы определяете предел?
На вещественных числах топологию можно определить через арифметику. На комплексных нет.

Т.е. вот я говорю, что у меня есть $K$ - подполе $\mathbb C$, отличающееся от $\mathbb R \times \{0\}$, но изоморфное $\mathbb R$, т.е. есть биекция $f: \mathbb R \to K$, такая что $f(x +_\mathbb{R} y) = f(x) +_K f(y)$, аналогично со сложением. Ну и $+_K$, т.к. $K$ - подполе $\mathbb C$ - получается ограничением $+_\mathbb C$ на $K$. Довольно легко показать, что если $q$ рациональное, то $f(q) = (q, 0)$. Теперь я говорю, что $f(\pi) = (e, 0)$. Ну и ещё говорю, что $f(\sqrt{\pi - 3}) = (0, \sqrt{3 - e})$. Попробуйте продемонстрировать, что $f$ не изоморфизм.
Можно определить сходимость на $K$: $x_n \to_K x$, если $\forall \varepsilon \in K_+ \exists N \forall n > N: |x_n - x| <_K \varepsilon$,где $a <_K b$ означает $\exists c \in K: a + c^2 = b$. Ну и окажется, что если $q_n \to \pi$ в $\mathbb R$, то $(q_n, 0) \to_K (e, 0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение09.08.2023, 09:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10984
mihaild в сообщении #1604492 писал(а):
А что такое "изоморфно $\mathbb R$"? Обычно когда говорят о полях это означает, что есть биекция, сохраняющая сложение и умножение. Про порядок на поле ничего не говорится.

По моим понятиям изоморфизм должен сохранять всю структуру. А она в данном случае определяется всей аксиоматикой действительных чисел.

mihaild в сообщении #1604492 писал(а):
А как Вы определяете предел?
На вещественных числах топологию можно определить через арифметику. На комплексных нет.

Хорошо. Правильно ли я понял, что отсутствие топологии, определённой для $\mathbb{C}$ или для $\mathbb{R}^2$ (в аксиоматике про это ничего не сказано), позволяет Вам определить на $K$ нетривиальную топологию, позволяющую вместо $(\pi,0)$, который был в $L$, подставить что-то другое?

Значит ли это, что проблему можно решить, добавив в аксиоматику определение топологии на $\mathbb{C}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли умножать комплексное число на действительное?
Сообщение09.08.2023, 09:39 


13/01/23
307
epros писал(а):
Значит ли это, что проблему можно решить, добавив в аксиоматику определение топологии на $\mathbb{C}$?
https://www.youtube.com/watch?v=AGEOrtQ0AVc

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 321 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ... 22  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group