Элементарная топология

[Vladimir Pliassov]

http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-book.pdf , стр.12:

Цитата:

2.6. Пусть $(X, \Omega)$ -- топологическое пространство, а $Y$ -- множество, полученное из $X$ добавлением к нему одного элемента $a$. Является ли набор $\{\{a\}\cup U\;\vert \;U\in \Omega\}\cup \{\varnothing\}$ топологической структурой в $Y$?

Как я понимаю, набор $\{\{a\}\cup U\;\vert \;U\in \Omega\}\cup \{\varnothing\}$ состоит всего из двух элементов, то есть из двух множеств: $\{a\}\cup U$ и $\varnothing$, -- поэтому, чтобы ему быть топологической структурой $\mathcal{T}$ в $Y$, $(Y, \mathcal{T})$ должно быть антидискретным пространством (топология $\mathcal{T}$ которого состоит всего из двух элементов: $Y$ и $\varnothing$), то есть должно быть $U=X$.

Я бы ответил: "Является, если $U=X$" (потому что возможно $U\ne X$), но ответ (на стр. 344): "Да, является ..." Нет ли здесь ошибки?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1601468 писал(а):

Как я понимаю, набор $\{\{a\}\cup U\;\vert \;U\in \Omega\}\cup \{\varnothing\}$ состоит всего из двух элементов, то есть из двух множеств: $\{a\}\cup U$ и $\varnothing$

Это неверно. Запись $\{\{a\}\cup U\;\vert \;U\in \Omega\}$ означает, что берутся всевозможные множества $U\in\Omega$ (а не какое-то одно из них) и для каждого такого $U$ берётся $\{a\}\cup U$.

Аналогично, например, $\{n^2\,|\,n\in\mathbb{N}\}=\{1,4,9,16,\ldots\}$.

[Vladimir Pliassov]

Тогда понятно, спасибо!

[Vladimir Pliassov]

https://www.math.stonybrook.edu/~oleg/e ... s-book.pdf, стр.21:

Цитата:

2.8. Задание топологии совокупностью замкнутых множеств.

2.13. Если совокупность $\mathcal F$ подмножеств множества $X$ удовлетворяет следующим условиям:

1) пересечение любого набора множеств, принадлежащих $\mathcal F$, принадлежит $\mathcal F$;
2) объединение любого конечного набора множеств, принадлежащих $\mathcal F$, принадлежит совокупности $\mathcal F$;
3) $\varnothing$ и $X$ принадлежат $\mathcal F$,

то $\mathcal F$ есть совокупность всех замкнутых множеств некоторого топологического пространства (какого?).

Обозначим через $\Omega$ совокупность дополнений всех $f\in \mathcal F$ и через $u$ элементы $\Omega$. Тогда

1) $f_1\cap f_2\cap \ldots \cap f_m=(X\setminus u_1)\cap (X\setminus u_2)\cap \ldots \cap (X\setminus u_m)=X\setminus (u_1\cup u_2\cup \ldots \cup u_m)\in \mathcal F$, откуда $u_1\cup u_2\cup \ldots \cup u_m\in \Omega$;

2) $f_1\cup f_2\cup \ldots \cup f_n=(X\setminus u_1)\cup (X\setminus u_2)\cup\ldots \cup (X\setminus u_n)=X\setminus (u_1\cap u_2\cap \ldots \cap u_n)\in \mathcal F$, откуда $u_1\cap u_2\cap \ldots \cap u_n\in \Omega$.

3) $X, \varnothing\in \Omega$, поскольку $\varnothing, X\in \mathcal F$;

Таким образом, $\mathcal F$ есть совокупность всех замкнутых множеств топологического пространства $(X, \Omega)$.

Но почему в аксиомах топологического пространства ($X, \Omega$) для $\Omega$ говорится об объединении любого набора множеств и при этом о пересечении любого конечного набора множеств (что обусловливает пересечение соответствующего -- возможно, бесконечного, -- набора множеств и объединение соответствующего конечного набора множеств из $\mathcal F$)?

Если бы не было этого условия, то, по-моему, в топологическом пространстве на $X$ было бы две совершенно симметричные топологии $\Omega$ и $\mathcal F$, и, как я понимаю, это так и есть для конечного $X$.

Почему же существует это условие (для бесконечного $X$?)?

[Anton_Peplov]

Потому что понятие открытого множества в топологии взялось не с потолка. Это обобщение понятия открытого множества в метрических пространствах (в частности, на числовой прямой). А в метрических пространствах открыты в точности объединения открытых шаров плюс пустое множество. В частности, на прямой открыты в точности объединения интервалов $(a, b)$ плюс пустое множество. Формально можно даже не добавлять "плюс пустое множество", а считать его открытым шаром нулевого радиуса (на прямой - интервалом $(a, a)$).

Так вот пересечение бесконечного множества интервалов может оказаться, например, одноточечным множеством (постройте такой пример сами). Оно уже не будет открыто в смысле числовой прямой: невозможно объединить интервалы так, чтобы получить точку.

