Попытка доказательства теоремы ферма 3

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1601660 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1601523 писал(а):

В результате движения графика, они отмечены на графике и $f_2(a_2'')=f(a_2)=f_3(a_2')$, $f_2(b_1'')=f(b_1)=f_3(b_1')$

На вашем рисунке точек с двумя штрихами вообще нет

Завтра постараюсь новую схему сделать и отсканировать.

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1602452 писал(а):

Завтра постараюсь новую схему сделать и отсканировать.

Обозначьте на графике все точки, которые используете

[natalya_1]

Ферма утверждал, что уравнение $x^n+x'^n=z^n$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Предположим, что такое решение существует

при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, $n=m$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа и $a>b$, то есть $a^m+b^m=c^m$. $m$- целое нечётное
положительное число $m>2$

1.1. $a^{n-2}+b^{n-2}=c^{n-2}+d$, где
$d$ - целое положительное число
$a^{n-1}+b^{n-1}=c^{n-1}+p$, где $p$- целое положительное число.


1.2. $a^{m-2}+b^{m-2}-c^{m-2}=d$,
$a^{m-1}+b^{m-1}-c^{m-1}=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa^{m-2}+pb^{m-2}-pc^{m-2}=a^{m-1}d+b^{m-1}d-c^{m-1}d$, $a^{m-2}(ad-p)+b^{m-2}(bd-p)=c^{m-2}(cd-p)

1.3. $a^{m-2}(ad-p)+b^{m-2}(bd-p)=c^{m-2}(cd-p)$, $a^m+b^m=c^m$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^{m}a^{m-2}(ad-p)+c^{m}b^{m-2}(bd-p)=a^{m}c^{m-2}(cd-p)+b^{m}c^{m-2}(cd-p)$ , следовательно,
$(cd-p)a^m-c^{2}da^{m-1}+c^{2}pa^{m-2}=-((cd-p)b^m-c^{2}db^{m-1}+c^{2}pb^{m-2})$ .

2.1.1 функция $y=(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}=0$.
$x=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D=c^4d^2-4(cd-p)c^2p$,
$x=\frac{c^{2}d\mp\sqrt{c^2(cd-2p)^2}}{2(cd-p)}$
отсюда
$x=c$ или $x=\frac{cp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{cp}{cd-p}$ -рациональное число.

3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ (при $x>3)$и
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

3.1.1 Найдём точки перегиба функции
$y''=m(m-1)(cd-p)x^{m-2}-(m-2)(m-1)c^2dx^{m-3}+(m-2)(m-3)c^2px^{m-4}$
$y''=0$ если $x=0$ (при $m>3$) или
$m(m-1)(cd-p)x^2-(m-1)(m-2)c^2dx+(m-2)(m-3)c^2p$
$D=(m-1)^2(m-2)^2c^4d^2-4m(m-1)(m-2)(m-3)c^2p(cd-p)$
$x=\frac{(m-1)(m-2)c^2d\mp\sqrt{D}}{2m(m-1)(cd-p)}$






функция $y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три действительные точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).

$f(a)=f(a_1)=f(a_2)=-f(b)=-f(b_1)=-f(b_2)$
$a+a_1+a_2=b+b_1+b_2=0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$

Очевидно, что может существовать варианта расположения $h$ относительно $k$ - точки перегиба функции ($0<h<k$ и $k<h<\frac{c}{\sqrt{2}}$
и
три варианта расположения $a_2$, $b_1$, $b$, $a$ относительно друг друга:
1.$a_1<b<b_1<a_2<a<b_2$, 2. $a_1<b_1<b<a<a_2<b_2$, 3. $a_1<b_1<b<a_2<a<b_2$








3.множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения,
$(cd-p)x^{m}-c^2dx^{m-1}+c^2px^{m-2}=0$, $f(0)=f(h)=f(c)$, $h=\frac{cp}{cd-p}$
$a+a_1+a_2=b+b_1+b_2=0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$


Рассмотрим на примере $m=3$

вариант $a_1<0<b<b_1<h<a_2<a<c$

4.Выполним параллельный перенос и графика f(x) ( график на рисунке чёрной плотной линии) параллельно оси $OX$ вверх на расстояние $-2f(k)$ (удвоенное значение функции $f(x)$ в точке перегиба $k$ взятое с противоположным знаком) $f_1(x)=f(x)-2f(k)$. Получившийся график $f_1(x)$ на рисунке обозначен жёлтым цветом.

