Разбор «парадокса близнецов»
§1
Если опираться на преобразования Лоренца как на аксиомы, то из них строго логически вытекает, что «путешествующий близнец будет выглядеть моложе». Поэтому, разобравшись в вопросе, стоит лишь отбросить психологическую привычку, воспитанную обычным опытом, и не более.
Здесь рассматривается вопрос о том, как правильно, согласуя объяснение с релятивистской теорией пространства-времени, объяснить «парадокс» без ссылки на ускорение одного из близнецов. Такая ссылка часто приводится - при том как качественное рассуждение - для объяснения «парадокса», но на самом деле не может объяснить «парадокс». В самом деле, скорость полёта одного из близнецов может быть сколько угодно малой, например, один метр в секунду, время перехода на обратный путь движущегося близнеца может быть так же сколь угодно малым, например, одна минута. В то же время, различие возрастов для близнецов может составлять годы, в зависимости от длительности промежутка времени, на котором оба близнеца находились в прямолинейном равномерном движении (Близнецов можно считать роботами для того, чтобы они могли функционировать достаточное время).
Каждая инерциальная система отсчёта обладает своей «одновременностью», характерной только для данной системы отсчёта: Если в одной системе отсчёта события одновременны, то в другой системе отсчёта эти же события могут быть неодновременными. События пространства-времени (т.е. элементы теоретико-множественного произведения пространства на время) абсолютны: если событие происходит, то оно происходит во всех системах отсчёта. Но одновременность событий (срез пространства-времени по моменту времени) относительна: меняется от перемены системы отсчёта. «Расписание событий», «порядок» их меняется от перехода из одной инерциальной системы отсчёта в другую. Соответственно, необходимо поменять и «порядок логической рефлексии» происходящих событий тогда, когда, сделав выводы в системе отсчёта «покоящегося» близнеца, переходим в систему отсчёта «путешествующего». Парадокс возникает тогда, когда «порядок рефлексии» не меняется.
§2
Пусть
– время и место «рождения» близнецов U и S, в пространственно-временных координатах систем отсчёта K, K’ и K’’ соответственно. Близнец S тот час же отравляется в путешествие так, что сначала движется с системой отсчёта K’ (так, чтобы оставаться относительно неё в покое), скорость которой равна
относительно K, а затем, возвращается домой, оставаясь в покое относительно системы отсчёта K’’, скорость которой равна
относительно K. Начала пространственно-временных координат всех систем отсчёта совпадают в пространственно-временном нуле. K считается «покоящейся» системой отсчёта. Считаем, что до момента
(по часам K) близнец S путешествует с системой K’, а после момента
(по часам K) S путешествует с K’’.
В каждый момент времени (по часам любой из систем отсчёта), пусть, близнец U передаёт в системы K’ и K” фотографии своего состояния (биологического возраста) в то место, где находится в этих системах отсчёта соответственно. Близнец S, пусть, передаёт фотографии в систему отсчёта K. Для этого, заранее, в системах отсчёта K, K’, K’’ расставлены наблюдатели, непрерывно заполняющие пространство и покоящиеся относительно соответствующих систем отсчёта. Близнец U считается «оставшимся»: находящимся в пространственной точке
в K в любой момент времени по часам K.
Вывод о возрасте близнецов, подсчитываемый с точки зрения U известен, и таков, что биологический возраст «путешествующего» близнеца после возвращения окажется меньше, чем «оставшегося». Поэтому, будем мысленно путешествовать не только с близнецом U, но и с близнецом S, и на основании переданных фотографий от U непрерывно следить за возрастом обоих близнецов, сначала, в системе отсчёта K’, а затем, после пересадки, в системе отсчёта K’’. Т.е. в дальнейшем будем рассуждать и так, как рассуждают «во второй части парадокса близнецов», опираясь исключительно на аксиомы (преобразования) Лоренца.
Скорость света считаем = 1.
= гамма-фактор.
– время и место пересадки близнеца S из системы отсчёта K’ в K’’, выраженные в системе отсчёта K.
– время и место пересадки наблюдателя S с точки зрения системы отсчёта K’.
– биологический возраст S в момент пересадки.
Из приведённых значений извлекается рассуждение «первой части парадокса близнецов», т.е. рассуждение о возрасте близнецов с точки зрения U. Действительно, расставленные непрерывно в системе отсчёта K наблюдатели, покоящиеся в K, в момент
по часам K примут фотографию, говорящую о биологическом возрасте S как о величине
. Из симметрии между прямым и обратным путём близнеца S, получаемой обращением направления времени, биологический возраст S в момент встречи близнецов будет
, в то же время, для U пройдёт время
. Видно так же, что к моменту пересадки близнец S остался в пространственном нуле системы отсчёта K’, т.е. двигался вместе с K’.
С другой стороны, видно неравноправие близнецов. В каждой системе отсчёта один близнец движется относительно другого с одинаковой по модулю скоростью
, но временные интервалы, между расставанием и моментом пересадки, не одинаковы: различаются для систем отсчёта близнецов. С точки зрения системы отсчёта K близнец S пересаживается из K’ в K’’ через время
, а с точки зрения системы отсчёта K’ близнец S пересаживается из K’ в K’’ через время
, начиная с события расставания. Т.е. расстояния от S до U в разных системах отсчёта в момент пересадки не будут одинаковыми. Конечно, симметрия между близнецами остаётся, но она отлична от симметрии классической механики.
– время и место пересадки S с точки зрения системы отсчёта K’’.
