2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение24.07.2023, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8496
Vladimir Pliassov в сообщении #1602316 писал(а):
В любом топологическом пространстве $\varnothing$ является открытым множеством (так как принадлежит топологии), поэтому пересечение всех открытых множеств пространства равно $\varnothing$.
Ну вот Вы и ответили на собственный вопрос.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602316 писал(а):
Под пределом $\lim_{n\to \infty} M_n$ этого множества (которое я тоже обозначил $M_n$) я понимаю множество пределов всех этих последовательностей, то есть множество всех точек интервала $(0, 1)$. Так можно?
Наверное, можно, но это неочевидное обозначение. Во всяком случае, для меня. Увидев запись $\lim_{n\to \infty} M_n$, я ожидаю, что введено пространство, элементами которого являются множества $M$, и сходимость в этом пространстве (топологическая, по мере или еще какая-нибудь).

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение24.07.2023, 21:06 


21/04/19
1232
Anton_Peplov в сообщении #1602318 писал(а):
Наверное, можно, но это неочевидное обозначение.

А как бы Вы обозначили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение24.07.2023, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8496
Vladimir Pliassov в сообщении #1602320 писал(а):
А как бы Вы обозначили?
Я бы скорее словами сказал, что множество пределов некоторых последовательностей заполняет интервал $(0, 1)$. Если, конечно, оно действительно его заполняет. Ваши выкладки я по-прежнему не проверял, ибо не понимаю, зачем нужна громоздкая конструкция, когда есть простая и очевидная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение25.07.2023, 00:28 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1602316 писал(а):
можно рассмотреть множество, элементами которого являются последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ при том, что $a$ пробегает все точки интервала $(0, 1)$. Под пределом $\lim_{n\to \infty} M_n$ этого множества (которое я тоже обозначил $M_n$) я понимаю множество пределов всех этих последовательностей
Пределов последовательностей вложенных интервалов? А почему у вас в этих последовательностях $n$ меняется, а $a$ фиксировано? Вы же вначале писали наоборот - сначала объединение по всем $a$ при фиксированном $n$, а потом пересечение по всем $n$. В этом и ошибка - нельзя бездумно менять порядок кванторов.

Если позволить $a$ зависеть от $n$, как вы писали изначально, то мы получаем в том числе и последовательность интервалов
$$(\frac12-1,\frac12+1)$$
$$(\frac14-\frac12,\frac14+\frac12)$$
$$(\frac16-\frac13,\frac16+\frac13)$$
$$\ldots$$

Есть ли у них общая точка и если есть, то какая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение25.07.2023, 02:46 


21/04/19
1232
Anton_Peplov в сообщении #1602321 писал(а):
не понимаю, зачем нужна громоздкая конструкция, когда есть простая и очевидная.

Просто интересно.
Anton_Peplov в сообщении #1601934 писал(а):
А если несчетное, то и того проще: пересечение всех множеств вида $U \cup (0, 1)$, где $U$ открыто.

$(0, 1)$ это тоже открытое множество, то есть оно тоже входит в множество $\mathcal U$ всех открытых множеств $U$.

Множество $\mathcal U$ делится на подмножество $\mathcal U'$, в каждый элемент которого входит $(0, 1)$, и подмножество $\mathcal U''$, ни в один элемент которого $(0, 1)$ не входит.

Объединив $(0, 1)$ с каждым множеством из $\mathcal U'$, мы получим то же множество $\mathcal U'$, объединив $(0, 1)$ с каждым множеством из $\mathcal U''$, мы получим опять же множество $\mathcal U'$ (потому что мы не можем получить ни одного множества, которого бы не было в $\mathcal U$, так как $\mathcal U$ это множество всех возможных открытых множеств).

