не понимаю, зачем нужна громоздкая конструкция, когда есть простая и очевидная.
Просто интересно.
А если несчетное, то и того проще: пересечение всех множеств вида
, где
открыто.
это тоже открытое множество, то есть оно тоже входит в множество
всех открытых множеств
.
Множество
делится на подмножество
, в каждый элемент которого входит
, и подмножество
, ни в один элемент которого
не входит.
Объединив
с каждым множеством из
, мы получим то же множество
, объединив
с каждым множеством из
, мы получим опять же множество
(потому что мы не можем получить ни одного множества, которого бы не было в
, так как
это множество всех возможных открытых множеств).
Таким образом, объединив
с каждым множеством из
, мы получим множество
, пересечение элементов которого равно
.
Пределов последовательностей вложенных интервалов? А почему у вас в этих последовательностях
меняется, а
фиксировано? Вы же вначале писали наоборот - сначала объединение по всем
при фиксированном
, а потом пересечение по всем
.
Совершенно верно, для
так и было: сначала объединение по всем
при фиксированном
, а потом пересечение по всем
. Но эта конструкция не пошла, выяснилось, что если
и
входят в
(как Вы мне вдалбливали), то это пересечение равно не интервалу
, а отрезку
(кто бы мог подумать!)
Конструкция же с
другая: в ней каждая точка интервала
является пределом последовательности вложенных интервалов
-- сколько точек, столько последовательностей (для каждой последовательности переменная
принимает значение соответствующей точки), и все эти последовательности-гармошки, так сказать, одновременно сжимаются, каждая в свою точку (если допустить актуальную бесконечность), и получается множество этих точек, то есть интервал
.
Правда, это не то, что мне задали, так что задания я так и не выполнил.
Если позволить
зависеть от
, как вы писали изначально, то мы получаем в том числе и последовательность интервалов
Есть ли у них общая точка и если есть, то какая?
Это я не очень хорошо понял, но в
и
зависят друг от друга: для любого
найдется такое
, что будет
, и для любого
найдется такое
, что будет
. Но тут, конечно, можно выбрать, что от чего зависит.
Хотя можно ведь и не выбирать, а задать функцию от двух аргументов:
, правда, тогда это что-то совсем другое.