В момент
близнец U в пространственно-временных координатах системы отсчёта K’’ находится в пространственной точке
, куда и передаёт фотографию о своём биологическом возрасте
, переживаемом U и измеряемом в системе K. Через фотографии, или как-то иначе, этот возраст наблюдается и в системах отсчётов K’ и K’’ в каждой пространственно-временной точке, где находится U. Тогда,
.
И так как
, то
.
– расстояние между U и S в системе отсчёта K’’ в момент
.
В системе отсчёта K’’ близнец U приближается к S со скоростью
. Поэтому, в K’’ близнец U будет приближаться к S, начиная с момента пересадки и заканчивая встречей близнецов, время равное
по часам K’’.
Интервал времени, прошедший в K с момента передачи фотографии с возрастом
до момента встречи с S, у наблюдателя U будет равно
. Действительно, из преобразований Лоренца вытекает, что в K время будет замедляться по отношению к времени
, прошедшему в K’’, в
раз. Чтобы установить это рассуждаем в точности так же, как и в «первой части парадокса близнецов», «меняя местами» близнецов, и в качестве нуля в пространстве-времени выбрав встречу близнецов.
В итоге:
– при подсчёте возраста U в K’’ по фотографиям к моменту встречи;
- возраст, переживаемый S в K’’ к моменту встречи.
В системе отсчёта K подсчёт дал тот же результат.
§3
В момент времени
по часам системы отсчёта K’, когда S пересаживается в другую систему отсчёта, близнец U, по координатам K’, находится в точке
и передаёт информацию, фото о своём биологическом возрасте
, измеряемом и переживаемом в K. Фото это передаётся в пространственной точке, удалённой от точки, где находится в этот момент S. Тогда:
.
Следовательно,
. Таким образом, при переходе S из системы отсчёта K’ в K’’ происходит скачок в восприятии возраста U этими системами отсчёта в целом от величины
до величины
– в момент перехода, как считают наблюдатели в этих системах отсчёта. Рассмотрим, процесс скачка в деталях.
Пусть все наблюдатели в K’ одновременно по часам K’ переходят в систему отсчёта K’’ в момент перехода S. В том числе, это делает и тот наблюдатель P, который получил в K’ фотографию с биологическим возрастом U равным
. По часам K’’ процесс развивается так, что сначала в K’’ переходит наблюдатель P, а затем, по прошествии какого-то времени, в K’’ переходит S. Т.е. события перехода в K’’ оказываются неодновременными. Следовательно, фотография с возрастом
устареет. Из-за этого и скачок. При этом S не может установить тривиальную связь с наблюдателем P, и не получит парадокс такого рода, что «только что S переходил вместе с P в другую систему отсчёта одновременно, и тут же оказывается, что и не одновременно». Поскольку, P удалён в пространстве от S, и так или иначе, эти наблюдатели могут связываться только посредством сигналов. Для U при восприятии возраста S такого скачка не происходит.
§4
Таким образом, если непрерывно проследить всю цепь событий, как с точки зрения наблюдателя U, так и с точки зрения наблюдателя S, пользуясь строго только преобразованиями Лоренца, то никакого парадокса нет.
Причина, из-за которой возникает неравноправие близнецов как будто бы ускользающая. Однако анализ других парадоксов позволяет увидеть, что причины, по которым принимаются многие физические постулаты, например, постулаты классической механики, не менее ускользающие.
Рассмотрим для примера парадокс Маха: известный парадокс о вращающемся ведре с водой. Причины, из-за которых ведро следует считать «вращающимся» или «не вращающимся», весьма ускользающие. Вероятнее, что именно физик, стоящий на «классических» позициях, будет отстаивать неравноправие систем отсчёта в этом случае. Хотя, возможно, не поверит в подобное неравноправие в случае «парадокса близнецов». Парадокс Маха на самом деле носит глубинный логический характер: По какому критерию можно сказать, что ведро вращается? Пусть, скажем, известно только то, что вода отклоняется соответствующим образом. Это означает, что ведро вращается?...
С точки зрения логиков, ситуация более ясная: выполнена одна аксиома и не выполнена другая. Т.е. по одной из аксиом, вода в ведре не отклоняется для некоторых систем отсчёта, и отклоняется для других. Хотя, по другой аксиоме, вода могла бы не отклоняться для любых систем отсчёта, или отклоняться для тех систем отсчёта, для которых не отклоняется по одной из аксиом. Аксиомы независимы, т.е. одна причина не влечёт другую. Парадокс Маха – «парадокс неопределённой аксиомы» – возникает от одновременного возникновения в сознании весьма естественных альтернатив. Ясно, что разрешение вопроса лежит через опыт.
Аналогичная ситуация с «парадоксом близнецов». Если следовать строго логике, то необходимо, не меньше чем изменить «порядок физической рефлексии» в соответствии с аксиомами. И поэтому, из аксиом Лоренца невозможно вывести противоречие. Остальное – суть вопросы философии и психологии, т.е. почему выполнен этот мир, а не другой. В частности, по-видимому, стоит обратить внимание на то, что совокупность событий, заполняющая пространство-время, образует собой нечто единое, т.е. события в каком-то смысле неотделимы друг от друга, не могут существовать в изоляции.
Интересно исследовать подобное «изменение порядка рефлексии» в математике. Одновременность физических событий интуитивно соответствует логической одновременности в математической теории, т.е. конъюнкции. Нельзя ли так изменить порядок рефлексии в математической теории, что та или иная конъюнкция уже не будет выполнена, или будет выполнена, или изменит свой смысл? Кажется, здесь есть, что искать.