2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 ... 34  След.
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 09:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
551
so dna
пианист а разве такое рассуждение не проходит? При $m>3$ у нас ровно три корня $f'(x)$: $x_1>x_2>x_3$ тогда, если график имеет центр симметрии $x_0$, то необходимо
$$\begin{cases} 
x_2=x_0\\ 
x_1+x_3=2x_0 
\end{cases}$$
ну и убедится что это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2311
МО
Видимо, Вы имели в виду $f''$?
Вроде да, так можно.
upd Уточню: если речь о том, чтобы воспользоваться только самими корнями $f''(x)$, то как их найти или определить выполнение соотношения между ними?
upd2 Если исходить из конкретного вида $f$, то $f''(x) = x^{m-4}P_2(x)$. Найти, да, можно, но насчет 3 корней как-то задумчиво (если $m>5$)..

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 10:28 


13/05/16
361
Москва
Rak so dna в сообщении #1603496 писал(а):
пианист а разве такое рассуждение не проходит? При $m>3$ у нас ровно три корня $f'(x)$: $x_1>x_2>x_3$ тогда, если график имеет центр симметрии $x_0$

Что вообще такое центр симметрии? Ну вот возьмём для простоты школьную гиперболу $y=1/x$. Ясно, что область определения симметрична относительно нуля. Но также эта функция является нечетной, так как $y(x)=-y(-x)$, поэтому говорят, что по определению начало координат, то есть точка с координатами $(0;0)$ является центром симметрии. С кубической параболой такой же принцип или как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2311
МО
Antoshka
Да. Но центр симметрии не обязательно начало координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
551
so dna
пианист я имел ввиду именно $f'(x).$ Рассуждал так: если есть центр симметрии, то любая точка симметрична относительно него вместе со своей окрестностью, т.о. касательные в этих симметричных точках параллельны. Поэтому для всякой точки, в которой производная равна нулю должна существовать симметричная относительно центра симметрии, в которой производная так же равна нулю. Но если таких точек всего три, то центр симметрии неизбежно совпадает со средней. Я понимаю, что всё это на уровне рукомахательства, но вроде звучит правдоподобно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 12:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2311
МО
А, понятно. Да, точки, в которых производная равна нулю, должны располагаться симметрично.
upd При этом если $m>3$, то $0$ должен располагаться посредине, т.к. он кратный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 16:23 


29/08/09
691
Rak so dna в сообщении #1603513 писал(а):
пианист я имел ввиду именно $f'(x).$ Рассуждал так: если есть центр симметрии, то любая точка симметрична относительно него вместе со своей окрестностью, т.о. касательные в этих симметричных точках параллельны. Поэтому для всякой точки, в которой производная равна нулю должна существовать симметричная относительно центра симметрии, в которой производная так же равна нулю. Но если таких точек всего три, то центр симметрии неизбежно совпадает со средней. Я понимаю, что всё это на уровне рукомахательства, но вроде звучит правдоподобно.

а чем моё рассуждение с критическими точками не годится? если есть две критически точки такие, что $0<x_1<h<x_2<c$, $f(0)=f((h)=f(c)=0$, есть центр симметрии $k$, и графиком функции является парабола , эти две критически точки должны быть симметричны относительно центра симметрии $k$.
И относительно $c+t$ и $t$, где $t=\frac{c}{2}-k$

У меня получилось что критические точки нашей функции симметричны относительно $\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$ .
И относительно $c+(\frac{c}{2}-\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)})$ и $(\frac{c}{2}-\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)})$,
это не доказывает существование симметрии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 17:44 


29/08/09
691
ещё в тему то что меня продолжает мучить (и тоже связано с наличием или отсутствием симметрии).
у нас три критические точки, одна из которых
$0$.
при чётных степенях всё понятно, она является и точкой перегиба.
Объясните мне, пожалуйста, $0$- критическая точка при нечётных степенях. Как влияет $0$- критическая точка на график функции и его возможную симметричность?

-- Вт авг 01, 2023 18:56:04 --

Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1603185 писал(а):
$b+b_1+b_2=3k$.
Вы приравняли сумму трёх корней уравнения $f(x)=f(b)$ к утроенному корню уравнения $f''(x)=0$. Зачем вы так с ним? Что он вам сделал плохого?

