Попытка доказательства теоремы ферма 3

[Rak so dna]

пианист а разве такое рассуждение не проходит? При $m>3$ у нас ровно три корня $f'(x)$: $x_1>x_2>x_3$ тогда, если график имеет центр симметрии $x_0$, то необходимо

$$\begin{cases} x_2=x_0\\ x_1+x_3=2x_0 \end{cases}$$

ну и убедится что это не так.

[пианист]

Видимо, Вы имели в виду $f''$?
Вроде да, так можно.
upd Уточню: если речь о том, чтобы воспользоваться только самими корнями $f''(x)$, то как их найти или определить выполнение соотношения между ними?
upd2 Если исходить из конкретного вида $f$, то $f''(x) = x^{m-4}P_2(x)$. Найти, да, можно, но насчет 3 корней как-то задумчиво (если $m>5$)..

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1603496 писал(а):

пианист а разве такое рассуждение не проходит? При $m>3$ у нас ровно три корня $f'(x)$: $x_1>x_2>x_3$ тогда, если график имеет центр симметрии $x_0$

Что вообще такое центр симметрии? Ну вот возьмём для простоты школьную гиперболу $y=1/x$. Ясно, что область определения симметрична относительно нуля. Но также эта функция является нечетной, так как $y(x)=-y(-x)$, поэтому говорят, что по определению начало координат, то есть точка с координатами $(0;0)$ является центром симметрии. С кубической параболой такой же принцип или как?

[пианист]

Antoshka
Да. Но центр симметрии не обязательно начало координат.

[Rak so dna]

пианист я имел ввиду именно $f'(x).$ Рассуждал так: если есть центр симметрии, то любая точка симметрична относительно него вместе со своей окрестностью, т.о. касательные в этих симметричных точках параллельны. Поэтому для всякой точки, в которой производная равна нулю должна существовать симметричная относительно центра симметрии, в которой производная так же равна нулю. Но если таких точек всего три, то центр симметрии неизбежно совпадает со средней. Я понимаю, что всё это на уровне рукомахательства, но вроде звучит правдоподобно.

[пианист]

А, понятно. Да, точки, в которых производная равна нулю, должны располагаться симметрично.
upd При этом если $m>3$, то $0$ должен располагаться посредине, т.к. он кратный.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1603513 писал(а):

пианист я имел ввиду именно $f'(x).$ Рассуждал так: если есть центр симметрии, то любая точка симметрична относительно него вместе со своей окрестностью, т.о. касательные в этих симметричных точках параллельны. Поэтому для всякой точки, в которой производная равна нулю должна существовать симметричная относительно центра симметрии, в которой производная так же равна нулю. Но если таких точек всего три, то центр симметрии неизбежно совпадает со средней. Я понимаю, что всё это на уровне рукомахательства, но вроде звучит правдоподобно.

а чем моё рассуждение с критическими точками не годится? если есть две критически точки такие, что $0<x_1<h<x_2<c$, $f(0)=f((h)=f(c)=0$, есть центр симметрии $k$, и графиком функции является парабола , эти две критически точки должны быть симметричны относительно центра симметрии $k$.
И относительно $c+t$ и $t$, где $t=\frac{c}{2}-k$

У меня получилось что критические точки нашей функции симметричны относительно $\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$ .
И относительно $c+(\frac{c}{2}-\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)})$ и $(\frac{c}{2}-\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)})$,
это не доказывает существование симметрии?

[natalya_1]

ещё в тему то что меня продолжает мучить (и тоже связано с наличием или отсутствием симметрии).
у нас три критические точки, одна из которых
$0$.
при чётных степенях всё понятно, она является и точкой перегиба.
Объясните мне, пожалуйста, $0$- критическая точка при нечётных степенях. Как влияет $0$- критическая точка на график функции и его возможную симметричность?

-- Вт авг 01, 2023 18:56:04 --

Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1603185 писал(а):

$b+b_1+b_2=3k$.

Вы приравняли сумму трёх корней уравнения $f(x)=f(b)$ к утроенному корню уравнения $f''(x)=0$. Зачем вы так с ним? Что он вам сделал плохого?