Затем выполним параллельный перенос графика $f_1(x)$ параллельно оси $OY$ вправо на расстояние $k-h$
$f_2(x)=f_1(x-(k-h))$
где $k$ - точка перегиба функции $f(x)$.
Получившийся график $f_2(x)$ на рисунке обозначен красным цветом.



$f_2(h_1)=f_2(0)=f_2(c)=0$
$\frac{h_1+h}{2}=\frac{h+(h+3(k-h))}{2}=\frac{c}{2}$, $h_1-h=((3k-2h)-h)=3(k-h)$

В результате этих двух последовательных параллельных переносов
получаем симметрию относительно $\frac{c}{2}$:

точка $b$ симметрична точке $a'$ ,
точка $b_1$ симметрична точке $a_2''$
точка $b_2$ симметрична точке $a_1'$
точка $a$ симметрична точке$b'$
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_2'$
точка $h_1$ симметрична точке $h$
$f_2(a')=f_2(a_1')=f_2(a_2'')=f(a)=f(a_1)=f(a_2)$,
$f_2(b')=f_2(b_1'')=f_2(b_2')=f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.




5.Выполним параллельный перенос графика $f_2(x)$ параллельно оси $OY$ влево на расстояние $h_1-h$
$f_3(x)=f_2(x+(h_1-h))$

Получим точки $b_1'$
$b_1'=b_1''-(h_1-h)$, $f_3(b_1')=f_2(b_1'')=f(b)$
$a_2'$
$a_2'=a_2''-(h_1-h)$, $f_3(a_2')=f_2(a_2'')=f(a)$
$h_1-h=2(\frac{c}{2}-h)=\frac{c^2d-cp-2cp}{cd-p}=\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=3(k-h)$





6.$f_2(h_1)=f(h)=f(0)=f_2(0)=f(c)=f_2(c)=0$, $h_1=h+3(k-h)$
$b+b_1+b_2=a+a_1+a_2=0+h+c$,
$b'+b_1''+b_2'=a'+a_1'+a_2''=0+h_1+c$.
$b'+(b_1'+3(k-h))+b_2'=0+(h+3(k-h))+c$ , следовательно,
$b'+b_1'+b_2'=0+h+c=b+b_1+b_2$
Аналогично
$a'+a_1'+a_2'=0+h+c=a+a_1+a_2$

отсюда
$b-b'=(b_1'-b_1)+(b_2'-b_2')$
$a-a'=(a_1'-a_1)+(a_2'-a_2)$

7.$a+b'=c$,
$b+a'=c$
$a+b=c+d$, следовательно $a-a'=b-b'=d$

8.$b_1+a_2'=b_1+a_2''-\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=c-\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=2h$,
$b_2+a_1=c-(b_2'-b_2)$;
$a+b=c+(a-a')=c+d$
$(a_2'-a_2)+(b_2'-b_2)=d$.

Далее

$b_2'-b_1'=b_2'-(b_1''-\frac{c(cd-3p)}{cd-p})=(a_2'-a_1')+\frac{c(cd-3p)}{cd-p}$,
$b_2'-b_1'=(c-a_1)-(2h-a_2)=(a_2-a_1)+(c-2h)=(a_2-a_1)+\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=b_2-b_1$,
$(b_2'-b_2)=(b_1'-b_1)=\frac{d}{2}$.
Отсюда
$a_1+b_2=c-\frac{d}{2}$- рациональное число,
$a_2+b_1=2h-\frac{d}{2}$- рациональное число.


