2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 ... 34  След.
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение25.07.2023, 21:06 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1601660 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1601523 писал(а):
В результате движения графика, они отмечены на графике и $f_2(a_2'')=f(a_2)=f_3(a_2')$, $f_2(b_1'')=f(b_1)=f_3(b_1')$

На вашем рисунке точек с двумя штрихами вообще нет

Завтра постараюсь новую схему сделать и отсканировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение26.07.2023, 12:11 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1602452 писал(а):
Завтра постараюсь новую схему сделать и отсканировать.

Обозначьте на графике все точки, которые используете

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение27.07.2023, 06:26 


29/08/09
691
Ферма утверждал, что уравнение $x^n+x'^n=z^n$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Предположим, что такое решение существует

при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, $n=m$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа и $a>b$, то есть $a^m+b^m=c^m$. $m$- целое нечётное
положительное число $m>2$

1.1. $a^{n-2}+b^{n-2}=c^{n-2}+d$, где
$d$ - целое положительное число
$a^{n-1}+b^{n-1}=c^{n-1}+p$, где $p$- целое положительное число.


1.2. $a^{m-2}+b^{m-2}-c^{m-2}=d$,
$a^{m-1}+b^{m-1}-c^{m-1}=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa^{m-2}+pb^{m-2}-pc^{m-2}=a^{m-1}d+b^{m-1}d-c^{m-1}d$, $a^{m-2}(ad-p)+b^{m-2}(bd-p)=c^{m-2}(cd-p)

1.3. $a^{m-2}(ad-p)+b^{m-2}(bd-p)=c^{m-2}(cd-p)$, $a^m+b^m=c^m$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^{m}a^{m-2}(ad-p)+c^{m}b^{m-2}(bd-p)=a^{m}c^{m-2}(cd-p)+b^{m}c^{m-2}(cd-p)$ , следовательно,
$(cd-p)a^m-c^{2}da^{m-1}+c^{2}pa^{m-2}=-((cd-p)b^m-c^{2}db^{m-1}+c^{2}pb^{m-2})$ .

2.1.1 функция $y=(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}=0$.
$x=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D=c^4d^2-4(cd-p)c^2p$,
$x=\frac{c^{2}d\mp\sqrt{c^2(cd-2p)^2}}{2(cd-p)}$
отсюда
$x=c$ или $x=\frac{cp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{cp}{cd-p}$ -рациональное число.

3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ (при $x>3)$и
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

3.1.1 Найдём точки перегиба функции
$y''=m(m-1)(cd-p)x^{m-2}-(m-2)(m-1)c^2dx^{m-3}+(m-2)(m-3)c^2px^{m-4}$
$y''=0$ если $x=0$ (при $m>3$) или
$m(m-1)(cd-p)x^2-(m-1)(m-2)c^2dx+(m-2)(m-3)c^2p$
$D=(m-1)^2(m-2)^2c^4d^2-4m(m-1)(m-2)(m-3)c^2p(cd-p)$
$x=\frac{(m-1)(m-2)c^2d\mp\sqrt{D}}{2m(m-1)(cd-p)}$






функция $y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три действительные точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).

$f(a)=f(a_1)=f(a_2)=-f(b)=-f(b_1)=-f(b_2)$
$a+a_1+a_2=b+b_1+b_2=0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$

Очевидно, что может существовать варианта расположения $h$ относительно $k$ - точки перегиба функции ($0<h<k$ и $k<h<\frac{c}{\sqrt{2}}$
и
три варианта расположения $a_2$, $b_1$, $b$, $a$ относительно друг друга:
1.$a_1<b<b_1<a_2<a<b_2$, 2. $a_1<b_1<b<a<a_2<b_2$, 3. $a_1<b_1<b<a_2<a<b_2$






Изображение

3.множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения,
$(cd-p)x^{m}-c^2dx^{m-1}+c^2px^{m-2}=0$, $f(0)=f(h)=f(c)$, $h=\frac{cp}{cd-p}$
$a+a_1+a_2=b+b_1+b_2=0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$


Рассмотрим на примере $m=3$

вариант $a_1<0<b<b_1<h<a_2<a<c$

4.Выполним параллельный перенос и графика f(x) ( график на рисунке чёрной плотной линии) параллельно оси $OX$ вверх на расстояние $-2f(k)$ (удвоенное значение функции $f(x)$ в точке перегиба $k$ взятое с противоположным знаком) $f_1(x)=f(x)-2f(k)$. Получившийся график $f_1(x)$ на рисунке обозначен жёлтым цветом.