попытаюсь объяснить: это моя идея. если существует центр симметрии.
вы написали что я оригинальным способом доказала сумму трёх корней при $m=3$,
но смысл моего доказательства был не в этом. Смысл в том, что в нашем случае $b+b_1+b_2=3k$- сумма действительных корней. я доказывала это как раз потому, что вы указали мне на ошибку, что я не учитываю наличие комплексных корней в формуле Виета, и доказывала я это именно для $m>3$

[Rak so dna]

natalya_1 естественно мой комментарий был для $m>3.$ Ведь для $m=3$ это:

Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):

Вы приравняли сумму трёх корней уравнения $f(x)=f(b)$ к утроенному корню уравнения $f''(x)=0$.

и есть теорема Виета: возьмите любой кубический многочлен, и выпишите чему равна сумма его корней (и действительных и комплексных), найдите вторую производную и выпишите явно её корень, сравните результаты. Вот и всё доказательство. Вы же привели, как по мне, неплохое геометрическое рассуждение, которое демонстрирует это наглядно в случае, когда все корни действительные.
Для $m>3$ равенство из вашего рассуждения: $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''')$ перестанет выполняться, поскольку не учтены оставшиеся комплексные корни (это всё та же теорема Виета для уравнений $f(x)=f(b)$ и $f(x)=f(a''')$), а вместе с ним посыпется и всё доказательство. Прочувствуйте этот момент — вы о него уже не раз спотыкаетесь.

natalya_1 в сообщении #1603532 писал(а):

а чем моё рассуждение с критическими точками не годится?

Если есть только две критические точки и центр симметрии, то они должны быть симметричны относительно него (как это и случилось для $m=3$). Но проблема в том, что в случае $m>3$ никакого центра симметрии уже нет, да и критических точек у вас появится уже три. И вам стоит определиться что чему будет симметрично. Или вы добавили ноль в игнор за то, что на него нельзя делить?

natalya_1 в сообщении #1603532 писал(а):

графиком функции является парабола

Наверное это в каком-то смысле верно (есть же кубическая парабола), но, честно говоря, не припомню, чтобы так называли графики многочленов высших степеней, поэтому и вам не советую так делать, ибо, скорее всего, вас неправильно поймут. Оставьте этот термин для графика квадратного многочлена.

natalya_1 в сообщении #1603532 писал(а):

эти две критически точки должны быть симметричны относительно центра симметрии $k$.
И относительно $c+t$ и $t$, где $t=\frac{c}{2}-k$

$c+t$ и $t$ — это же точки? Тогда завидую вашему воображению, если вы можете себе такое представить.

natalya_1 в сообщении #1603540 писал(а):

...
то что меня продолжает мучить (и тоже связано с наличием или отсутствием симметрии).

Все проблемы вашей интуиции от того, что вы представляете себе график лишь кубического многочлена. Советую взять $m=5,~a=1,~b=2,~c=\sqrt[5]{33}$ и в какой-нибудь программе построить график $f(x).$ (Я бы вам сам его построил, но уж больно убогий у меня софт).

natalya_1 в сообщении #1603540 писал(а):

Объясните мне, пожалуйста, $0$- критическая точка при нечётных степенях. Как влияет $0$- критическая точка на график функции и его возможную симметричность?

А можете привести пример графика, на который ноль (не обязательно критическая точка) влияет хоть как-то?

Но с нулём тут всё-таки разобраться советую. А именно с вопросом: А какой-же точкой всё-таки будет ноль? Максимумом, минимумом или ещё чем... И какая точка должна быть ему симметрична относительно центра симметрии, если предположить что он всё-таки есть.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1603543 писал(а):

И относительно $c+t$ и $t$, где $t=\frac{c}{2}-k$ $c+t$ и $t$ — это же точки?

Да, конечно

Rak so dna в сообщении #1603543 писал(а):

Но с нулём тут всё-таки разобраться советую. А именно с вопросом: А какой-же точкой всё-таки будет ноль? Максимумом, минимумом или ещё чем... И какая точка должна быть ему симметрична относительно центра симметрии, если предположить что он всё-таки есть.

Если центр симметрии всё-таки есть, то точка $\frac{2mc^2d-(m-1)c^2d-2mp}{m(cd-p)}$ должна быть ему симметрична относительно центра симметрии (надо ещё проверить )

Rak so dna в сообщении #1603543 писал(а):

Все проблемы вашей интуиции от того, что вы представляете себе график лишь кубического многочлена. Советую взять $m=5,~a=1,~b=2,~c=\sqrt[5]{33}$ и в какой-нибудь программе построить график $f(x).$ (Я бы вам сам его построил, но уж больно убогий у меня софт).

