Возьмите какую-нибудь точку прямой. Посмотрите, принадлежит ли она всем

. Сделайте из этого вывод, принадлежит ли она их пересечению.
Всем

принадлежит каждая точка интервала

.
Ваше рассуждение не годится, потому что если брать
![$M_n = \bigcup \limits_{a \in \mathbb Q \cap (0, 1)} \left [ a - 1/n, a + 1/n\right ]$ $M_n = \bigcup \limits_{a \in \mathbb Q \cap (0, 1)} \left [ a - 1/n, a + 1/n\right ]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/2/d52c7c91fed5f12ca15ab80221e9872a82.png)
, то оно скажет, что пересечение

есть

, что неправда.
По-моему, смотря как определить

.
Если
![$M_n = \bigcup \limits_{a \in \mathbb Q \cap (0, 1)} \left [ a - 1/n, a + 1/n\right ]$ $M_n = \bigcup \limits_{a \in \mathbb Q \cap (0, 1)} \left [ a - 1/n, a + 1/n\right ]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/2/d52c7c91fed5f12ca15ab80221e9872a82.png)
, то есть если переменная

пробегает только рациональные точки интервала

, то

есть

,
но если
![$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$ $$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/5/e0514ccb58f6ac7781e4fd623011653282.png)
то есть если переменная

пробегает все точки интервала

, то

Так что пока что Вы меня не убедили.
Существует ли такое

, при котором

?
Для любого

существует такое

.
Верно ли, что

?
Да, для любого

существует такое

, при котором

.
Лежит ли точка

во множестве

?
Если

определяется как
![$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$$ $$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/b/71b3b7e8e3b2b6096bc460211e3b0d5e82.png)
(новая версия), то каждому

принадлежит

, потому что для любого

существует такое

, при котором
![$0\in[a-\frac1n,a+\frac1n]$ $0\in[a-\frac1n,a+\frac1n]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/4/91453704c144738990189fee06e02c1182.png)
.
Если

определяется как

(старая версия), то то каждому

также принадлежит

, потому что для любого

существует такое

, при котором

.
Как в старой, так и в новой версии каждое объединение

является интервалом, левая граница которого меньше нуля, а правая больше единицы.
Множество

в новой версии, то есть множество всех
![$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$ $$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/5/e0514ccb58f6ac7781e4fd623011653282.png)
представляет собой последовательность вложенных друг в друга интервалов, пределом которой является отрезок
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
. Поэтому как ноль, так и единица принадлежит каждому члену этой последовательности, то есть каждому

.
Я думаю, что то же самое можно сказать и о множестве

в новой версии, то есть о множестве всех

но не уверен, что для старой версии

можно доказать утверждение

тем же путем, что и для новой версии. Дело в том, что я обнаружил, что
Цитата:
Отрезки в формулировке теоремы (или леммы? -- о вложенных отрезках) нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

Википедия.
Поэтому я на всякий случай заменил старую версию

(с интервалами

) на новую версию (с отрезками
![$\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$ $\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/5/6155da2a627080235848f8937460952e82.png)
).
Хотя, может быть, вложенные интервалы тоже могут сходиться к точке или к отрезку? Если вообще это возможно, то в чем особенность пересечения

Если же это никогда не возможно, то и я ошибаюсь, полагая, что множество

представляет собой последовательность вложенных друг в друга интервалов, пределом которой является отрезок
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
. Но это было бы странно.
Может быть, особенность пересечения

в том, что в этих вложенных интервалах движется только одна граница, а вторая стоит на месте?