Вообще, смысл общей топологии в том, чтобы максимально обобщить понятия открытости и непрерывности, наработанные в математическом анализе. Чтобы забрать с собой целый вагон доказанных в анализе красивых теорем, которые будут работать в пространствах, о которых в анализе и не задумывались. Например, теорема о том, что непрерывный образ отрезка есть отрезок, обобщается до теорем, что непрерывный образ компактного множества компактен, а связного - связен. Но обобщение на то и обобщение, что оно должно сохранять силу в своем исходном ареале, иначе исходные теоремы ломаются и никуда не переносятся.

P.S. Пространства, в которых всякое (а не только конечное) пересечение открытых множеств открыто, называются пространствами наименьших окрестностей (вопрос для Вас - почему?). Это довольно бедный и скучный класс пространств. Почему бедный и скучный, Вы поймёте, когда доберётесь до аксиом отделимости.

-- 21.07.2023, 02:06 --

P.P.S. Вообще, изучив новое опредение или теорему по общей топологии, сразу же примеряйте ее к прямой и плоскости с канонической топологией. Многое станет нагляднее и понятнее. Советую не ограничиваться прямой, а примерять ещё и на плоскость: прямая одномерна и поэтому довольно бедна. Плоскость лучше иллюстрирует общетопологические утверждения.

[Vladimir Pliassov]

Anton_Peplov в сообщении #1601820 писал(а):

пересечение бесконечного множества интервалов может оказаться, например, одноточечным множеством (постройте такой пример сами)

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty \Big(-\frac {1}{n}; \frac {1}{n}\Big).$$

Anton_Peplov в сообщении #1601820 писал(а):

Оно уже не будет открыто в смысле числовой прямой: невозможно объединить интервалы так, чтобы получить точку.

Понятно, спасибо! Значит, возможно пересечение бесконечного числа открытых множеств, которое не является открытым множеством, но всякое объединение бесконечного числа открытых множеств является открытым множеством.

И при этом и пересечение, и объединение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.

Anton_Peplov в сообщении #1601820 писал(а):

P.S. Пространства, в которых всякое (а не только конечное) пересечение открытых множеств открыто, называются пространствами наименьших окрестностей (вопрос для Вас - почему?).

Пока не могу ответить на этот вопрос, надеюсь дойти до этого позже.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1601821 писал(а):

Пока не могу ответить на этот вопрос, надеюсь дойти до этого позже.

Подумайте, как можно было бы определить "наименьшую окрестность" точки в топологическом пространстве. И каким должно быть топологическое пространство, чтобы такая "наименьшая окрестность" обязательно существовала.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1601820 писал(а):

Вообще, смысл общей топологии в том, чтобы максимально обобщить понятия открытости и непрерывности, наработанные в математическом анализе. Чтобы забрать с собой целый вагон доказанных в анализе красивых теорем, которые будут работать в пространствах, о которых в анализе и не задумывались.

У меня сложилось другое впечатление. По-моему, это теоремы о непрерывности в анализе возможны потому что есть топология. Т.е. имхо топология не просто абстрактнее этой части анализа, она логически первичнее (а это важнее). Здесь конечно можно возразить, мол, анализ был, когда еще топологии в помине не было, но на это мой аргумент будет такой же, как на алгебру и категории: категории действительно появились позже алгебры, но (на мой взгляд) единственная причина, почему алгебра является развитой теорией - это потому что в категориях все хорошо. Просто артефакт истории: логически первичные вещи часто не являются первичными исторически.

А про то, почему от открытых множеств требуется любое объединение и только конечное пересечение - так это потому что определение топологии такое себе. Топологию нужно определять через оператор замыкания Куратовского, и этот вопрос сразу же отпадет.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1601870 писал(а):

Топологию нужно определять через оператор замыкания Куратовского, и этот вопрос сразу же отпадет.

Кстати, горячо поддержу это мнение (я сам об этом говорил вот здесь: topic110798.html ).
Всегда делаю именно так на своих лекциях по общей топологии для студентов.

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1601821 писал(а):

Пока не могу ответить на этот вопрос, надеюсь дойти до этого позже.

Аналогия из алгебры. Теорема. Любое пересечение подгрупп группы $G$ само есть подгруппа группы $G$. Вопрос: что такое наименьшая подгруппа над множеством $A \subset G$? Ответив на этот вопрос, определите наименьшую окрестность точки по аналогии.

EminentVictorians в сообщении #1601870 писал(а):

У меня сложилось другое впечатление. По-моему, это теоремы о непрерывности в анализе возможны потому что есть топология. Т.е. имхо топология не просто абстрактнее этой части анализа, она логически первичнее (а это важнее).

Это уже вопрос не для ПРР. Так что давайте не будем развивать оффтоп и сбивать ТС с толку. Ему пока рано вникать в такие дискуссии.

EminentVictorians в сообщении #1601870 писал(а):

Топологию нужно определять через оператор замыкания Куратовского, и этот вопрос сразу же отпадет.