К сожалению, я не умею работать с математическими программами.
Много лет назад подруга построила мне график, не помню какой степени. Там было очень трудно определить симметрию, поскольку точки $a$ и $c$ были расположены очень близко.



Antoshka, Не могли бы вы построить такой график в программе?

[Rak so dna]

natalya_1 по первому пункту всё понятно? Там есть нюанс, найдёте его сами?

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1603543 писал(а):

natalya_1 естественно мой комментарий был для $m>3.$ Ведь для $m=3$ это:

Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):

Вы приравняли сумму трёх корней уравнения $f(x)=f(b)$ к утроенному корню уравнения $f''(x)=0$.

и есть теорема Виета: возьмите любой кубический многочлен, и выпишите чему равна сумма его корней (и действительных и комплексных), найдите вторую производную и выпишите явно её корень, сравните результаты. Вот и всё доказательство. Вы же привели, как по мне, неплохое геометрическое рассуждение, которое демонстрирует это наглядно в случае, когда все корни действительные.
Для $m>3$ равенство из вашего рассуждения: $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''')$ перестанет выполняться, поскольку не учтены оставшиеся комплексные корни (это всё та же теорема Виета для уравнений $f(x)=f(b)$ и $f(x)=f(a''')$), а вместе с ним посыпется и всё доказательство. Прочувствуйте этот момент — вы о него уже не раз спотыкаетесь.

Ничего я не к чему не сравнивала, я лишь доказала, что если существует центр симметрии, то сумма действительных корней нашего многочлена равна $3k$. И таким образом вычленила значение суммы комплексных корней:
Сумма всех корней многочлена ( согласно теореме Виета) $\frac{c^2d}{cd-p}$, сумма действительных корней $\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$, сумма комплексных корней $\frac{c^2d}{cd-p}-\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}=\frac{(-m+3)c^2d}{2m(cd-p)}$.

-- Вт авг 01, 2023 21:58:33 --

Rak so dna в сообщении #1603552 писал(а):

natalya_1 по первому пункту всё понятно? Там есть нюанс, найдёте его сами?

Нюанс для меня один: В этом случае сумма $0+h+c$ тоже должна быть равна $\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$?
То есть, этим доказывается отсутствие симметрии?
Но моего воображения не хватает, чтобы представить, как выглядит этот график

[Rak so dna]

natalya_1 ну хорошо, давайте рассмотрим $m=5$. Итак, у нас есть три корня уравнения $f(x)=f(b):~~b,b_1,b_2.$ Допустим график функции $f(x)$ имеет центр симметрии $k,$ и точки $a''',a_1''',a_2'''$ симметричны относительно него точкам $b,b_1,b_2.$ Тогда верна система

$$\begin{cases} b+a'''=2k\\ b_1+a_1'''=2k\\ b_2+a_2'''=2k \end{cases}$$

Откуда, понятно, $(b+b_1+b_2)+(a'''+a_1'''+a_2''')=6k.$ Далее вы говорите, что $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''').$ На каком основании? Вот я говорю, что по теореме Виета $(b+b_1+b_2+b_3+b_4)=(a'''+a_1'''+a_2'''+a_3'''+a_4''').$ И что ваше равенство очень вряд ли верно, поскольку для этого необходимо $b_3+b_4=a_3'''+a_4'''.$ Я не утверждаю, что это невозможно (это и есть нюанс), но объяснять это — ваша забота. Пока этого не сделано, доказательства нет. В общем, если вы настаиваете на верности своего доказательства, обосновывайте своё равенство $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''').$ В случае $m=3$ это было очевидно по Виету, может вам это очевидно из каких-то геометрических соображений и я туплю... В любом случае жду доказательства...

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1603560 писал(а):

В общем, если вы настаиваете на верности своего доказательства, обосновывайте своё равенство $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''').$ В случае $m=3$ это было очевидно по Виету, может вам это очевидно из каких-то геометрических соображений и я туплю... В любом случае жду доказательства...

Именно из геометрических.
Постараюсь обдумать как следует и расписать.

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1603546 писал(а):

Antoshka, Не могли бы вы построить такой график в программе?

Да, у меня для этого есть софт.

Rak so dna в сообщении #1603543 писал(а):

Советую взять $m=5,~a=1,~b=2,~c=\sqrt[5]{33}$ и в какой-нибудь программе построить график $f(x).$

Возьму эти параметры тогда