Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1604398 писал(а):

Он имеет какое-то отношение к теме или хотя бы к вопросу о том, что такое аксиоматические теории?

Да. Я привел пример теоремы о вещественных числах:

EminentVictorians в сообщении #1604287 писал(а):

$$\text{Всякое несчётное замкнутое множество M есть сумма совершенного }$$

$$\text{множества своих точек конденсации и не более, чем счетного множества остальных точек. }$$

Вы действительные числа определили (и я понял как - как формальную теорию действительных чисел первого порядка).

Мне интересно, как Вы будете определять вещи из этой теоремы. Хотя бы вот эти две:

1)Как Вы определите несчетное подмножество действительных чисел?
2)Как Вы сформулируете "всякое несчетное подмножество $M$"? (У Вас же теория первого порядка, квантификации по подмножествам нету. Теории множеств тоже нету.)

Пример в том, что эта теорема - чисто о действительных числах. Но сможете ли Вы ее сформулировать? (при Вашем подходе к определению $\mathbb R$ разумеется)

[mihaild]

epros в сообщении #1604398 писал(а):

Думаю, что в этом нам поможет теорема о единственности максимального архимедова упорядоченного поля, о которой я слышал, но углубиться не сподобился

Нет, не поможет.
Нетривиальных эндоморфизмов у $\mathbb R$ не бывает, да. Потому что неотрицательные элементы - это в точности квадраты, значит эндоморфизм $\mathbb R$ сохраняет $\mathbb R_+$, значит сохраняет порядок, значит непрерывен. Ну а если сохраняет $\mathbb Q$ и непрерывен - то сохраняет всё.
Но у $\mathbb C$ полно нетривиальных эндоморфизмов в себя (если принять аксиому выбора). $\mathbb R$ при них переходит не в себя.

Точное утверждение такое: пусть $\mathbb C$ - поле $(\mathbb R \times \mathbb R, +_\mathbb C, \cdot_\mathbb C)$, сложение покоординатное, умножение понятно какое.
Тогда существует такое подмножество $T \subseteq \mathbb R \times \mathbb R$, что $C' = (T, (+_\mathbb C)_{T}, (\cdot_\mathbb C)_{T})$ - поле, изоморфное $\mathbb C$. В частности, существует изоморфное вложение $\mathbb R$ в $C'$ (отличающееся, естественно, от $x \to (x, 0)$). Вы сомневаетесь в этом утверждении, или хотите сказать, что оно не противоречит единственности?

[gefest_md]

Alexey Rodionov в сообщении #1604124 писал(а):

комплексное число с нулевой мнимой частью $(a,0) $, это число действительное, а именно, число $a$. То есть, $a = (a,0)$.

Цитата:

Ainsi, lorsque l’on écrit « $a=(a,\ 0)$ », l’injection $\Phi$ est sous-entendue, l’ecriture correcte étant $\Phi(a)=(a,\ 0).$

Таким образом, когда мы пишем « $a=(a,\ 0)$ », подразумевается инъекция $\Phi$, правильным написанием являясь $\Phi(a)=(a,\ 0).$

[Alexey Rodionov]

gefest_md в сообщении #1604410 писал(а):

Таким образом, когда мы пишем « $a=(a,\ 0)$ », подразумевается инъекция $\Phi$, правильным написанием являясь $\Phi(a)=(a,\ 0).$

Конечно, так оно и есть. В текстах это нужно писать один раз, но большими буквами. В аудитории говорить один раз, но громко.
Говорим партия - подразумеваем Ленин. "Максимка" туда же.

[epros]

mihaild в сообщении #1604407 писал(а):

Но у $\mathbb C$ полно нетривиальных эндоморфизмов в себя (если принять аксиому выбора). $\mathbb R$ при них переходит не в себя.

Это как-нибудь учитывает то факт, что нуль и единица должны переходить в себя?

mihaild в сообщении #1604407 писал(а):

Точное утверждение такое: пусть $\mathbb C$ - поле $(\mathbb R \times \mathbb R, +_\mathbb C, \cdot_\mathbb C)$, сложение покоординатное, умножение понятно какое.
Тогда существует такое подмножество $T \subseteq \mathbb R \times \mathbb R$, что $C' = (T, (+_\mathbb C)_{T}, (\cdot_\mathbb C)_{T})$ - поле, изоморфное $\mathbb C$. В частности, существует изоморфное вложение $\mathbb R$ в $C'$ (отличающееся, естественно, от $x \to (x, 0)$). Вы сомневаетесь в этом утверждении, или хотите сказать, что оно не противоречит единственности?

Для начала я хочу уточнить, что моё понимание подполя предполагает равенство $+_\mathbb{C}=(+_\mathbb{C})_{T}$ и $\cdot_\mathbb{C}=(\cdot_\mathbb{C})_{T}$. Так что изоморфное вложение $\mathbb R$ в $C'$, как я полагаю, не будет отличаться от $x \to (x, 0)$.