Затем выполним параллельный перенос графика $f_1(x)$ параллельно оси $OY$ вправо на расстояние $k-h$
$f_2(x)=f_1(x-(k-h))$
где $k$ - точка перегиба функции $f(x)$.
Получившийся график $f_2(x)$ на рисунке обозначен красным цветом.



$f_2(h_1)=f_2(0)=f_2(c)=0$
$\frac{h_1+h}{2}=\frac{h+(h+3(k-h))}{2}=\frac{c}{2}$, $h_1-h=((3k-2h)-h)=3(k-h)$

В результате этих двух последовательных параллельных переносов
получаем симметрию относительно $\frac{c}{2}$:

точка $b$ симметрична точке $a'$ ,
точка $b_1$ симметрична точке $a_2''$
точка $b_2$ симметрична точке $a_1'$
точка $a$ симметрична точке$b'$
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_2'$
точка $h_1$ симметрична точке $h$
$f_2(a')=f_2(a_1')=f_2(a_2'')=f(a)=f(a_1)=f(a_2)$,
$f_2(b')=f_2(b_1'')=f_2(b_2')=f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.




5.Выполним параллельный перенос графика $f_2(x)$ параллельно оси $OY$ влево на расстояние $h_1-h$
$f_3(x)=f_2(x+(h_1-h))$

Получим точки $b_1'$
$b_1'=b_1''-(h_1-h)$, $f_3(b_1')=f_2(b_1'')=f(b)$
$a_2'$
$a_2'=a_2''-(h_1-h)$, $f_3(a_2')=f_2(a_2'')=f(a)$
$h_1-h=2(\frac{c}{2}-h)=\frac{c^2d-cp-2cp}{cd-p}=\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=3(k-h)$





6.$f_2(h_1)=f(h)=f(0)=f_2(0)=f(c)=f_2(c)=0$, $h_1=h+3(k-h)$
$b+b_1+b_2=a+a_1+a_2=0+h+c$,
$b'+b_1''+b_2'=a'+a_1'+a_2''=0+h_1+c$.
$b'+(b_1'+3(k-h))+b_2'=0+(h+3(k-h))+c$ , следовательно,
$b'+b_1'+b_2'=0+h+c=b+b_1+b_2$
Аналогично
$a'+a_1'+a_2'=0+h+c=a+a_1+a_2$

отсюда
$b-b'=(b_1'-b_1)+(b_2'-b_2')$
$a-a'=(a_1'-a_1)+(a_2'-a_2)$

7.$a+b'=c$,
$b+a'=c$
$a+b=c+d$, следовательно $a-a'=b-b'=d$

8.$b_1+a_2'=b_1+a_2''-\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=c-\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=2h$,
$b_2+a_1=c-(b_2'-b_2)$;
$a+b=c+(a-a')=c+d$
$(a_2'-a_2)+(b_2'-b_2)=d$.

Далее

$b_2'-b_1'=b_2'-(b_1''-\frac{c(cd-3p)}{cd-p})=(a_2'-a_1')+\frac{c(cd-3p)}{cd-p}$,
$b_2'-b_1'=(c-a_1)-(2h-a_2)=(a_2-a_1)+(c-2h)=(a_2-a_1)+\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=b_2-b_1$,
$(b_2'-b_2)=(b_1'-b_1)=\frac{d}{2}$.
Отсюда
$a_1+b_2=c-\frac{d}{2}$- рациональное число,
$a_2+b_1=2h-\frac{d}{2}$- рациональное число.