Таким образом, объединив $(0, 1)$ с каждым множеством из $\mathcal U$, мы получим множество $\mathcal U'$, пересечение элементов которого равно $(0, 1)$.

tolstopuz в сообщении #1602344 писал(а):
Пределов последовательностей вложенных интервалов? А почему у вас в этих последовательностях $n$ меняется, а $a$ фиксировано? Вы же вначале писали наоборот - сначала объединение по всем $a$ при фиксированном $n$, а потом пересечение по всем $n$.

Совершенно верно, для

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$
так и было: сначала объединение по всем $a$ при фиксированном $n$, а потом пересечение по всем $n$. Но эта конструкция не пошла, выяснилось, что если $0$ и $1$ входят в $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n$ (как Вы мне вдалбливали), то это пересечение равно не интервалу $(0, 1)$, а отрезку $[0, 1]$ (кто бы мог подумать!)

Конструкция же с $\lim_{n\to \infty} M_n$ другая: в ней каждая точка интервала $(0, 1)$ является пределом последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ -- сколько точек, столько последовательностей (для каждой последовательности переменная $a$ принимает значение соответствующей точки), и все эти последовательности-гармошки, так сказать, одновременно сжимаются, каждая в свою точку (если допустить актуальную бесконечность), и получается множество этих точек, то есть интервал $(0, 1)$.

Правда, это не то, что мне задали, так что задания я так и не выполнил.

tolstopuz в сообщении #1602344 писал(а):
Если позволить $a$ зависеть от $n$, как вы писали изначально, то мы получаем в том числе и последовательность интервалов
$$(\frac12-1,\frac12+1)$$
$$(\frac14-\frac12,\frac14+\frac12)$$
$$(\frac16-\frac13,\frac16+\frac13)$$
$$\ldots$$

Есть ли у них общая точка и если есть, то какая?

Это я не очень хорошо понял, но в $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ $\;\;$ $a$ и $n$ зависят друг от друга: для любого $n$ найдется такое $a$, что будет $(a-\frac {1}{n})<0$, и для любого $a$ найдется такое $n$, что будет $(a-\frac {1}{n})>0$. Но тут, конечно, можно выбрать, что от чего зависит.

Хотя можно ведь и не выбирать, а задать функцию от двух аргументов: $P(a, n)=\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$, правда, тогда это что-то совсем другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение25.07.2023, 14:28 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1602350 писал(а):
Конструкция же с $\lim_{n\to \infty} M_n$ другая: в ней каждая точка интервала $(0, 1)$ является пределом последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ -- сколько точек, столько последовательностей (для каждой последовательности переменная $a$ принимает значение соответствующей точки), и все эти последовательности-гармошки, так сказать, одновременно сжимаются, каждая в свою точку (если допустить актуальную бесконечность), и получается множество этих точек, то есть интервал $(0, 1)$.
Мне тоже непонятно, что такое "предел последовательности множеств", как он определяется и для всех ли последовательностей множеств он существует. Можете растолковать?

(что такое "актуальная бесконечность", лучше не объясняйте, стар я стал для этого)

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение25.07.2023, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7061
tolstopuz в сообщении #1602410 писал(а):
Мне тоже непонятно, что такое "предел последовательности множеств", как он определяется и для всех ли последовательностей множеств он существует. Можете растолковать?

За темой не слежу. Извините, что вмешиваюсь. Просто хочу сказать, что в книгах встречаются такие термины, как "верхний (нижний) предел последовательности множеств". Верхний предел - множество точек, которые принадлежат бесконечному числу множеств. Нижний предел - множество точек, которые принадлежат всем множествам последовательности множеств, начиная с некоторого номера. Предел множеств - это когда оба предела совпадают. Не знаю, об этом ли идёт речь в данной теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение25.07.2023, 15:14 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
мат-ламер в сообщении #1602414 писал(а):
Просто хочу сказать, что в книгах встречаются такие термины, как "верхний (нижний) предел последовательности множеств". Верхний предел - множество точек, которые принадлежат бесконечному числу множеств. Нижний предел - множество точек, которые принадлежат всем множествам последовательности множеств, начиная с некоторого номера. Предел множеств - это когда оба предела совпадают. Не знаю, об этом ли идёт речь в данной теме.
Для последовательностей семейств множеств оба предела совпадают с пересечением. Но ТС явно нужно не это, он делает какую-то искусственную вымученную конструкцию специально для своего частного случая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение26.07.2023, 02:14 