9. $a_1+b_2$ - рациональное число


$(a_1^3+b_2^3)(cd-p)-c^2d(a_1^2+b_2^2)+c^2p(a_1+b_2)=0$
$(a_1+b_2)((a_1+b_2)^2-3a_1b_2)(cd-p)-c^2d(a_1+b_2)^2+2c^2da_1b_2+c^2p(a_1+b_2)=0$,
$(a_1+b_2){(a_1+b_1)^2(cd-p)-c^2d(a_1+b_1)+c^2p}-a_1b_1{3(a_1+b_1)(cd-p)-2c^2d}$
$2c^2d\not= 3(c-\frac{d}{2})(cd-p)$, поскольку $\frac{2c^2d}{cd-p}$ не может быть целым числом,
следовательно
5.1.2.$a_1b_2$ - рациональное число.
аналогично $a_2b_1$ - рациональное число.
но у нас $a_1a_2$ - рациональное число.
$a_1(b_2-a_2)$- рациональное число, $a_1(b_2-(\frac{c^2d}{cd-p}-a-a_1))$,

$a_1((b_2+a_1)+a-\frac{c^2d}{cd-p})$ - рациональное число, следовательно,
$a_1$ -рациональное число, следовательно, $a_2$, $b_1$, $b_2$ - рациональные числа.

6.1.1 $a_1+b_2=c-\frac{d}{2}$ (4.1.3)
$(a_1+b_2){(a_1+b_1)^2(cd-p)-c^2d(a_1+b_1)+c^2p}-a_1b_1{3(a_1+b_1)(cd-p)-2c^2d}$ (5.1.1),
$a_1+b_2=\frac{3c-a-b}{2}$, следовательно,

$\frac{\frac{3c-a-b}{2}(\frac{(3c-a-b)^2}{4}-3a_1b_2)(cd-p)}{c^2}$-целое число, следовательно
$a_1b_1$ должно иметь общий делитель с $a+b$, отличный от $2$. То есть, либо $a_1$, либо $b_2$ ( либо, и $a_1$, и $b_2$ должны иметь общий делитель с $a+b$, отличный от $2$.
Но это невозможно, поскольку
$a_1^3(cd-p)-a_1^2c^2d+a_1c^2p=a^3(cd-p)-a^2c^2d+ac^2p$,
$b_2^3(cd-p)-b_2^2c^2d+b_2c^2p=b^3(cd-p)-b^2c^2d+bc^2p$,

$a$, $b$ и $c$ - взаимно простые числа.

Вариант $a_1<0<b_1<b<a<a_2<b_2$
$a+b=c+d=c+(b-b_1)$. Тогда $a_1+b_2=c-d=2c-(a+b)$,
По аналогии с первым вариантом, этот вариант тоже невозможен.

Вариант $a_1<0<b_1<b<a_2<a<b_2$

$a+b_1=c+(b_1-b_1')$, $a-a_2=a-a_2'+(a_2'-a_2)$, следовательно,
$b_1-2(a_2'-a_2)$-рациональное число

$a_2+(a_2'-a_2)$-рациональное число , следовательно, $b_1+2a_2$-рациональное число.

$x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px=a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa$,
$(x-a)((x^2+xa+a^2)(cd-p)-c^2d(x+a)+c^2p)=0$ $x\not=a$
$(cd-p)x^2-(c^2d-a(cd-p))x+(c^2p+a^2(cd-p)^2)=0$

$D=(c^2d-a(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+a^2(cd-p)^2)=(c^4d^2-4c^3dp+4c^2p^2)-a(cd-p)(2c^2d-3a(cd-p))=c^2(cd-2p)^2-a(2c^2d-3a(cd-p))(cd-p)$, $D>0$
$x=\frac{c^2d-a(cd-p)\mp\sqrt{D}}{2(cd-p)}$

$a_2=\frac{c^2d-a(cd-p)+\sqrt{D}}{2(cd-p)}$.