9. $a_1+b_2$ - рациональное число


$(a_1^3+b_2^3)(cd-p)-c^2d(a_1^2+b_2^2)+c^2p(a_1+b_2)=0$
$(a_1+b_2)((a_1+b_2)^2-3a_1b_2)(cd-p)-c^2d(a_1+b_2)^2+2c^2da_1b_2+c^2p(a_1+b_2)=0$,
$(a_1+b_2){(a_1+b_1)^2(cd-p)-c^2d(a_1+b_1)+c^2p}-a_1b_1{3(a_1+b_1)(cd-p)-2c^2d}$
$2c^2d\not= 3(c-\frac{d}{2})(cd-p)$, поскольку $\frac{2c^2d}{cd-p}$ не может быть целым числом,
следовательно
5.1.2.$a_1b_2$ - рациональное число.
аналогично $a_2b_1$ - рациональное число.
но у нас $a_1a_2$ - рациональное число.
$a_1(b_2-a_2)$- рациональное число, $a_1(b_2-(\frac{c^2d}{cd-p}-a-a_1))$,

$a_1((b_2+a_1)+a-\frac{c^2d}{cd-p})$ - рациональное число, следовательно,
$a_1$ -рациональное число, следовательно, $a_2$, $b_1$, $b_2$ - рациональные числа.

6.1.1 $a_1+b_2=c-\frac{d}{2}$ (4.1.3)
$(a_1+b_2){(a_1+b_1)^2(cd-p)-c^2d(a_1+b_1)+c^2p}-a_1b_1{3(a_1+b_1)(cd-p)-2c^2d}$ (5.1.1),
$a_1+b_2=\frac{3c-a-b}{2}$, следовательно,

$\frac{\frac{3c-a-b}{2}(\frac{(3c-a-b)^2}{4}-3a_1b_2)(cd-p)}{c^2}$-целое число, следовательно
$a_1b_1$ должно иметь общий делитель с $a+b$, отличный от $2$. То есть, либо $a_1$, либо $b_2$ ( либо, и $a_1$, и $b_2$ должны иметь общий делитель с $a+b$, отличный от $2$.
Но это невозможно, поскольку
$a_1^3(cd-p)-a_1^2c^2d+a_1c^2p=a^3(cd-p)-a^2c^2d+ac^2p$,
$b_2^3(cd-p)-b_2^2c^2d+b_2c^2p=b^3(cd-p)-b^2c^2d+bc^2p$,

$a$, $b$ и $c$ - взаимно простые числа.

Вариант $a_1<0<b_1<b<a<a_2<b_2$
$a+b=c+d=c+(b-b_1)$. Тогда $a_1+b_2=c-d=2c-(a+b)$,
По аналогии с первым вариантом, этот вариант тоже невозможен.

Вариант $a_1<0<b_1<b<a_2<a<b_2$

$a+b_1=c+(b_1-b_1')$, $a-a_2=a-a_2'+(a_2'-a_2)$, следовательно,
$b_1-2(a_2'-a_2)$-рациональное число

$a_2+(a_2'-a_2)$-рациональное число , следовательно, $b_1+2a_2$-рациональное число.

$x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px=a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa$,
$(x-a)((x^2+xa+a^2)(cd-p)-c^2d(x+a)+c^2p)=0$ $x\not=a$
$(cd-p)x^2-(c^2d-a(cd-p))x+(c^2p+a^2(cd-p)^2)=0$

$D=(c^2d-a(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+a^2(cd-p)^2)=(c^4d^2-4c^3dp+4c^2p^2)-a(cd-p)(2c^2d-3a(cd-p))=c^2(cd-2p)^2-a(2c^2d-3a(cd-p))(cd-p)$, $D>0$
$x=\frac{c^2d-a(cd-p)\mp\sqrt{D}}{2(cd-p)}$

$a_2=\frac{c^2d-a(cd-p)+\sqrt{D}}{2(cd-p)}$.