21/04/19
1232
мат-ламер в сообщении #1602414 писал(а):
в книгах встречаются такие термины, как "верхний (нижний) предел последовательности множеств". Верхний предел - множество точек, которые принадлежат бесконечному числу множеств. Нижний предел - множество точек, которые принадлежат всем множествам последовательности множеств, начиная с некоторого номера. Предел множеств - это когда оба предела совпадают. Не знаю, об этом ли идёт речь в данной теме.

Нет, не об этом, здесь речь идет не о пределе последовательности множеств, а о пределе одного множества $M_n$, который является совокупностью пределов своих элементов-множеств.

tolstopuz в сообщении #1602410 писал(а):
Мне тоже непонятно, что такое "предел последовательности множеств", как он определяется и для всех ли последовательностей множеств он существует.

Элементами множества $M_n$ являются последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big) \;\; n=\overline {1, \infty}$, каждая из которых имеет своим пределом некоторую точку интервала $(0, 1)$, при этом каждая точка из $(0, 1)$ является пределом одной из этих последовательностей.

Под "пределом множества $M_n$" я имел в виду совокупность пределов всех этих последовательностей, то есть пределом множества $M_n$ является весь интервал $0, 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение26.07.2023, 02:30 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1602469 писал(а):
Нет, не об этом, здесь речь идет не о пределе последовательности множеств, а о пределе одного множества $M_n$, который является совокупностью пределов своих элементов-множеств.
Вы вводите новое неведомое понятие - "предел одного множества". Кроме того, вы утверждаете, что элементами множества $M_n$ являются множества. Разве $M_n$ - не множество точек прямой? По-моему, вы совсем запутались в своих умопостроениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение26.07.2023, 04:04 


21/04/19
1232
tolstopuz в сообщении #1602470 писал(а):
Вы вводите новое неведомое понятие - "предел одного множества". Кроме того, вы утверждаете, что элементами множества $M_n$ являются множества. Разве $M_n$ - не множество точек прямой?

Нет, в этой, второй, конструкции элементами множества $M_n$ являются последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big) \;\; n=\overline {1, \infty}$. Неудачно, что я назвал это множество так же, как $M_n$ из первой конструкции, назовем его лучше $L_n$. Итак, заново:

элементами множества $L_n$ являются последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big) \;\; n=\overline {1, \infty}$. Каждая последовательность, то есть каждый элемент $L_n$, имеет предел, поэтому я говорю о пределе множества $L_n$, который является совокупностью пределов всех элементов $L_n$, то есть интервалом $(0, 1)$.

А элементами множества

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$
являются точки прямой. Все $M_n$ пересекаются между собой:

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=[0, 1],$$
то есть, как Вы сами сказали:

tolstopuz в сообщении #1602344 писал(а):
объединение по всем $a$ при фиксированном $n$, а потом пересечение по всем $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение26.07.2023, 05:00 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1602474 писал(а):
Каждая последовательность, то есть каждый элемент $L_n$, имеет предел, поэтому я говорю о пределе множества $L_n$, который является совокупностью пределов всех элементов $L_n$, то есть интервалом $(0, 1)$.
А зачем это все? Вы участвуете в конкурсе "кто наиболее запутанным путем получит интервал $(0,1)$"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение26.07.2023, 19:47 


21/04/19
1232
tolstopuz в сообщении #1602475 писал(а):
А зачем это все? Вы участвуете в конкурсе "кто наиболее запутанным путем получит интервал $(0,1)$"?

:D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group