Mikhail_K в сообщении #1601875 писал(а):

Кстати, горячо поддержу это мнение (я сам об этом говорил вот здесь: topic110798.html ).

Тоже вариант. Vladimir Pliassov, Вам может быть полезно ознакомиться с таким определением топологии. Это взгляд на то же самое с другого угла. Стереоскопический эффект всегда дает более полную картину. А уж какой угол удобнее - вопрос вкуса, хоть каждый и считает, что его вкус самый правильный.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1601839 писал(а):

Подумайте, как можно было бы определить "наименьшую окрестность" точки в топологическом пространстве. И каким должно быть топологическое пространство, чтобы такая "наименьшая окрестность" обязательно существовала.

Это должно быть во всяком случае не $\mathbb R$, потому, что в $\mathbb R$ не может быть наименьшей окрестности. Это должно быть одно из пространств, которые составляют

Anton_Peplov в сообщении #1601820 писал(а):

довольно бедный и скучный класс пространств

При этом это должно быть пространство с бесконечными $X$ и $\Omega$ (потому что речь идет о пересечении бесконечного набора открытых множеств).

Если множество $X$ упорядочено, то оно должно быть таким, чтобы в нем были пары точек, между которыми нет точек, тогда может найтись такая точка $a$, что точки, ближайшие к ней, составляют ее наименьшую окрестность.

Если же оно не упорядочено, например, если его точки расположены на плоскости (и при этом не все они находятся на одной и той же прямой или кривой), то не должно быть точек, ближайших к выбранной точке по расстоянию.

Что же это может быть за пространство?

https://www.math.stonybrook.edu/~oleg/e ... s-book.pdf, стр. 20:

Цитата:

Замкнутость и открытость — во многом аналогичные свойства. Фундаментальное различие между ними состоит в том, что пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязательно открыто, тогда как пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто, а объединение бесконечного набора замкнутых множеств не обязательно замкнуто, тогда как объединение любого набора открытых множеств открыто.

Здесь сказано: "пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязательно открыто", но, как я понимаю, пересечение бесконечного набора открытых множеств все же может быть открыто. Пытаюсь найти пример такого пересечения, но все еще не нашел. Может он быть из $\mathbb R$?

Anton_Peplov в сообщении #1601879 писал(а):

Аналогия из алгебры. Теорема. Любое пересечение подгрупп группы $G$ само есть подгруппа группы $G$. Вопрос: что такое наименьшая подгруппа над множеством $A \subset G$? Ответив на этот вопрос, определите наименьшую окрестность точки по аналогии.

В это пытаюсь вникнуть.

EminentVictorians в сообщении #1601870 писал(а):

логически первичные вещи часто не являются первичными исторически.

Да!

Про оператор замыкания Куратовского посмотрел, но, кажется, это для меня рано, надеюсь вернуться к нему позже.

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1601895 писал(а):

но, как я понимаю, пересечение бесконечного набора открытых множеств все же может быть открыто. Пытаюсь найти пример такого пересечения, но все еще не нашел. Может он быть из $\mathbb R$?

Такие вещи строятся "от результата". Постройте бесконечную систему открытых в $\mathbb R$ множеств, пересечение которой есть $(0, 1)$. Подсказка: открытое множество есть объединение интервалов, но не обязательно интервал.

[KhAl]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1601820 писал(а):

Почему бедный и скучный, Вы поймёте, когда доберётесь до аксиом отделимости.

Сами Вы бедный и скучный! https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_topological_space

[Anton_Peplov]

(KhAl)

Останусь при мнении, что всякое пространство без первой аксиомы отделимости довольно скучное. Не в том смысле, что банальное - как раз таки такие пространства очень экзотичны. Но польза от этой экзотики в основном в том, чтобы служить контрпримером к дурацким гипотезам, возникающим у студентов при изучении топологии.

О. Арефьева писал(а):

Зажигание взглядом, движенье предметов -
Это фокусы, чтоб развлекать детей,
Соблазнять девиц, вдохновлять поэтов
И для прочих нелепых пред Смертью затей.

Топология Зарисского - и та уважает первую аксиому отделимости, хоть и, ужас-ужас, отвергает вторую.

А если таки потребовать первой аксиомы отделимости, то пространство наименьших окрестностей превращается в дискретное. Что может быть нелепее дискретной топологии? Когда всякая функция непрерывна, нет никакой пользы от непрерывности - она больше не маркирует хорошие, годные функции в массе негодных и плохих.

[Vladimir Pliassov]

Anton_Peplov в сообщении #1601899 писал(а):

Постройте бесконечную систему открытых в $\mathbb R$ множеств, пересечение которой есть $(0, 1)$. Подсказка: открытое множество есть объединение интервалов, но не обязательно интервал.

Пусть каждая точка $a$ интервала $(0, 1)$ будет пределом последовательности вложенных интервалов

$$\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big) \;\; n=\overline {1, \infty}.$$

Для каждого фиксированного $n$ возьмем объединение

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big),$$

тогда

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1).$$