$x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px=b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb$,
$(x-b)((x^2+xb+b^2)(cd-p)-c^2d(x+b)+c^2p)=0$ $x\not=b$
$(cd-p)x^2-(c^2d-b(cd-p))x+(c^2p+b^2(cd-p)^2)=0$

$D_1=(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p)^2)=(c^4d^2-4c^3dp+4c^2p^2)-b(cd-p)(2c^2d-3b(cd-p))=c^2(cd-2p)^2-b(2c^2d-3b(cd-p))(cd-p)$, $D_1>0$
$x=\frac{c^2d-b(cd-p)\mp\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$
$b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)-\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$, следовательно, поскольку $b_1+2a_2$-рациональное число.
$2\sqrt{D}-\sqrt{D_1}$--рациональное число.
$2\sqrt{D}\not=\sqrt{D_1}$, следовательно $b_1$, $a_2$, $a_1$, $b_2$- рациональные числа.
$(b_1^3+a_1^3)(cd-p)-c^2d(b_1^2+a_1^2)+c^2p(b_1+a_1)=0$
$(b_1^3+a_2^3)(cd-p)-c^2d(b_1^2+a_2^2)+c^2p(b_1+a_2)=0$, следовательно,
$\frac{(b_1^3+a_1^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число
$\frac{(b_1^3+a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число, следовательно
$\frac{(b_1^3(a_1^3+a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число.
Но у нас $\frac{(a_1^3-a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число, следовательно,
$\frac{b_1^3(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число или $\frac{a_1^3(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число,
что невозможно, поскольку
$a_1^3(cd-p)-c^2da_1^2+c^2pa_1=a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa$

$b_1^3(cd-p)-c^2db_1^2+c^2pb_1=b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb$ и
$a$, $b$, $c$ -взаимно простые числа.


Мы рассмотрели все возможные варианты и в каждом пришли к противоречию.
Значит, наше первоначальное предположение было ошибочно. уравнение $x^n+x'^n=z^n$ не имеет решений при $n>2$.
Теорема доказана.

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1602681 писал(а):

точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_2'$
точка $h_1$ симметрична точке $h$
$f_2(a')=f_2(a_1')=f_2(a_2'')=f(a)=f(a_1)=f(a_2)$,
$f_2(b')=f_2(b_1'')=f_2(b_2')=f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.

Проверьте вот это место. По моему здесь ошибка

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1602689 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1602681 писал(а):

точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_2'$
точка $h_1$ симметрична точке $h$
$f_2(a')=f_2(a_1')=f_2(a_2'')=f(a)=f(a_1)=f(a_2)$,
$f_2(b')=f_2(b_1'')=f_2(b_2')=f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.

Проверьте вот это место. По моему здесь ошибка

Да, конечно, опечатка,
Должно быть
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_1'$

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1602691 писал(а):

Да, конечно, опечатка,
Должно быть
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_1'$

Посмотрите, есть ещё какие-то опечатки у вас

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1602710 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1602691 писал(а):

Да, конечно, опечатка,
Должно быть
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_1'$

Посмотрите, есть ещё какие-то опечатки у вас

Если бы я видела опечатки, я бы их исправила.
Antoshka, мне бы хотелось узнать ваше мнение о доказательстве в целом.
Опечатка, на которую вы указали, является очень очевидной опечаткой, ни разу не ошибкой,
Специально для вас нарисовала новую картинку.

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1602714 писал(а):

Если бы я видела опечатки, я бы их исправила.
Antoshka, мне бы хотелось узнать ваше мнение о доказательстве в целом.

Вы свое доказательство знаете лучше других, потому я и предложил вам исправить все опечатки, так как вы это сделаете лучше других. Если в целом, то меня смущает, что у вас уравнение исходное в терминах вашей функции записывается как $y(a)=-y(b)$, если я правильно понимаю, а оно у вас особо не используется

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1602749 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1602714 писал(а):

Если бы я видела опечатки, я бы их исправила.
Antoshka, мне бы хотелось узнать ваше мнение о доказательстве в целом.

