p-адические числа и сумма Рамануджана

[Mikhail_K]

B3LYP в сообщении #1601120 писал(а):

Речь о том, как я понимаю, что для корня из двух есть алгоритм, позволяющий сосчитать его с любой заданной точностью.

Вещественному числу не важно, существует или не существует такой алгоритм. Есть вещественные числа, для которых такого алгоритма нет. Просто потому, что вещественных чисел строго больше, чем всех возможных алгоритмов (и тех и других бесконечно много, но это разная бесконечность).

B3LYP в сообщении #1601120 писал(а):

Прошу рассказать ещё, что такое пиадические числа, я пока это совсем не понимаю.

Тогда зачем Вы задаёте про них вопросы? Это всё равно что спрашивать, чему равно $\sin\pi$, не зная при этом, что такое $\sin$ и что такое $\pi$.

Начните с изучения интересующих Вас чисел по какой-нибудь литературе. Если не знаете, с какой литературы начать - посмотрите в Википедии например, там ссылки на литературу есть. Будут конкретные вопросы по прочитанному - задавайте их здесь.

[Slav-27]

$1+2+3+...=-\dfrac1{12}$ не имеет никакого отношения к $p$-адическим числам, или по крайней мере ни в этой теме, ни по вашим ссылкам такая связь не описана.

B3LYP в сообщении #1600471 писал(а):

Но хочу спросить про p-адические числа, я пока не очень понимаю что это такое. Говорят что это числа с бесконечным числом знаков слева от запятой, но мы же не можем бесконечность держать в памяти. Значит речь о каких-то алгоритмах, как их вычислять справа налево?

$p$-адичиские числа бывают вычислимыми и невычислиыми точно так же, как и вещественные. Существование невычислимых чисел следует из теории множеств (множество вещественных чисел более мощно, чем множество алгоритмов), но с пракической точки зрения невычислимых чисел "никто не видел".

(Оффтоп)

Примеры бывают, но только очень неявные, недалеко ушедшие от дурацкого "примера" "я доказал, что невычислимых чисел бесконечно много -- возьми любое". (У одного из примеров по ссылке выписаны несколько первых десятичных цифр, но всё же у любого из этих примеров есть десятичная цифра, которую вычислить уже нельзя.)

На самом деле понятие вычислимости в этом смысле относится в первую очередь к последовательностям натуральных чисел, а с вещественными или $p$-адическими числами оно связано лишь постольку, поскольку с каждым вещественным или $p$-адическим числом связана последовательность его цифр.

B3LYP в сообщении #1601120 писал(а):

Речь о том, как я понимаю, что для корня из двух есть алгоритм, позволяющий сосчитать его с любой заданной точностью. А для пиадических чисел есть подобные алгоритмы, кроме банального вроде (312).0?

Для $p$-адического квадратного корня из двух, конечно, есть (для каждого $p$, для которого такой корень существует), например, можно использовать алгоритм, аналогичный одному из алгоритмов для вычисления вещественного квадратного корня из двух.

B3LYP в сообщении #1600471 писал(а):

Ещё раз хочу спросить: пытаются ли какие-то математики рассуждать, в чём разница между числами 3.(9) и 4.(0)?

Когда-то пытались, потом в 19 веке придумали теорию вещественных чисел (даже несколько эквивалентных теорий), в рамках которой обе записи имеют однозначный смысл; эта теория с тех пор стала общепринятой. Поэтому сейчас рассуждать не о чем: в рамках этой общепринятой теории разница между двумя данными записями совершенно понятная и по существу такая же, как между $2+2$ и $1+3$.

Можно, впрочем, придумывать новые теории, которые соответствуют некоторым интуитивным человеческим представлениям о числе и в которых тоже определено разложение в бесконечные десятичные дроби. Этим математики иногда занимаются, ничего плохого в этом нет, но и применений в других областях науки (ни где-либо ещё) эти теории почему-то не находят.

[Евгений Машеров]

B3LYP в сообщении #1600471 писал(а):

Но хочу спросить про p-адические числа, я пока не очень понимаю что это такое. Говорят что это числа с бесконечным числом знаков слева от запятой, но мы же не можем бесконечность держать в памяти.

