Попытка доказательства теоремы ферма 3

[Rak so dna]

natalya_1 пожалуйста, вникните в мои три строчки рассуждений. Не спешите с ответом. Ну возьмём мы $m=5,$ тогда $a+a_1+a_2+a_3+a_4=\frac{c^2d}{cd-p}.$ Ваше равенство: $a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$ будет иметь место только если $a_3+a_4=0,$ при этом неважно действительные ли числа $a_3,a_4$ или комплексные. В теореме Виета учитываются все корни, которых в вашем случае всегда ровно $m$. Вы где-то доказали, что сумма оставшихся $m-3$ корней равна нулю? Если нет, то ваше равенство $a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$ для $m>3$ неверно.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1602988 писал(а):

natalya_1 пожалуйста, вникните в мои три строчки рассуждений. Не спешите с ответом. Ну возьмём мы $m=5,$ тогда $a+a_1+a_2+a_3+a_4=\frac{c^2d}{cd-p}.$ Ваше равенство: $a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$ будет иметь место только если $a_3+a_4=0,$ при этом неважно действительные ли числа $a_3,a_4$ или комплексные. В теореме Виета учитываются все корни, которых в вашем случае всегда ровно $m$. Вы где-то доказали, что сумма оставшихся $m-3$ корней равна нулю? Если нет, то ваше равенство $a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$ для $m>3$ неверно.

Спасибо. Поняла, буду думать. Думаю, это можно доказать.
(вообще, я использовала следствие теоремы Безу)

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1602984 писал(а):

Поскольку значение третьей производной в точке $0$ не равно нулю только при $m=5$,
$0$ будет точкой перегиба только при $m=5$????

Третьи производные вообще не нужны для точки перегиба. Вам достаточно определить знак второй производной и все на этом

[natalya_1]

Rak so dna
я тут подумала, мне, наверное, вообще не важно, какая сумма этих трёх корней ( Вы абсолютно правы: то. что я написала, - ошибка).
Доказательство должно работать без этого, завтра проверю и распишу.

[natalya_1]

Rak so dna
Точка перегиба $k=\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$
Исходя из симметрии
$b+b_1+b_2=3k=\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$.
Пока вроде всё хорошо (учтены комплексные корни).
А дальше
$3k+(3k+3(k-h))=3c$, $3k=\frac{c^2d}{cd-p}$,
$3(m-1)=2m$, $m=3$!!!!
Где ошибка? Я неправильно вычислил точку перегиба?
3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ (при $x>3$и
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{(m-1)c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

[natalya_1]

Rak so dna
Разобралась.

Точка перегиба $k=\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$
Исходя из симметрии
$b+b_1+b_2=3k=\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$.
всё хорошо (учтены комплексные корни).
Ошибка была в том, что при $m>3$ $f_2(x)=f_1(x-q)$ (а не $f_2(x)=f_1(x-(k-h))$ как при $n=3$)
$3k+(3k+3(q))=3c$, $q=c-2k=\frac{mc^2d-mcp-(m-1)c^2d}{m(cd-p)}=\frac{c^2d-mcp}{m(cd-p)}$.

дальше всё получается

[natalya_1]

Ферма утверждал, что уравнение $x^n+x'^n=z^n$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Предположим, что такое решение существует

при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, $n=m$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа и $a>b$, то есть $a^m+b^m=c^m$. $m$- целое нечётное
положительное число $m>2$

1.1. $a^{n-2}+b^{n-2}=c^{n-2}+d$, где
$d$ - целое положительное число
$a^{n-1}+b^{n-1}=c^{n-1}+p$, где $p$- целое положительное число.


1.2. $a^{m-2}+b^{m-2}-c^{m-2}=d$,
$a^{m-1}+b^{m-1}-c^{m-1}=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa^{m-2}+pb^{m-2}-pc^{m-2}=a^{m-1}d+b^{m-1}d-c^{m-1}d$, $a^{m-2}(ad-p)+b^{m-2}(bd-p)=c^{m-2}(cd-p)

1.3. $a^{m-2}(ad-p)+b^{m-2}(bd-p)=c^{m-2}(cd-p)$, $a^m+b^m=c^m$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^{m}a^{m-2}(ad-p)+c^{m}b^{m-2}(bd-p)=a^{m}c^{m-2}(cd-p)+b^{m}c^{m-2}(cd-p)$ , следовательно,
$(cd-p)a^m-c^{2}da^{m-1}+c^{2}pa^{m-2}=-((cd-p)b^m-c^{2}db^{m-1}+c^{2}pb^{m-2})$ .

2.1.1 функция $y=(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}=0$.
$x=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D=c^4d^2-4(cd-p)c^2p$,
$x=\frac{c^{2}d\mp\sqrt{c^2(cd-2p)^2}}{2(cd-p)}$
отсюда
$x=c$ или $x=\frac{cp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{cp}{cd-p}$ -рациональное число.

3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ (при $x>3$и
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{(m-1)c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

$\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$ -
точка перегиба функции



функция $y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три действительные точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).