Если в целом, то меня смущает, что у вас уравнение исходное в терминах вашей функции записывается как $y(a)=-y(b)$, если я правильно понимаю, а оно у вас особо не используется

Как это не используется? У меня всё на этом построено...
Я очень подробно расписала движение графиков (по вашей же просьбе). Может, поэтому у вас сложилось такое ощущение?

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1602832 писал(а):

Как это не используется? У меня всё на этом построено...

Особо не используется это значит, что у вас доказательство какое-то короткое получилось. Завтра почитаю и напишу, что думаю

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1602852 писал(а):

Особо не используется это значит, что у вас доказательство какое-то короткое получилось.

А почему оно должно быть длинным?
Вроде как я искала элементарное доказательство самого Ферма...
Ну, могу ещё поподробнее всё расписать

Antoshka в сообщении #1602852 писал(а):

Завтра почитаю и напишу, что думаю

Спасибо большое!

[natalya_1]

Antoshka, На самом деле доказательство может быть ещё короче, потому что



Вариант $a_1<0<b_1<b<a_2<a<b_2$
подходит и для двух других других случаев.
Я написала разные варианты скорее для проверки. Суть одна: для того чтобы было решение в рациональных числах, надо чтобы $\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{a^{n-2}+b^{n-2}}$ было целым числом, что невозможно (к вопросу о том как я использую свой полином или уравнение и для чего я вообще его вывела)

$a+b_1=c+(b_1-b_1')$, $a-a_2=a-a_2'+(a_2'-a_2)$, следовательно,
$b_1-2(a_2'-a_2)$-рациональное число

$a_2+(a_2'-a_2)$-рациональное число , следовательно, $b_1+2a_2$-рациональное число.

$x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px=a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa$,
$(x-a)((x^2+xa+a^2)(cd-p)-c^2d(x+a)+c^2p)=0$ $x\not=a$
$(cd-p)x^2-(c^2d-a(cd-p))x+(c^2p+a^2(cd-p)^2)=0$

$D=(c^2d-a(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+a^2(cd-p)^2)=(c^4d^2-4c^3dp+4c^2p^2)-a(cd-p)(2c^2d-3a(cd-p))=c^2(cd-2p)^2-a(2c^2d-3a(cd-p))(cd-p)$, $D>0$
$x=\frac{c^2d-a(cd-p)\mp\sqrt{D}}{2(cd-p)}$

$a_2=\frac{c^2d-a(cd-p)+\sqrt{D}}{2(cd-p)}$.

$x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px=b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb$,
$(x-b)((x^2+xb+b^2)(cd-p)-c^2d(x+b)+c^2p)=0$ $x\not=b$
$(cd-p)x^2-(c^2d-b(cd-p))x+(c^2p+b^2(cd-p)^2)=0$

$D_1=(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p)^2)=(c^4d^2-4c^3dp+4c^2p^2)-b(cd-p)(2c^2d-3b(cd-p))=c^2(cd-2p)^2-b(2c^2d-3b(cd-p))(cd-p)$, $D_1>0$
$x=\frac{c^2d-b(cd-p)\mp\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$
$b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)-\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$, следовательно, поскольку $b_1+2a_2$-рациональное число.
$2\sqrt{D}-\sqrt{D_1}$--рациональное число.
$2\sqrt{D}\not=\sqrt{D_1}$, следовательно $b_1$, $a_2$, $a_1$, $b_2$- рациональные числа.
$(b_1^3+a_1^3)(cd-p)-c^2d(b_1^2+a_1^2)+c^2p(b_1+a_1)=0$
$(b_1^3+a_2^3)(cd-p)-c^2d(b_1^2+a_2^2)+c^2p(b_1+a_2)=0$, следовательно,
$\frac{(b_1^3+a_1^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число
$\frac{(b_1^3+a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число, следовательно
$\frac{b_1^3(a_1^3+a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число.
Но у нас $\frac{(a_1^3-a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число, следовательно,
$\frac{b_1^3(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число или $\frac{a_1^3(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число,
что невозможно, поскольку
$a_1^3(cd-p)-c^2da_1^2+c^2pa_1=a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa$

$b_1^3(cd-p)-c^2db_1^2+c^2pb_1=b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb$ и
$a$, $b$, $c$ -взаимно простые числа.