попытаюсь объяснить: это моя идея. если существует центр симметрии.
вы написали что я оригинальным способом доказала сумму трёх корней при $m=3$,
но смысл моего доказательства был не в этом. Смысл в том, что в нашем случае $b+b_1+b_2=3k$- сумма действительных корней. я доказывала это как раз потому, что вы указали мне на ошибку, что я не учитываю наличие комплексных корней в формуле Виета, и доказывала я это именно для $m>3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
551
so dna
natalya_1 естественно мой комментарий был для $m>3.$ Ведь для $m=3$ это:
Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):
Вы приравняли сумму трёх корней уравнения $f(x)=f(b)$ к утроенному корню уравнения $f''(x)=0$.
и есть теорема Виета: возьмите любой кубический многочлен, и выпишите чему равна сумма его корней (и действительных и комплексных), найдите вторую производную и выпишите явно её корень, сравните результаты. Вот и всё доказательство. Вы же привели, как по мне, неплохое геометрическое рассуждение, которое демонстрирует это наглядно в случае, когда все корни действительные.
Для $m>3$ равенство из вашего рассуждения: $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''')$ перестанет выполняться, поскольку не учтены оставшиеся комплексные корни (это всё та же теорема Виета для уравнений $f(x)=f(b)$ и $f(x)=f(a''')$), а вместе с ним посыпется и всё доказательство. Прочувствуйте этот момент — вы о него уже не раз спотыкаетесь.

natalya_1 в сообщении #1603532 писал(а):
а чем моё рассуждение с критическими точками не годится?
Если есть только две критические точки и центр симметрии, то они должны быть симметричны относительно него (как это и случилось для $m=3$). Но проблема в том, что в случае $m>3$ никакого центра симметрии уже нет, да и критических точек у вас появится уже три. И вам стоит определиться что чему будет симметрично. Или вы добавили ноль в игнор за то, что на него нельзя делить?

natalya_1 в сообщении #1603532 писал(а):
графиком функции является парабола
Наверное это в каком-то смысле верно (есть же кубическая парабола), но, честно говоря, не припомню, чтобы так называли графики многочленов высших степеней, поэтому и вам не советую так делать, ибо, скорее всего, вас неправильно поймут. Оставьте этот термин для графика квадратного многочлена.

natalya_1 в сообщении #1603532 писал(а):
эти две критически точки должны быть симметричны относительно центра симметрии $k$.
И относительно $c+t$ и $t$, где $t=\frac{c}{2}-k$
$c+t$ и $t$ — это же точки? Тогда завидую вашему воображению, если вы можете себе такое представить.

natalya_1 в сообщении #1603540 писал(а):
...
то что меня продолжает мучить (и тоже связано с наличием или отсутствием симметрии).
Все проблемы вашей интуиции от того, что вы представляете себе график лишь кубического многочлена. Советую взять $m=5,~a=1,~b=2,~c=\sqrt[5]{33}$ и в какой-нибудь программе построить график $f(x).$ (Я бы вам сам его построил, но уж больно убогий у меня софт).

natalya_1 в сообщении #1603540 писал(а):
Объясните мне, пожалуйста, $0$- критическая точка при нечётных степенях. Как влияет $0$- критическая точка на график функции и его возможную симметричность?
А можете привести пример графика, на который ноль (не обязательно критическая точка) влияет хоть как-то?

Но с нулём тут всё-таки разобраться советую. А именно с вопросом: А какой-же точкой всё-таки будет ноль? Максимумом, минимумом или ещё чем... И какая точка должна быть ему симметрична относительно центра симметрии, если предположить что он всё-таки есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 19:50 


29/08/09
691
Rak so dna в сообщении #1603543 писал(а):



И относительно $c+t$ и $t$, где $t=\frac{c}{2}-k$ $c+t$ и $t$ — это же точки?


Да, конечно



Rak so dna в сообщении #1603543 писал(а):


Но с нулём тут всё-таки разобраться советую. А именно с вопросом: А какой-же точкой всё-таки будет ноль? Максимумом, минимумом или ещё чем... И какая точка должна быть ему симметрична относительно центра симметрии, если предположить что он всё-таки есть.

Если центр симметрии всё-таки есть, то точка $\frac{2mc^2d-(m-1)c^2d-2mp}{m(cd-p)}$ должна быть ему симметрична относительно центра симметрии (надо ещё проверить )



Rak so dna в сообщении #1603543 писал(а):
Все проблемы вашей интуиции от того, что вы представляете себе график лишь кубического многочлена. Советую взять $m=5,~a=1,~b=2,~c=\sqrt[5]{33}$ и в какой-нибудь программе построить график $f(x).$ (Я бы вам сам его построил, но уж больно убогий у меня софт).