$f(a)=f(a_1)=f(a_2)=-f(b)=-f(b_1)=-f(b_2)$


Очевидно, что может существовать два варианта расположения $h$ относительно $k$ - точки перегиба функции ($0<h<k$ и $k<h<\frac{c}{\sqrt{2}}$
и
три варианта расположения $a_2$, $b_1$, $b$, $a$ относительно друг друга:
1.$a_1<b<b_1<a_2<a<b_2$, 2. $a_1<b_1<b<a<a_2<b_2$, 3. $a_1<b_1<b<a_2<a<b_2$









вариант $a_1<0<b<b_1<h<a_2<a<c$

4.Выполним параллельный перенос и графика f(x) ( график на рисунке чёрной плотной линии) параллельно оси $OX$ вверх на расстояние $-2f(k)$ (удвоенное значение функции $f(x)$ в точке перегиба $k$ взятое с противоположным знаком) $f_1(x)=f(x)-2f(k)$. Получившийся график $f_1(x)$ на рисунке обозначен жёлтым цветом.

Затем выполним параллельный перенос графика $f_1(x)$ параллельно оси $OY$ вправо на расстояние $q$,
так, чтобы $f_2(0)=f(0)=f_2(c)=f(c)=f(h)=f_2(h_1)=0$
$f_2(x)=f_1(x-q)$
Получившийся график $f_2(x)$ на рисунке обозначен красным цветом.

В результате этих двух последовательных параллельных переносов
получаем симметрию относительно $\frac{c}{2}$:

точка $b$ симметрична точке $a'$ ,
точка $b_1$ симметрична точке $a_2''$
точка $b_2$ симметрична точке $a_1'$
точка $a$ симметрична точке$b'$
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_1'$
точка $h_1$ симметрична точке $h$
$f_2(a')=f_2(a_1')=f_2(a_2'')=f(a)=f(a_1)=f(a_2)$,
$f_2(b')=f_2(b_1'')=f_2(b_2')=f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.



$b+b_1+b_2=3k=\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$.

$3k+(3k+3(q))=3c$, $q=c-2k=\frac{mc^2d-mcp-(m-1)c^2d}{m(cd-p)}=\frac{c^2d-mcp}{m(cd-p)}$.









5.Выполним параллельный перенос графика $f_2(x)$ параллельно оси $OY$ влево на расстояние $h_1-h$
$f_3(x)=f_2(x+(h_1-h))$

Получим точки $b_1'$
( $b_1'=b_1''-(h_1-h)$, $f_3(b_1')=f_2(b_1'')=f(b)$)
и $a_2'$
($a_2'=a_2''-(h_1-h)$, $f_3(a_2')=f_2(a_2'')=f(a)$)





6.$f_2(h_1)=f(h)=f(0)=f_2(0)=f(c)=f_2(c)=0$, $h_1=h+2(k-h)+q$
$b+b_1+b_2=a+a_1+a_2=3k$,
$b'+b_1''+b_2'=a'+a_1'+a_2''=3k+((2(k-h)+q))$.
$b'+(b_1'+(2(k-h)+q))+b_2'=3k+((2(k-h)+q))$ , следовательно,
$b'+b_1'+b_2'=b+b_1+b_2$
Аналогично
$a'+a_1'+a_2'=a+a_1+a_2$

отсюда
$b-b'=(b_1'-b_1)+(b_2'-b_2')$
$a-a'=(a_1'-a_1)+(a_2'-a_2)$

7.$a+b'=c$,
$b+a'=c$
$a+b=c+d$, следовательно $a-a'=b-b'=d$

8.$b_1+a_2'=b_1+a_2''-(2(k-h)+q)=2h$,
$b_2+a_1=c-(b_2'-b_2)$;
$a+b=c+(a-a')=c+d$
$(a_2'-a_2)+(b_2'-b_2)=d$.

Далее

$b_2'-b_1'=b_2'-(b_1''-(2(k-h)+q))$,
$b_2'-b_1'=(c-a_1)-(2h-a_2)=(a_2-a_1)+(c-2h)=(a_2-a_1)+\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=b_2-b_1$,
$(b_2'-b_2)=(b_1'-b_1)=\frac{d}{2}$.
Отсюда
$a_1+b_2=c-\frac{d}{2}$- рациональное число,
$a_2+b_1=2h-\frac{d}{2}$- рациональное число.


9. $a_1+b_2$ - рациональное число


Завтра закончу

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1603185 писал(а):

Точка перегиба $k=\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$

Почему вы занулили дискриминант?

natalya_1 в сообщении #1603185 писал(а):

Исходя из симметрии

Какой симметрии?

natalya_1 в сообщении #1603185 писал(а):

$b+b_1+b_2=3k$.

Вы приравняли сумму трёх корней уравнения $f(x)=f(b)$ к утроенному корню уравнения $f''(x)=0$. Зачем вы так с ним? Что он вам сделал плохого?

natalya_1 в сообщении #1603207 писал(а):

получаем симметрию относительно $\frac{c}{2}$:

точка $b$ симметрична...