[natalya_1]

Rak so dna
Уважительно прошу Вас, если у Вас будет время, посмотреть последний вариант "доказательства".

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1602681 писал(а):

функция $y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три действительные точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).

$f(a)=f(a_1)=f(a_2)=-f(b)=-f(b_1)=-f(b_2)$
$a+a_1+a_2=b+b_1+b_2=0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$

Это утверждение неверно для $m>3.$ Например, при $m=4$ если уравнение $f(x)=A$ имеет три действительных корня $a,~a_1,~a_2$, то оно обязано иметь и четвёртый действительный корень $a_3,$ и по теореме Виета: $a+a_1+a_2+a_3=\frac{c^2d}{cd-p}.$ Ваше равенство сохранится только если $a_3=0,$ но тогда $f(a)=f(a_1)=f(a_2)=f(0)=0,$ что невозможно, поскольку $f(a)\neq 0.$

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1602983 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1602681 писал(а):

функция $y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три действительные точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).

$f(a)=f(a_1)=f(a_2)=-f(b)=-f(b_1)=-f(b_2)$
$a+a_1+a_2=b+b_1+b_2=0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$

Это утверждение неверно для $m>3.$ Например, при $m=4$ если уравнение $f(x)=A$ имеет три действительных корня $a,~a_1,~a_2$, то оно обязано иметь и четвёртый действительный корень $a_3,$ и по теореме Виета: $a+a_1+a_2+a_3=\frac{c^2d}{cd-p}.$ Ваше равенство сохранится только если $a_3=0,$ но тогда $f(a)=f(a_1)=f(a_2)=f(0)=0,$ что невозможно, поскольку $f(a)\neq 0.$

Я рассматривала варианты только нечётных степеней. При чётных степенях будет 4 действительных корня ( $b$, $b_1$, $b_2$, $b_3$) и 2 действительных корня $a$, $a_1$, поскольку при $n>3$ , $0$- ещё одна критическая точка.

Случаи же нечётных степеней так и остаются три действительных корня.
Но хорошо что вы поставили этот вопрос, потому что меня очень смущает то, что при $n=5$ при проверке на перегиб $0$ - точка перегиба. И я не знаю что с этим делать. Потому что я не вижу смены выпуклости на вогнутость при прохождении критической точки $0$. Как это происходит в случае с чётными степенями. При более высоких степенях $0$ - не точка перегиба (при проверке на перегиб)
Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ или
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

Найдём точки перегиба функции
$y''=m(m-1)(cd-p)x^{m-2}-(m-2)(m-1)c^2dx^{m-3}+(m-2)(m-3)c^2px^{m-4}$
$y''=0$ если $x=0$ (при m>4) или
$m(m-1)(cd-p)x^2-(m-1)(m-2)c^2dx+(m-2)(m-3)c^2p$
$D=(m-1)^2(m-2)^2c^4d^2-4m(m-1)(m-2)(m-3)c^2p(cd-p)$
$x=\frac{(m-1)(m-2)c^2d\mp\sqrt{D}}{2m(m-1)(cd-p)}$
Исследуем точку $0$ на перегиб ($m>4$)
$y'''=m(m-1)(m-2)x^{m-3}-(m-1)(m-2)(m-3)x^{m-4}+(m-2)(m-3)(m-4)c^2px^{m-5}$
Поскольку значение третьей производной в точке $0$ не равно нулю только при $m=5$,
$0$ будет точкой перегиба только при $m=5$????

Что здесь не так??? Ведь при чётных степенях $0$ так и остаётся точкой перегиба