Но на подполе, существующем в силу аксиомы 3, порядок ведь есть?
По умолчанию нет, но его можно ввести - сказав, что

если уравнение

разрешимо.
Я слышал о базисах Гамеля и возможности построить с их помощью нелинейные аддитивные функции

(наверное, Вы нечто подобное имеете в виду под "дикостью"?). Однако, насколько я понимаю, в данном случае такие финты не прокатывают.
Да, это. Как раз аналогичная конструкция прокатывает.
И то число, которое мы поставим между

и

, должно тоже подчиняться тому же стандартному линейному порядку, ибо он един для всего подполя
Какой "стандартный порядок"? Для задания порядка нужно подполе.
Вот у нас есть подполе

и подполе

,

,

. Операции на каждом из них унаследованы из

. Они оба, естественно, содержат

. Можно ввести порядки

и

. Это порядки разные, потому что у них даже области определения разные.
Вот тут я не понял, чего именно я не смогу на подполе, изоморфном

, что мог бы на "самом"

.
Немного не так: если бы я пытался найти в

собственное подполе, изоморфное

, то Вы бы смогли меня поймать за руку, когда я попытаюсь в качестве верхней грани

подсунуть

. А вот если я пытаюсь в

найти подполе, изоморфное

, и в качестве той же верхней грани подсовываю

- то поймать меня за руку не получится (т.к. существует вложение

, такой что

).