Вообще, было бы странным, если бы сложение $a$ и $b$ в подполе $\mathbb{R}$ отличалось бы от сложения $(a,0)$ и $(b,0)$ в поле $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

[mihaild]

epros в сообщении #1604433 писал(а):

Это как-нибудь учитывает то факт, что нуль и единица должны переходить в себя?

Да, конечно, любой изоморфизм полей сохраняет 0 и 1.

epros в сообщении #1604433 писал(а):

Для начала я хочу уточнить, что моё понимание подполя предполагает равенство $+_\mathbb{C}=(+_\mathbb{C})_{T}$ и $\cdot_\mathbb{C}=(\cdot_\mathbb{C})_{T}$.

У меня там вертикальная черта потерялась. Должно было быть $(+_\mathbb C)|_T$ и $(\cdot_\mathbb C)|_T$ - операции в подполе определяются как ограничение исходных на носитель подполя (точного равенства не получится, т.к. область определения разная).

epros в сообщении #1604433 писал(а):

Так что изоморфное вложение $\mathbb R$ в $C'$, как я полагаю, не будет отличаться от $x \to (x, 0)$.

Будет отличаться. Если $T$ содержит $\mathbb R \times \{0\}$, то обязательно будет $T = \mathbb R \times \mathbb R$. Но $T$ не обязательно содержит $\mathbb R \times \{0\}$.
В $\mathbb C$ (при условии аксиомы выбора) куча разных подполей, изоморфных $\mathbb R$. Они все содержат $\mathbb Q$, но не обязаны содержать, например, $\pi$.

[Alexey Rodionov]

Alexey Rodionov в сообщении #1604421 писал(а):

gefest_md в сообщении #1604410 писал(а):

Таким образом, когда мы пишем « $a=(a,\ 0)$ », подразумевается инъекция $\Phi$, правильным написанием являясь $\Phi(a)=(a,\ 0).$

Конечно, так оно и есть. В текстах это нужно писать один раз, но большими буквами. В аудитории говорить один раз, но громко.
Говорим партия - подразумеваем Ленин. "Максимка" туда же.

Виноват. Такого $a=(a,\ 0)$ мы писать вообще не будем. А вот если придется написать $\alpha c$ где $\alpha $ действительное, а $ c$ комплексное, то поясним, что это следует понимать как $\Phi(\alpha)c$ и для большей лучшести прошепчем, что вложение $R \subset C$ места не имеет.

[epros]

mihaild в сообщении #1604435 писал(а):

Если $T$ содержит $\mathbb R \times \{0\}$, то обязательно будет $T = \mathbb R \times \mathbb R$. Но $T$ не обязательно содержит $\mathbb R \times \{0\}$.

Мне даже интересно стало, как может не содержать. Я правильно понимаю, что из наличия в этом $T$ нуля и единицы, а также операций сложения и умножения следует наличие в нём всех натуральных чисел? Далее, из существования противополжного элемента следует наличие в нём всех целых чисел? Далее, из существования обратного элемента следует наличие в нём всех рациональных чисел? Конечно, в смысле $\mathbb{Q} \times \{0\}$.

mihaild в сообщении #1604435 писал(а):

В $\mathbb C$ (при условии аксиомы выбора) куча разных подполей, изоморфных $\mathbb R$. Они все содержат $\mathbb Q$, но не обязаны содержать, например, $\pi$.

Интересно, а. как на это посмотрят остальные аксиомы действительных чисел? Я имею в виду порядка и, скажем, непрерывности? Например, берём две последовательности рациональных чисел, приближающие $\pi$ одна снизу, а другая сверху. Согласно аксиоме непрерывности между ними непременно есть действительное число. И это действительное число - непременно $\pi$. Каким образом это число может не войти в данное подполе?

[mihaild]

epros в сообщении #1604451 писал(а):

Далее, из существования обратного элемента следует наличие в нём всех рациональных чисел? Конечно, в смысле $\mathbb{Q} \times \{0\}$.

Да, и Вы ниже это цитируете:)

epros в сообщении #1604451 писал(а):

Интересно, а. как на это посмотрят остальные аксиомы действительных чисел? Я имею в виду порядка и, скажем, непрерывности?

Порядок на вещественных числах как подполе $\mathbb C$ не выражается через операции на $\mathbb C$.
Т.е. вот взяли $K$ - подполе $\mathbb C = \mathbb R \times \mathbb R$, изоморфное $\mathbb R$, но не совпадающее с $\mathbb R \times \{0\}$. Оно неизбежно будет довольно диким. И задаваемая изоморфизмом топология будет отличаться от исходной.

epros в сообщении #1604451 писал(а):

И это действительное число - непременно $\pi$

Давайте сыграем в игру Эренфойхта.
Нет, я утверждаю, что точка между $\mathbb Q \cap (-\infty, \pi)$ и $\mathbb Q \cap (\pi, \infty)$ (точнее понятно соответствующими им подмножествами $\mathbb R^2$) - это $42 + e \cdot i$. Попробуйте поймать меня за руку.

