4-D пространство

[LLeonid3]

Посмотрел тему "Графическое представление тензора" и вспомнил, как решал проблему о вращении в четырёхмерном пространстве вокруг одной из осей и до сих пор не знаю правильно-ли представление, что нужно вращать вокруг двух осей, тогда на двух плоскостях проекции получается движение по окружности, а на двух других движение параллельно оси.
Попытки программной визуализации представлены в архиве на Яндекс-диске
https://disk.yandex.ru/d/4xeUTmSrM5tG6Q

[svv]

А в чём та проблема заключается?

[LLeonid3]

svv, проблема в возникающем противоречии (может лишь у меня) в расчёте координат при вращении точки $A_0(x,y,z,w)$
Например: вращаем точку $A_0(1,1,1,1)$ вокруг оси $w$ на угол $+20^o$ и получаем новые координаты $A_1$. Ось $w$ перпендикулярна плоскостям ($x,y$), ($x,z$) и ($y,z$).
В плоскости $x,y$ при движении по окружности координата $x$ уменьшается, а координата $y$ увеличивается.
В плоскости $x,z$ координата $x$ по предыдущему решению должна уменьшаться и при движении по окружности координата $z$ увеличивается.
В плоскости $y,z$ получается, что обе координаты увеличиваются и движение не по окружности вокруг оси $w$, но по прямой
См. рисунок https://disk.yandex.ru/i/LlPSBfGayE3hDQ
В тех шутках, что выложены в первом посте, вращение рассчитывал одновременно вокруг двух осей и сомневаюсь в правильности такого подхода.

[Geen]

LLeonid3 в сообщении #1597665 писал(а):

вращаем точку $A_0(1,1,1,1)$ вокруг оси $w$ на угол $+20^o$

Это что за действие такое?

LLeonid3 в сообщении #1597665 писал(а):

получаем новые координаты $A_1$.

То, что Вы описываете далее, не является вращением.

Вообще, вращение это не "вокруг оси", вращение это "в плоскости".

[Doctor Boom]

LLeonid3 в сообщении #1597665 писал(а):

Например: вращаем точку $A_0(1,1,1,1)$ вокруг оси $w$ на угол $+20^o$ и получаем новые координаты $A_1$. Ось $w$ перпендикулярна плоскостям ($x,y$), ($x,z$) и ($y,z$).

Можно выделить бесконечно много плоскостей вращения, но опорные две (остальные комбинация вроде)

[LLeonid3]

Geen, спасибо!
Т. е. если вращение происходит в плоскости параллельной плоскости по осям $x, y$, то проекция на неё и будет дугой окружности, на остальных четырёх, содержащих или ось $x$, или ось $y$ проекции будут представлены прямыми, а на шестой плоскости по осям $z, w$ изменений не произойдёт.
А вращение в произвольной плоскости нужно разложить на все шесть плоскостей и просуммировать результаты.
Правильно я понял?

[Geen]

LLeonid3 в сообщении #1597713 писал(а):

вращение в произвольной плоскости нужно разложить на все шесть плоскостей

Зачем?

LLeonid3 в сообщении #1597713 писал(а):

просуммировать результаты

Вообще, суммирование, обычно, подразумевает коммутативность... у Вас повороты коммутируют?

[svv]

LLeonid3 в сообщении #1597713 писал(а):

Т. е. если вращение происходит в плоскости параллельной плоскости по осям $x, y$, то проекция на неё и будет дугой окружности, на остальных четырёх, содержащих или ось $x$, или ось $y$ проекции будут представлены прямыми, а на шестой плоскости по осям $z, w$ изменений не произойдёт.