$x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px=b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb$,
$(x-b)((x^2+xb+b^2)(cd-p)-c^2d(x+b)+c^2p)=0$ $x\not=b$
$(cd-p)x^2-(c^2d-b(cd-p))x+(c^2p+b^2(cd-p)^2)=0$

$D_1=(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p)^2)=(c^4d^2-4c^3dp+4c^2p^2)-b(cd-p)(2c^2d-3b(cd-p))=c^2(cd-2p)^2-b(2c^2d-3b(cd-p))(cd-p)$, $D_1>0$
$x=\frac{c^2d-b(cd-p)\mp\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$
$b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)-\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$, следовательно, поскольку $b_1+2a_2$-рациональное число.
$2\sqrt{D}-\sqrt{D_1}$--рациональное число.
$2\sqrt{D}\not=\sqrt{D_1}$, следовательно $b_1$, $a_2$, $a_1$, $b_2$- рациональные числа.
$(b_1^3+a_1^3)(cd-p)-c^2d(b_1^2+a_1^2)+c^2p(b_1+a_1)=0$
$(b_1^3+a_2^3)(cd-p)-c^2d(b_1^2+a_2^2)+c^2p(b_1+a_2)=0$, следовательно,
$\frac{(b_1^3+a_1^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число
$\frac{(b_1^3+a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число, следовательно
$\frac{(b_1^3(a_1^3+a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число.
Но у нас $\frac{(a_1^3-a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число, следовательно,
$\frac{b_1^3(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число или $\frac{a_1^3(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число,
что невозможно, поскольку
$a_1^3(cd-p)-c^2da_1^2+c^2pa_1=a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa$

$b_1^3(cd-p)-c^2db_1^2+c^2pb_1=b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb$ и
$a$, $b$, $c$ -взаимно простые числа.


Мы рассмотрели все возможные варианты и в каждом пришли к противоречию.
Значит, наше первоначальное предположение было ошибочно. уравнение $x^n+x'^n=z^n$ не имеет решений при $n>2$.
Теорема доказана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение27.07.2023, 08:00 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1602681 писал(а):
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_2'$
точка $h_1$ симметрична точке $h$
$f_2(a')=f_2(a_1')=f_2(a_2'')=f(a)=f(a_1)=f(a_2)$,
$f_2(b')=f_2(b_1'')=f_2(b_2')=f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.

Проверьте вот это место. По моему здесь ошибка

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение27.07.2023, 08:08 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1602689 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1602681 писал(а):
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_2'$
точка $h_1$ симметрична точке $h$
$f_2(a')=f_2(a_1')=f_2(a_2'')=f(a)=f(a_1)=f(a_2)$,
$f_2(b')=f_2(b_1'')=f_2(b_2')=f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.

Проверьте вот это место. По моему здесь ошибка

Да, конечно, опечатка,
Должно быть
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_1'$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение27.07.2023, 09:56 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1602691 писал(а):
Да, конечно, опечатка,
Должно быть
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_1'$

Посмотрите, есть ещё какие-то опечатки у вас

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение27.07.2023, 10:22 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1602710 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1602691 писал(а):
Да, конечно, опечатка,
Должно быть
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_1'$

Посмотрите, есть ещё какие-то опечатки у вас

Если бы я видела опечатки, я бы их исправила.
Antoshka, мне бы хотелось узнать ваше мнение о доказательстве в целом.
Опечатка, на которую вы указали, является очень очевидной опечаткой, ни разу не ошибкой,
Специально для вас нарисовала новую картинку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение27.07.2023, 12:06 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1602714 писал(а):
Если бы я видела опечатки, я бы их исправила.
Antoshka, мне бы хотелось узнать ваше мнение о доказательстве в целом.

Вы свое доказательство знаете лучше других, потому я и предложил вам исправить все опечатки, так как вы это сделаете лучше других. Если в целом, то меня смущает, что у вас уравнение исходное в терминах вашей функции записывается как $y(a)=-y(b)$, если я правильно понимаю, а оно у вас особо не используется

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение27.07.2023, 19:11 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1602749 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1602714 писал(а):
Если бы я видела опечатки, я бы их исправила.
Antoshka, мне бы хотелось узнать ваше мнение о доказательстве в целом.

