Подумайте, как можно было бы определить "наименьшую окрестность" точки в топологическом пространстве. И каким должно быть топологическое пространство, чтобы такая "наименьшая окрестность" обязательно существовала.
Это должно быть во всяком случае не
, потому, что в
не может быть наименьшей окрестности. Это должно быть одно из пространств, которые составляют
довольно бедный и скучный класс пространств
При этом это должно быть пространство с бесконечными
и
(потому что речь идет о пересечении бесконечного набора открытых множеств).
Если множество
упорядочено, то оно должно быть таким, чтобы в нем были пары точек, между которыми нет точек, тогда может найтись такая точка
, что точки, ближайшие к ней, составляют ее наименьшую окрестность.
Если же оно не упорядочено, например, если его точки расположены на плоскости (и при этом не все они находятся на одной и той же прямой или кривой), то не должно быть точек, ближайших к выбранной точке по расстоянию.
Что же это может быть за пространство?
https://www.math.stonybrook.edu/~oleg/e ... s-book.pdf, стр. 20:
Цитата:
Замкнутость и открытость — во многом аналогичные свойства. Фундаментальное различие между ними состоит в том, что пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязательно открыто, тогда как пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто, а объединение бесконечного набора замкнутых множеств не обязательно замкнуто, тогда как объединение любого набора открытых множеств открыто.
Здесь сказано: "пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязательно открыто", но, как я понимаю, пересечение бесконечного набора открытых множеств все же может быть открыто. Пытаюсь найти пример такого пересечения, но все еще не нашел. Может он быть из
?
Аналогия из алгебры. Теорема. Любое пересечение подгрупп группы
само есть подгруппа группы
. Вопрос: что такое наименьшая подгруппа над множеством
? Ответив на этот вопрос, определите наименьшую окрестность точки по аналогии.
В это пытаюсь вникнуть.
логически первичные вещи часто не являются первичными исторически.
Да!
Про оператор замыкания Куратовского посмотрел, но, кажется, это для меня рано, надеюсь вернуться к нему позже.