Это можно ещё описать так. В некоторой системе декартовых координат точка $(x,y,z,w)$ в результате вращения переходит в точку $(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde w). Причём координаты $x,y$ изменяются как при вращении двумерной плоскости
$\begin{array}{l}\tilde x=x\cos\alpha-y\sin\alpha\\\tilde y=x\sin\alpha+y\cos\alpha\end{array}$
А координаты $z, w$ точки не меняются:
$\begin{array}{l}\tilde z=z\\\tilde w=w\end{array}$

Это — так называемое простое вращение. Но далеко не все вращения в четырёхмерном пространстве таковы! Т.е. они не всегда оставляют неподвижной некоторую двумерную плоскость, как $zw$ выше. В общем случае неподвижной плоскости нет. Зато для данного вращения всегда можно найти такую декартову систему координат, что вращение «распадётся» на два простых — на угол $\alpha$ в плоскости $xy$ и на угол $\beta$ в плоскости $zw$:
$\begin{array}{l}\tilde x=x\cos\alpha-y\sin\alpha\\\tilde y=x\sin\alpha+y\cos\alpha\\\tilde z=z\cos\beta-w\sin\beta\\\tilde w=z\sin\beta+w\cos\beta\end{array}$
И вот эти два простых вращения уже коммутируют, т.е. результат не зависит от их порядка. В частных случаях один или оба угла $\alpha,\beta$ могут быть равны нулю (в Вашем примере $\beta=0$).

Подчеркну, что сначала выбирается вращение, а потом под него подбирается система координат. Произвольное вращение в произвольной декартовой системе (даже с «правильным» началом) не будет иметь такого вида.

Возможность такого разложения следует из свойства ортогональных матриц:

Цитата:

Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида
$(\pm 1)$ и $\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.$

[LLeonid3]

svv в сообщении #1597720 писал(а):

всегда можно найти такую декартову систему координат, что вращение «распадётся» на два простых — на угол $\alpha$ в плоскости $xy$ и на угол $\beta$ в плоскости $zw$:
$\begin{array}{l}\tilde x=x\cos\alpha-y\sin\alpha\\\tilde y=x\sin\alpha+y\cos\alpha\\\tilde z=z\cos\beta-w\sin\beta\\\tilde w=z\sin\beta+w\cos\beta\end{array}$
И вот эти два простых вращения уже коммутируют, т.е. результат не зависит от их порядка.

Доходчиво и замечательно!
Ещё раз спасибо

[diletto]

svv в сообщении #1597720 писал(а):

Это можно ещё описать так. В некоторой системе декартовых координат точка $(x,y,z,w)$ в результате вращения переходит в точку $(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde w). Причём координаты $x,y$ изменяются как при вращении двумерной плоскости
$\begin{array}{l}\tilde x=x\cos\alpha-y\sin\alpha\\\tilde y=x\sin\alpha+y\cos\alpha\end{array}$
А координаты $z, w$ точки не меняются:
$\begin{array}{l}\tilde z=z\\\tilde w=w\end{array}$

Это — так называемое простое вращение. Но далеко не все вращения в четырёхмерном пространстве таковы! Т.е. они не всегда оставляют неподвижной некоторую двумерную плоскость, как $zw$ выше. В общем случае неподвижной плоскости нет.

А можно для совсем неграмотных пояснить, что понимается под вращением (определение), если оно не оставляет неподвижной плоскость?

[svv]

diletto
Движение (расстояния сохраняются), при котором имеется хотя бы одна неподвижная точка (это отсекает случай поступательного движения) и не меняется ориентация базиса (нет отражений).

[Doctor Boom]

svv в сообщении #1597720 писал(а):

Зато для данного вращения всегда можно найти такую декартову систему координат, что вращение «распадётся» на два простых — на угол $\alpha$ в плоскости $xy$ и на угол $\beta$ в плоскости $zw$:
$\begin{array}{l}\tilde x=x\cos\alpha-y\sin\alpha\\\tilde y=x\sin\alpha+y\cos\alpha\\\tilde z=z\cos\beta-w\sin\beta\\\tilde w=z\sin\beta+w\cos\beta\end{array}$

А если мы рассмотрим вращение вокруг четвертой оси $t$, которое в трехмерном сечении $xyz$ имеет вид вращения в некой плоскости $wq$, не совпадающей с базисными плоскостями $xy,yz,xz$, оно тоже такой вид будет иметь?

[Doctor Boom]

Наверное, да, тут просто $\beta=0$, надо систему координат повернуть

[svv]

Как вариант — переименовать $w$ в $x$, а $q$ в $y$.

[diletto]

svv
Спасибо!
Да, и оказывается, в вики 4D вращения расписаны подробно: https://en.wikipedia.org/wiki/Rotations_in_4-dimensional_Euclidean_space