Что вы называете точками? На плоскости точка задаётся двумя числами: $(x_0,y_0)$ Что такое "точка $b$" ? Это $(b,f(b))$ или $(b,f_1(b))$ или $(b,0)$ или ещё что-то?

Пожалейте форум. Не надо при очередном копипасте тащить пункты $1.1,~1.2,~1.3,~2.1.1,~2.1.3.$ Все они заменяются двумя строчками:
"Пусть $p=a^{m-1}+b^{m-1}-c^{m-1},~d=a^{m-2}+b^{m-2}-c^{m-2}.$ Рассмотрим многочлен $f(x)=(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}.$ Легко проверить, что $f(a)=-f(b),$ а его корни: $0,~c,~h=\frac{cp}{cd-p}.$"

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):

Какой симметрии?

natalya_1 прикрепила картинку. На ней видна эта симметрия, как я понял

[Rak so dna]

Antoshka ну объясните словами, раз вы это видите, как на этой картинке увидеть, что $b+b_1+b_2=3k.$ Тем более, что в случае $m>3$ это, очевидно, неверно.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1603222 писал(а):

Antoshka ну объясните словами, раз вы это видите, как на этой картинке увидеть, что $b+b_1+b_2=3k.$ Тем более, что в случае $m>3$ это, очевидно, неверно.

Мне для этого надо ввести дополнительные обозначения на картинке. Под рукой нет сканера.
Я исходила из того, что смотрела на график $f(x)$ (на рисунке он чёрным цветом):
Поскольку $k$ - точка перегиба, существует симметрия относительно $k$.
Попробую на словах: $f(b)+f(a'')'=2f(k)$, $f(b_1)+f(a_2'')'=2f(k)$, $f(b_2)+f(a_1''')=2k$.

Следовательно,
$(f(b)+f(b_1)+f(b_2))+(f(a''')+f(a_1''')+f(a_2'''))=6k$
Это не так?
Точка $(b, f(b))$ симметрична $(a''', f(a'''))$
Точка $(b_1, f(b_1))$ симметрична $(a_2''', f(a_2'''))$
Точка $(b_2, f(b_2))$ симметрична $(a_1''', f(a_1'''))$

Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1603185 писал(а):

Точка перегиба $k=\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$

Почему вы занулили дискриминант?

"

Потому что две критические точки симметричны относительно точки перегиба

Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):

точка $b$ симметрична...

Что вы называете точками? На плоскости точка задаётся двумя числами: $(x_0,y_0)$ Что такое "точка $b$" ? Это $(b,f(b))$ или $(b,f_1(b))$ или $(b,0)$ или ещё что-то?

Это $(b,f(b))$

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1603257 писал(а):

Поскольку $k$ - точка перегиба, существует симметрия относительно $k$.

Так точка перегиба - это точка, в которой график переходит с одной стороны касательной на другую. Симметрии там может вообще не быть

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1603264 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1603257 писал(а):

Поскольку $k$ - точка перегиба, существует симметрия относительно $k$.

Так точка перегиба - это точка, в которой график переходит с одной стороны касательной на другую. Симметрии там может вообще не быть

Но у нас симметрия есть, потому что критические точки симметричны относительно точки перегиба:

3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ (при $x>3$и
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{(m-1)c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

$\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$ -
точка перегиба функции

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1603257 писал(а):

Поскольку $k$ - точка перегиба, существует симметрия относительно $k$.
Попробую на словах: $b+a'''=2k$, $b_1+a_1'''=2k$, $b_2+a_2'''=2k$.

Следовательно,
$(b+b_1+b_2)+(a'''+a_1'''+a_2''')=6k$, $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''')=3k$.
Это не так?

Это на самом деле крутое геометрическое рассуждение (правда у вас на картинке нет никаких $a''',a_1''',a_2'''$ ). Если это вы придумали, то мои поздравления. Но оно верно лишь для кубических многочленов, поэтому всё это проходит лишь для $m=3.$

natalya_1 в сообщении #1603257 писал(а):

Потому что две критические точки симметричны относительно точки перегиба

Даже если это и так (в случае $m=3$), то это не повод занулять дискриминант.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1603272 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1603257 писал(а):

Поскольку $k$ - точка перегиба, существует симметрия относительно $k$.
Попробую на словах: $b+a'''=2k$, $b_1+a_1'''=2k$, $b_2+a_2'''=2k$.

Следовательно,
$(b+b_1+b_2)+(a'''+a_1'''+a_2''')=6k$, $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''')=3k$.
Это не так?

Это на самом деле крутое геометрическое рассуждение (правда у вас на картинке нет никаких $a''',a_1''',a_2'''$ ). Если это вы придумали, то мои поздравления. Но оно верно лишь для кубических многочленов, поэтому всё это проходит лишь для $m=3.$

Спасибо за замечание, значит, буду думать дальше, как быть с со степенями $n>3$.
Но получается, для $n=3$ моё доказательство работает?