Если в целом, то меня смущает, что у вас уравнение исходное в терминах вашей функции записывается как $y(a)=-y(b)$, если я правильно понимаю, а оно у вас особо не используется

Как это не используется? У меня всё на этом построено...
Я очень подробно расписала движение графиков (по вашей же просьбе). Может, поэтому у вас сложилось такое ощущение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение27.07.2023, 21:02 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1602832 писал(а):
Как это не используется? У меня всё на этом построено...

Особо не используется это значит, что у вас доказательство какое-то короткое получилось. Завтра почитаю и напишу, что думаю

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение27.07.2023, 21:08 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1602852 писал(а):
Особо не используется это значит, что у вас доказательство какое-то короткое получилось.

А почему оно должно быть длинным?
Вроде как я искала элементарное доказательство самого Ферма...
Ну, могу ещё поподробнее всё расписать
Antoshka в сообщении #1602852 писал(а):
Завтра почитаю и напишу, что думаю

Спасибо большое!

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение27.07.2023, 23:46 


29/08/09
691
Antoshka, На самом деле доказательство может быть ещё короче, потому что



Вариант $a_1<0<b_1<b<a_2<a<b_2$
подходит и для двух других других случаев.
Я написала разные варианты скорее для проверки. Суть одна: для того чтобы было решение в рациональных числах, надо чтобы $\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{a^{n-2}+b^{n-2}}$ было целым числом, что невозможно (к вопросу о том как я использую свой полином или уравнение и для чего я вообще его вывела)

$a+b_1=c+(b_1-b_1')$, $a-a_2=a-a_2'+(a_2'-a_2)$, следовательно,
$b_1-2(a_2'-a_2)$-рациональное число

$a_2+(a_2'-a_2)$-рациональное число , следовательно, $b_1+2a_2$-рациональное число.

$x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px=a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa$,
$(x-a)((x^2+xa+a^2)(cd-p)-c^2d(x+a)+c^2p)=0$ $x\not=a$
$(cd-p)x^2-(c^2d-a(cd-p))x+(c^2p+a^2(cd-p)^2)=0$

$D=(c^2d-a(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+a^2(cd-p)^2)=(c^4d^2-4c^3dp+4c^2p^2)-a(cd-p)(2c^2d-3a(cd-p))=c^2(cd-2p)^2-a(2c^2d-3a(cd-p))(cd-p)$, $D>0$
$x=\frac{c^2d-a(cd-p)\mp\sqrt{D}}{2(cd-p)}$

$a_2=\frac{c^2d-a(cd-p)+\sqrt{D}}{2(cd-p)}$.

$x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px=b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb$,
$(x-b)((x^2+xb+b^2)(cd-p)-c^2d(x+b)+c^2p)=0$ $x\not=b$
$(cd-p)x^2-(c^2d-b(cd-p))x+(c^2p+b^2(cd-p)^2)=0$

$D_1=(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p)^2)=(c^4d^2-4c^3dp+4c^2p^2)-b(cd-p)(2c^2d-3b(cd-p))=c^2(cd-2p)^2-b(2c^2d-3b(cd-p))(cd-p)$, $D_1>0$
$x=\frac{c^2d-b(cd-p)\mp\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$
$b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)-\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$, следовательно, поскольку $b_1+2a_2$-рациональное число.
$2\sqrt{D}-\sqrt{D_1}$--рациональное число.
$2\sqrt{D}\not=\sqrt{D_1}$, следовательно $b_1$, $a_2$, $a_1$, $b_2$- рациональные числа.
$(b_1^3+a_1^3)(cd-p)-c^2d(b_1^2+a_1^2)+c^2p(b_1+a_1)=0$
$(b_1^3+a_2^3)(cd-p)-c^2d(b_1^2+a_2^2)+c^2p(b_1+a_2)=0$, следовательно,
$\frac{(b_1^3+a_1^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число
$\frac{(b_1^3+a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число, следовательно
$\frac{b_1^3(a_1^3+a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число.
Но у нас $\frac{(a_1^3-a_2^3)(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число, следовательно,
$\frac{b_1^3(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число или $\frac{a_1^3(cd-p)^3}{c^2}$ -целое число,
что невозможно, поскольку
$a_1^3(cd-p)-c^2da_1^2+c^2pa_1=a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa$

$b_1^3(cd-p)-c^2db_1^2+c^2pb_1=b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb$ и
$a$, $b$, $c$ -взаимно простые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение28.07.2023, 02:32 


29/08/09
691
Rak so dna
Уважительно прошу Вас, если у Вас будет время, посмотреть последний вариант "доказательства". :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение28.07.2023, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
551
so dna
natalya_1 в сообщении #1602681 писал(а):
функция $y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три действительные точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).

