Добрый день! Прошу вас о помощи, т.к. чем дальше, тем больше я запутываюсь.
Вот часто можно встретить формулировку вроде "пусть икс - произвольное вещественное число из отрезка от
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
до
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
". И я все больше запутываюсь, а можем ли мы за конечное число шагов выбрать произвольное вещественное число? Ведь обычно мы вещественные числа задаем в виде какого-то выражения, например суммы ряда, формулы, интеграла, итд.
Я точно не уверен, но интуиция мне подсказывает, что множество выражений, которые мы можем явно записать, и в которых стоят только алгебраические числа, а также те трансцендентные, которые мы уже ранее определили с помощью выражения через алгебраические (например пи можно задать в виде суммы ряда с рациональными членами
![$4\cdot(1-1/3+1/5-...)$ $4\cdot(1-1/3+1/5-...)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/4/e448f7034fe765eb46afa6042cad465482.png)
, т.е. не через трансцендентные числа ), такое множество счетно (поправьте меня если я не прав). А отрезок
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
имеет мощность континуума.
И если так, то что вообще значит фраза "выберем произвольное вещественное
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
на отрезке
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
" ?
-- 02.08.2023, 07:13 --Понятно, что множество сходящихся рядов вида
![$a_1+a_2+a_3+....$ $a_1+a_2+a_3+....$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/2/f320f770891772c76f937028add145aa82.png)
, где
![$a_i$ $a_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/e/65ed4b231dcf18a70bae40e50d48c9c082.png)
- рациональные, имеет мощность континуума. Но чтобы задать такой ряд, нам потребуется бесконечное количество шагов (не хочется аксиомой выбора пользоваться, т.к. надо же явный результат иметь, а не утверждение, что он существует). А если мы попробуем задавать
![$a_i$ $a_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/e/65ed4b231dcf18a70bae40e50d48c9c082.png)
не напрямую, а с помощью выражения, то мощность получаемого множества таких рядов будет счетной, если не ошибаюсь.