natalya_1 естественно мой комментарий был для
Ведь для
это:
Вы приравняли сумму трёх корней уравнения
к утроенному корню уравнения
.
и есть теорема Виета: возьмите любой кубический многочлен, и выпишите чему равна сумма его корней (и действительных и комплексных), найдите вторую производную и выпишите явно её корень, сравните результаты. Вот и всё доказательство. Вы же привели, как по мне, неплохое геометрическое рассуждение, которое демонстрирует это наглядно в случае, когда все корни действительные.
Для
равенство из вашего рассуждения:
перестанет выполняться, поскольку не учтены оставшиеся комплексные корни (это всё та же теорема Виета для уравнений
и
), а вместе с ним посыпется и всё доказательство. Прочувствуйте этот момент — вы о него уже не раз спотыкаетесь.
а чем моё рассуждение с критическими точками не годится?
Если есть
только две критические точки и центр симметрии, то они должны быть симметричны относительно него (как это и случилось для
). Но проблема в том, что в случае
никакого центра симметрии уже нет, да и критических точек у вас появится уже три. И вам стоит определиться что чему будет симметрично. Или вы добавили ноль в игнор за то, что на него нельзя делить?
графиком функции является парабола
Наверное это в каком-то смысле верно (есть же кубическая парабола), но, честно говоря, не припомню, чтобы так называли графики многочленов высших степеней, поэтому и вам не советую так делать, ибо, скорее всего, вас неправильно поймут. Оставьте этот термин для графика квадратного многочлена.
эти две критически точки должны быть симметричны относительно центра симметрии
.
И относительно
и
, где
и
— это же точки? Тогда завидую вашему воображению, если вы можете себе такое представить.
...
то что меня продолжает мучить (и тоже связано с наличием или отсутствием симметрии).
Все проблемы вашей интуиции от того, что вы представляете себе график лишь кубического многочлена. Советую взять
и в какой-нибудь программе построить график
(Я бы вам сам его построил, но уж больно убогий у меня софт).
Объясните мне, пожалуйста,
- критическая точка при нечётных степенях. Как влияет
- критическая точка на график функции и его возможную симметричность?
А можете привести пример графика, на который ноль (не обязательно критическая точка) влияет хоть как-то?
Но с нулём тут всё-таки разобраться советую. А именно с вопросом: А какой-же точкой всё-таки будет ноль? Максимумом, минимумом или ещё чем... И какая точка должна быть ему симметрична относительно центра симметрии, если предположить что он всё-таки есть.