$f(a)=f(a_1)=f(a_2)=-f(b)=-f(b_1)=-f(b_2)$
$a+a_1+a_2=b+b_1+b_2=0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$

Это утверждение неверно для $m>3.$ Например, при $m=4$ если уравнение $f(x)=A$ имеет три действительных корня $a,~a_1,~a_2$, то оно обязано иметь и четвёртый действительный корень $a_3,$ и по теореме Виета: $a+a_1+a_2+a_3=\frac{c^2d}{cd-p}.$ Ваше равенство сохранится только если $a_3=0,$ но тогда $f(a)=f(a_1)=f(a_2)=f(0)=0,$ что невозможно, поскольку $f(a)\neq 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение28.07.2023, 17:25 


29/08/09
691
Rak so dna в сообщении #1602983 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1602681 писал(а):
функция $y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три действительные точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).

$f(a)=f(a_1)=f(a_2)=-f(b)=-f(b_1)=-f(b_2)$
$a+a_1+a_2=b+b_1+b_2=0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$

Это утверждение неверно для $m>3.$ Например, при $m=4$ если уравнение $f(x)=A$ имеет три действительных корня $a,~a_1,~a_2$, то оно обязано иметь и четвёртый действительный корень $a_3,$ и по теореме Виета: $a+a_1+a_2+a_3=\frac{c^2d}{cd-p}.$ Ваше равенство сохранится только если $a_3=0,$ но тогда $f(a)=f(a_1)=f(a_2)=f(0)=0,$ что невозможно, поскольку $f(a)\neq 0.$

Я рассматривала варианты только нечётных степеней. При чётных степенях будет 4 действительных корня ( $b$, $b_1$, $b_2$, $b_3$) и 2 действительных корня $a$, $a_1$, поскольку при $n>3$ , $0$- ещё одна критическая точка.

Случаи же нечётных степеней так и остаются три действительных корня.
Но хорошо что вы поставили этот вопрос, потому что меня очень смущает то, что при $n=5$ при проверке на перегиб $0$ - точка перегиба. И я не знаю что с этим делать. Потому что я не вижу смены выпуклости на вогнутость при прохождении критической точки $0$. Как это происходит в случае с чётными степенями. При более высоких степенях $0$ - не точка перегиба (при проверке на перегиб)
Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ или
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

Найдём точки перегиба функции
$y''=m(m-1)(cd-p)x^{m-2}-(m-2)(m-1)c^2dx^{m-3}+(m-2)(m-3)c^2px^{m-4}$
$y''=0$ если $x=0$ (при m>4) или
$m(m-1)(cd-p)x^2-(m-1)(m-2)c^2dx+(m-2)(m-3)c^2p$
$D=(m-1)^2(m-2)^2c^4d^2-4m(m-1)(m-2)(m-3)c^2p(cd-p)$
$x=\frac{(m-1)(m-2)c^2d\mp\sqrt{D}}{2m(m-1)(cd-p)}$
Исследуем точку $0$ на перегиб ($m>4$)
$y'''=m(m-1)(m-2)x^{m-3}-(m-1)(m-2)(m-3)x^{m-4}+(m-2)(m-3)(m-4)c^2px^{m-5}$
Поскольку значение третьей производной в точке $0$ не равно нулю только при $m=5$,
$0$ будет точкой перегиба только при $m=5$????

Что здесь не так??? Ведь при чётных степенях $0$ так и остаётся точкой перегиба

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 508 ]  На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 ... 34  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group