Вот статья в "Кванте", для начала.
http://kvant.mccme.ru/1979/02/2--adicheskie_chisla.htm
Впрочем, есть и Википедия, а в ней ссылки.
Во всяком случае, это не "числа с бесконечным числом знаков справа от запятой", хотя некоторые p -адические числа таким свойством обладают. То есть это частное свойство некоторых таких чисел, неправомерно обобщённые Вами (или, скорее, сообщившим этот "факт" Вам популяризатором).
И вот тут ответ на вопрос "отчего тут не любят философов". Оттого, что, не владея материалом в полном объёме, господин философ (титул "господин" мне кажется уместным, поскольку философ полагает свою область деятельности высшей сравнительно с конкретными науками) выхватывает какой-то частный факт, "обобщает" его и строит на нём выводы, сколь всеобъемлющие, столь безосновательные.

[Евгений Машеров]

Что до вывода указанной суммы через p-адические числа, возможно, такой и есть, хотя мне не знаком, или это недопонимание автора науч-попа. Сама сумма была получена Раманужаном (не вполне строго) с применением математики почти школьного уровня, а строгий вывод - через дзета-функцию.
Эвристическое рассуждение Раманужана состояло в сопоставлении данного ряда $1+2+3+4+\cdots$ с похожим на него $1-2+3-4+\cdots$
Последний можно рассматривать, как ряд вида $1-x+x^2-x^3+x^4+\cdots$ при $x=1$. Но этот ряд является разложением $\frac 1 {(x+1)^2}$, а эта функция при $x=1$ принимает значение $\frac 1 4 $ (что тоже контринтуитивно, но не настолько, как отрицательная сумма положительных чисел)
Если присвоить исходному ряду натуральных чисел обозначение суммы s, умножить ряд на 4 и вычитать первый элемент учетверённого ряда из второго исходного, второй из четвёртого, третий из шестого и т.д., получим ряд $1-2+3-4+\cdots$, и придём к соотношению $s-4s=\frac 1 4 $ или $s=-\frac 1 {12}$
Нестрогость этого рассуждения в том, что переставлять члены расходящихся рядов, вообще говоря, нельзя, и это не доказательство, а "догадки и напрямки" (А.Н.Толстой, "Детство Никиты"). Однако исходя из него, уже можно видеть, куда копать, и получить строгое доказательство (но уже куда более сложным аппаратом - аналитическое продолжение, регуляризация... Может, и с p-адическими числами есть, но я его не знаю).
Но не доказательство того, что, суммируя последовательные целые положительные числа, мы получим отрицательную дробь, а того, что некий инструмент работы с рядами, для краткости именуемый "сумма" (и в простейшем случае, когда сумма ряда существует, равный этой сумме) может быть использован, даже если ряд расходится. Скажем, некий важный ряд (сходящийся, сумма заведомо есть, в самом обычном смысле слова) удаётся выразить, как произведение двух рядов, и сумма искомого ряда есть произведение их сумм. Но один или оба эти ряда - расходящиеся. И может оказаться, что в качестве суммы расходящегося ряда, полученной каким-то из методов суммирования таких рядов, можно получить число, которое, подставленное в произведение, позволит найти сумму искомого ряда.
Возможно, есть резон вообще отказаться от именования суммой, а заимствовать термин anlimit.

(Оффтоп)

Правда, тогда уйдёт привкус сенсационности - ну и "икс, игрек, свёртка по u" с ним!

[B3LYP]

Евгений Машеров в сообщении #1601178 писал(а):

Но не доказательство того, что, суммируя последовательные целые положительные числа, мы получим отрицательную дробь, а того, что некий инструмент работы с рядами, для краткости именуемый "сумма" (и в простейшем случае, когда сумма ряда существует, равный этой сумме) может быть использован, даже если ряд расходится. Скажем, некий важный ряд (сходящийся, сумма заведомо есть, в самом обычном смысле слова) удаётся выразить, как произведение двух рядов, и сумма искомого ряда есть произведение их сумм. Но один или оба эти ряда - расходящиеся. И может оказаться, что в качестве суммы расходящегося ряда, полученной каким-то из методов суммирования таких рядов, можно получить число, которое, подставленное в произведение, позволит найти сумму искомого ряда.

Хотелось бы теперь узнать про эффект Казимира, как в его описании используется эта "сумма", насколько корректно её называть суммой.

[Geen]

B3LYP в сообщении #1601284 писал(а):

Хотелось бы теперь узнать про эффект Казимира

Вам как, прямо с самого начала рассказывать? Или можно считать, что ЛЛ (весь, целиком) Вы уже знаете?