Если бы мы были на прямой, и я бы попытался сказать, что эти два множества разделяет например число $e$, то Вы смогли бы поймать меня за руку, попросив показать число, квадрат которого равен $e - 3$ - Вы-то показать квадрат числа, равный $\pi - 3$ легко можете. А вот в комплексных числах это не получится.

[epros]

mihaild в сообщении #1604455 писал(а):

Порядок на вещественных числах как подполе $\mathbb C$ не выражается через операции на $\mathbb C$.

Но на подполе, существующем в силу аксиомы 3, порядок ведь есть?

mihaild в сообщении #1604455 писал(а):

Оно неизбежно будет довольно диким. И задаваемая изоморфизмом топология будет отличаться от исходной.

Я слышал о базисах Гамеля и возможности построить с их помощью нелинейные аддитивные функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (наверное, Вы нечто подобное имеете в виду под "дикостью"?). Однако, насколько я понимаю, в данном случае такие финты не прокатывают. Ибо то $\mathbb{Q}$, которое мы построили внутри подполя, изоморфного $\mathbb{R}$, имеет стандартный линейный порядок, согласованный со сложением и умножением (в силу аксиом порядка для подполя). И то число, которое мы поставим между $\mathbb Q \cap (-\infty, \pi)$ и $\mathbb Q \cap (\pi, \infty)$, должно тоже подчиняться тому же стандартному линейному порядку, ибо он един для всего подполя.

mihaild в сообщении #1604455 писал(а):

Если бы мы были на прямой, и я бы попытался сказать, что эти два множества разделяет например число $e$, то Вы смогли бы поймать меня за руку, попросив показать число, квадрат которого равен $e - 3$ - Вы-то показать квадрат числа, равный $\pi - 3$ легко можете. А вот в комплексных числах это не получится.

Вот тут я не понял, чего именно я не смогу на подполе, изоморфном $\mathbb{R}$, что мог бы на "самом" $\mathbb{R}$?

[mihaild]

epros в сообщении #1604458 писал(а):

Но на подполе, существующем в силу аксиомы 3, порядок ведь есть?

По умолчанию нет, но его можно ввести - сказав, что $a \geq b$ если уравнение $x^2 = a - b$ разрешимо.

epros в сообщении #1604458 писал(а):

Я слышал о базисах Гамеля и возможности построить с их помощью нелинейные аддитивные функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (наверное, Вы нечто подобное имеете в виду под "дикостью"?). Однако, насколько я понимаю, в данном случае такие финты не прокатывают.

Да, это. Как раз аналогичная конструкция прокатывает.

epros в сообщении #1604458 писал(а):

И то число, которое мы поставим между $\mathbb Q \cap (-\infty, \pi)$ и $\mathbb Q \cap (\pi, \infty)$, должно тоже подчиняться тому же стандартному линейному порядку, ибо он един для всего подполя

Какой "стандартный порядок"? Для задания порядка нужно подполе.
Вот у нас есть подполе $L := \mathbb R \times \{0\}$ и подполе $K \subset \mathbb R^2$, $K \neq L$, $K \simeq L$. Операции на каждом из них унаследованы из $\mathbb C$. Они оба, естественно, содержат $\mathbb Q \times \{0\}$. Можно ввести порядки $<_L$ и $<_K$. Это порядки разные, потому что у них даже области определения разные.

epros в сообщении #1604458 писал(а):

Вот тут я не понял, чего именно я не смогу на подполе, изоморфном $\mathbb{R}$, что мог бы на "самом" $\mathbb{R}$.

Немного не так: если бы я пытался найти в $\mathbb R$ собственное подполе, изоморфное $\mathbb R$, то Вы бы смогли меня поймать за руку, когда я попытаюсь в качестве верхней грани $\mathbb Q \cap (-\inf, \pi)$ подсунуть $e$. А вот если я пытаюсь в $\mathbb R^2$ найти подполе, изоморфное $\mathbb R$, и в качестве той же верхней грани подсовываю $(e, 0)$ - то поймать меня за руку не получится (т.к. существует вложение $\mathbb R \to \mathbb C$, такой что $f(\pi) = (e, 0)$).

[epros]

mihaild в сообщении #1604459 писал(а):

epros в сообщении #1604458 писал(а):

Но на подполе, существующем в силу аксиомы 3, порядок ведь есть?

По умолчанию нет, но его можно ввести - сказав, что $a \geq b$ если уравнение $x^2 = a - b$ разрешимо.