К сожалению, я не умею работать с математическими программами.
Много лет назад подруга построила мне график, не помню какой степени. Там было очень трудно определить симметрию, поскольку точки $a$ и $c$ были расположены очень близко.



Antoshka, Не могли бы вы построить такой график в программе? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
551
so dna
natalya_1 по первому пункту всё понятно? Там есть нюанс, найдёте его сами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 20:53 


29/08/09
691
Rak so dna в сообщении #1603543 писал(а):
natalya_1 естественно мой комментарий был для $m>3.$ Ведь для $m=3$ это:
Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):
Вы приравняли сумму трёх корней уравнения $f(x)=f(b)$ к утроенному корню уравнения $f''(x)=0$.
и есть теорема Виета: возьмите любой кубический многочлен, и выпишите чему равна сумма его корней (и действительных и комплексных), найдите вторую производную и выпишите явно её корень, сравните результаты. Вот и всё доказательство. Вы же привели, как по мне, неплохое геометрическое рассуждение, которое демонстрирует это наглядно в случае, когда все корни действительные.
Для $m>3$ равенство из вашего рассуждения: $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''')$ перестанет выполняться, поскольку не учтены оставшиеся комплексные корни (это всё та же теорема Виета для уравнений $f(x)=f(b)$ и $f(x)=f(a''')$), а вместе с ним посыпется и всё доказательство. Прочувствуйте этот момент — вы о него уже не раз спотыкаетесь.

Ничего я не к чему не сравнивала, я лишь доказала, что если существует центр симметрии, то сумма действительных корней нашего многочлена равна $3k$. И таким образом вычленила значение суммы комплексных корней:
Сумма всех корней многочлена ( согласно теореме Виета) $\frac{c^2d}{cd-p}$, сумма действительных корней $\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$, сумма комплексных корней $\frac{c^2d}{cd-p}-\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}=\frac{(-m+3)c^2d}{2m(cd-p)}$.

-- Вт авг 01, 2023 21:58:33 --

Rak so dna в сообщении #1603552 писал(а):
natalya_1 по первому пункту всё понятно? Там есть нюанс, найдёте его сами?

Нюанс для меня один: В этом случае сумма $0+h+c$ тоже должна быть равна $\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$?
То есть, этим доказывается отсутствие симметрии?
Но моего воображения не хватает, чтобы представить, как выглядит этот график

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
551
so dna
natalya_1 ну хорошо, давайте рассмотрим $m=5$. Итак, у нас есть три корня уравнения $f(x)=f(b):~~b,b_1,b_2.$ Допустим график функции $f(x)$ имеет центр симметрии $k,$ и точки $a''',a_1''',a_2'''$ симметричны относительно него точкам $b,b_1,b_2.$ Тогда верна система$$\begin{cases} 
b+a'''=2k\\ 
b_1+a_1'''=2k\\
b_2+a_2'''=2k
\end{cases}$$ Откуда, понятно, $(b+b_1+b_2)+(a'''+a_1'''+a_2''')=6k.$ Далее вы говорите, что $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''').$ На каком основании? Вот я говорю, что по теореме Виета $(b+b_1+b_2+b_3+b_4)=(a'''+a_1'''+a_2'''+a_3'''+a_4''').$ И что ваше равенство очень вряд ли верно, поскольку для этого необходимо $b_3+b_4=a_3'''+a_4'''.$ Я не утверждаю, что это невозможно (это и есть нюанс), но объяснять это — ваша забота. Пока этого не сделано, доказательства нет. В общем, если вы настаиваете на верности своего доказательства, обосновывайте своё равенство $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''').$ В случае $m=3$ это было очевидно по Виету, может вам это очевидно из каких-то геометрических соображений и я туплю... В любом случае жду доказательства...

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 21:20 


29/08/09
691
Rak so dna в сообщении #1603560 писал(а):
В общем, если вы настаиваете на верности своего доказательства, обосновывайте своё равенство $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''').$ В случае $m=3$ это было очевидно по Виету, может вам это очевидно из каких-то геометрических соображений и я туплю... В любом случае жду доказательства...

Именно из геометрических.
Постараюсь обдумать как следует и расписать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 21:29 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1603546 писал(а):
Antoshka, Не могли бы вы построить такой график в программе?

Да, у меня для этого есть софт.
Rak so dna в сообщении #1603543 писал(а):
Советую взять $m=5,~a=1,~b=2,~c=\sqrt[5]{33}$ и в какой-нибудь программе построить график $f(x).$

Возьму эти параметры тогда

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 508 ]  На страницу Пред.  1 ... 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 ... 34  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group