[Евгений Машеров]

0. Расходящиеся ряды - это математика. Эффект Казимира - это физика. Рассматривать в данном подфоруме применение расходящихся рядов в физических расчётах законно, но собственно физические вопросы лучше задавать в надлежащем.
Кроме того, по этому вопросу лучше обратиться не ко мне. Компетентному я объяснять не стану из риска опозориться по незнанию, некомпетентному тем более не стану, из риска опозориться не в качестве невежды, а в качестве жулика.
1. Эффект Казимира не следует из существования данного выражения для суммы расходящегося ряда. Оно появляется в физическом расчёте, как расчётный приём. Получить эту сумму можно, воспользовавшись регуляризацией, и законность такого действия пытаются обосновать именно из физических соображений.
https://en.wikiversity.org/wiki/Quantum_mechanics/Casimir_effect_in_one_dimension#cite_ref-2
3. p-адические числа находят применение в физике, но какое они имеют отношение к данной сумме, мне неизвестно. То же и по отношению их связи с эффектом Казимира.
4. Интерес к "наукам вообще" похвален, но только если переходит в работу в области соответствующей науки. Порхание, яко бабочка, "сбирая научно-популярный нектар", решительно бесполезно.

[Dedekind]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1601333 писал(а):

4. Интерес к "наукам вообще" похвален, но только если переходит в работу в области соответствующей науки. Порхание, яко бабочка, "сбирая научно-популярный нектар", решительно бесполезно.

Весьма спорное мнение, нужно сказать:)

[Sdy]

B3LYP в сообщении #1600377 писал(а):

Вот ещё интересно: какие-нибудь математики пытались описать, есть ли разница между числами 10 и 9.(9)? Или считается что это фигня/псевдонаука?

B3LYP в сообщении #1600471 писал(а):

Ещё раз хочу спросить: пытаются ли какие-то математики рассуждать, в чём разница между числами 3.(9) и 4.(0)?

Вы создаёте тему в дискуссионном разделе (Математика), где по правилам форума люди знающие математику и могущие по этой причине о ней дискутировать, собственно говоря, общаются на одном уровне. И в то же время вы в этой теме задаёте вопросы, на которые дают ответ на первом курсе института на лекции по математическому анализу. Для меня, как для читателя, это, конечно, некоторый диссонанс.

B3LYP в сообщении #1600471 писал(а):

Но хочу спросить про p-адические числа, я пока не очень понимаю что это такое.

Почему бы просто не сесть с книгой по основаниям математики, например книгой Ландау и не разобраться для начала с простыми вещами -- натуральными числами, целыми числами, рациональными числами, если повезет вещественными. И только потом уже разбираться как рациональные числа пополнять до p-адических чисел. Вы ведь всё равно сейчас ничего не поймёте (судя по тому как упорно вы игнорируете комментарии о кардинальном различии суммы с конечным числом слагаемых и суммы бесконечного числа слагаемых), как бы вам это не пытались объяснить.

[Mikhail_K]

Евгений Машеров в сообщении #1601333 писал(а):

Интерес к "наукам вообще" похвален, но только если переходит в работу в области соответствующей науки.

Категорически не соглашусь. Особенно странно слышать это от эрудита и активного участника "Своей игры". Очевидно, что Ваши собственные интересы далеко выходят за рамки Вашей работы. В каких-то областях Вы профессионал, а в каких-то, наверняка, довольствуетесь "научно-популярным нектаром".

[Ende]

B3LYP
Если хотите понять, что такое $p$-адические числа, создайте тему в ПРР(М). Но предварительно почитайте про них что-нибудь популярное (ссылку на $2$-адические числа на выше давали) и задайте конкретный вопрос.
Если хотите понять, что такое эффект Казимира, создайте тему в ПРР(Ф). В стартовом сообщении изложите, что по этой теме Вам известно и где начинается непонимание.
Темы формата "я не знаю вообще ничего, расскажите мне все с самого начала" на этом форуме не приветствуются.

Еще меньше приветствуются темы формата "я нахватался умных слов, которых не понимаю, сцепил их в голове случайным образом и получилась вот такая идея, давайте ее обсудим". Если Вы не знаете и не понимаете, ни что такое эффект Казимира, ни что такое $p$-адические числа, Вам рано выдвигать гипотезы о том, как одно связано с другим.

Поскольку в Вашем послужном списке уже есть предупреждение и недельный бан за абсурдные гипотезы, настоятельно рекомендую прислушаться к моим словам. Иначе послужной список продолжится.

Эта тема закрыта.