Не понял, как это нет, если аксиома 3 утверждает, что это подполе изоморфно $\mathbb{R}$, т.е. удовлетворяет всем аксиомам действительных чисел, включая аксиомы линейного порядка?

mihaild в сообщении #1604459 писал(а):

Какой "стандартный порядок"?

Под словом "стандартный" я имел в виду линейный порядок, согласованный со сложением и умножением, который установлен стандартной аксиоматикой действительных чисел.

mihaild в сообщении #1604459 писал(а):

Можно ввести порядки $<_L$ и $<_K$. Это порядки разные, потому что у них даже области определения разные.

Хорошо, это понятно.

Не могли бы Вы пояснить, почему:

mihaild в сообщении #1604455 писал(а):

Если бы мы были на прямой, и я бы попытался сказать, что эти два множества разделяет например число $e$, то Вы смогли бы поймать меня за руку, попросив показать число, квадрат которого равен $e - 3$

И почему в подполе $\mathbb{R}^2$ это не срабатывает?

Насколько я понимаю, в жизни мы определяем число $\pi$ как предел некоторой последовательности рациональных чисел. Его никак невозможно перепутать с числом $e$, потому что последовательность разностей будет иметь пределом не нуль. И если у нас имеется последовательность пар рациональных чисел вида $(x,0)$, пределом которой является $(\pi,0)$, то каким образом в качестве этого предела становится возможным подсунуть $(e,0)$?

[mihaild]

epros в сообщении #1604489 писал(а):

что это подполе изоморфно $\mathbb{R}$, т.е. удовлетворяет всем аксиомам действительных чисел, включая аксиомы линейного порядка

А что такое "изоморфно $\mathbb R$"? Обычно когда говорят о полях это означает, что есть биекция, сохраняющая сложение и умножение. Про порядок на поле ничего не говорится. Но это не очень важно, потому что на вещественных числах порядок выражается через сложение и умножение.

epros в сообщении #1604489 писал(а):

И почему в подполе $\mathbb{R}^2$ это не срабатывает?

Потому что когда Вы попросите меня предъявить квадратный корень из $e - 3$, я смогу это сделать. Т.к. мне для выбора доступны все комплексные числа.

epros в сообщении #1604489 писал(а):

Насколько я понимаю, в жизни мы определяем число $\pi$ как предел некоторой последовательности рациональных чисел.

А как Вы определяете предел?
На вещественных числах топологию можно определить через арифметику. На комплексных нет.

Т.е. вот я говорю, что у меня есть $K$ - подполе $\mathbb C$, отличающееся от $\mathbb R \times \{0\}$, но изоморфное $\mathbb R$, т.е. есть биекция $f: \mathbb R \to K$, такая что $f(x +_\mathbb{R} y) = f(x) +_K f(y)$, аналогично со сложением. Ну и $+_K$, т.к. $K$ - подполе $\mathbb C$ - получается ограничением $+_\mathbb C$ на $K$. Довольно легко показать, что если $q$ рациональное, то $f(q) = (q, 0)$. Теперь я говорю, что $f(\pi) = (e, 0)$. Ну и ещё говорю, что $f(\sqrt{\pi - 3}) = (0, \sqrt{3 - e})$. Попробуйте продемонстрировать, что $f$ не изоморфизм.
Можно определить сходимость на $K$: $x_n \to_K x$, если $\forall \varepsilon \in K_+ \exists N \forall n > N: |x_n - x| <_K \varepsilon$,где $a <_K b$ означает $\exists c \in K: a + c^2 = b$. Ну и окажется, что если $q_n \to \pi$ в $\mathbb R$, то $(q_n, 0) \to_K (e, 0)$.

[epros]

mihaild в сообщении #1604492 писал(а):

А что такое "изоморфно $\mathbb R$"? Обычно когда говорят о полях это означает, что есть биекция, сохраняющая сложение и умножение. Про порядок на поле ничего не говорится.

По моим понятиям изоморфизм должен сохранять всю структуру. А она в данном случае определяется всей аксиоматикой действительных чисел.

mihaild в сообщении #1604492 писал(а):

А как Вы определяете предел?
На вещественных числах топологию можно определить через арифметику. На комплексных нет.

Хорошо. Правильно ли я понял, что отсутствие топологии, определённой для $\mathbb{C}$ или для $\mathbb{R}^2$ (в аксиоматике про это ничего не сказано), позволяет Вам определить на $K$ нетривиальную топологию, позволяющую вместо $(\pi,0)$, который был в $L$, подставить что-то другое?

Значит ли это, что проблему можно решить, добавив в аксиоматику определение топологии на $\mathbb{C}$?

[KhAl]

epros писал(а):

Значит ли это, что проблему можно решить, добавив в аксиоматику определение топологии на $\mathbb{C}$?

https://www.youtube.com/watch?v=AGEOrtQ0AVc