Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?

[vekos]

Поскольку данный материал изучается в школе в обязательном порядке, то есть — для всех будущих и физиков и лириков, я позволил себе небольшое отступление от исключительной математической строгости изложения, добавив совсем чуть-чуть литературной приправы, которая должна помочь и лирикам разобраться в достаточно несложном для физиков материале.

Если у вас хорошая зрительная память и вы не лишены некоторой способности к математическому мышлению, то наверняка помните самое непонятное и странное из школьного курса геометрии. Речь идет о рисунке с запоминающимся названием: «Чертова лестница».



Это метод исчерпывания (бесконечного приближения), открытый в античные времена, доказывающий равенство объемов двух пирамид с равновеликими основаниями и одинаковыми высотами. В конечном итоге эта лемма позволяет строго доказать, что:

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту (1).

Можно использовать для вывода этой формулы и интегральное исчисление.

В формулировке своей III проблемы Гильберт, опираясь на письма Гаусса Кристиану Герлингу, ставит вопрос:

Можно ли отказаться от предельного перехода в выводе формулы объема треугольной пирамиды и ограничиться только методом равносоставленности.

Первым ответ дал Макс Ден, и ответ этот отрицательный. Сегодня III проблема Гильберта считается окончательно закрытой.

А если математикам просто не повезло в поиске доказательства формулы (1) без перехода к пределу? (именно так ставит вопрос в своей книжке «Третья проблема Гильберта» В.Болтянский). Эта проблема всегда, начиная с античных времен и вплоть до наших дней, рассматривалась в свете взаимоотношения исключительно двух объектов — треугольных призмы и пирамиды.

Сейчас мы сделаем дерзкий шаг и усложним задачу — добавим еще одну призму в качестве объекта и посмотри, что из этого выйдет. Ведь иногда усложнение исходных условий может приводить к упрощению процесса решения (вспоминаем Д.Пойа).
Добавим такую треугольную призму, чтобы она, касаясь исходной, образовывала бы параллелепипед. Замечаем, что в этом случае она должна быть симметрична имеющейся призме, и поэтому будет иметь равный ей объем, что уже достаточно давно доказано без привлечения интегралов и «чертовых лестниц».

Теперь выведем формулу объема треугольной пирамиды — тетраэдра, без традиционного перехода к пределу.
Тетраэдр ABCD - исходный, объем которого надо определить.



Дополним его до параллелепипеда следующим образом: выберем вершину D в качестве основной, а через вершины A, B и C проведем плоскости, параллельные противоположным граням тетраэдра. И продолжим эти грани тетраэдра до пересечения с новыми плоскостями.

Получаем параллелепипед DQ, состоящий из двух симметричных призм. Одна целиком содержит тетраэдр ABCD, вторая его не содержит.

Разделим ребра параллелепипеда AD, CD, BD пополам точками K, L, M соответственно. Через них проведем новые плоскости, параллельные граням параллелепипеда. Получаем параллелепипед DQ, разбитый на восемь конгруэнтных параллелепипедов (элементов), и все они подобны параллелепипеду DQ.

Несложно видеть, что также конгруэнтны тетраэдры AEFK, EBGM и FGCL, которые занимают определенную часть t соответствующих элементов (параллелепипедов AO, BO, CO). Точно в таком же отношении (иначе можно прийти к противоречию) находятся исходный тетраэдр ABCD и параллелепипед DQ, ибо тетраэдры и параллелепипеды соответственно подобны.

Из анализа чертежа также следует, что тетраэдр EGFO не конгруэнтен вышеописанным тетраэдрам, а симметричен им. Однако Герлингу удалось доказать равенство объемов симметричных многогранников при помощи разбиения их на конгруэнтные части.

Итак, объем искомого тетраэдра составлен из объемов следующих многогранников:

$V_{ABCD}=V_{DQ}t=(V_{AEFK}+V_{EBGM}+V_{FGCL})+(V_{DO}-V_{EGFO})$

Примем объем элемента за единицу.

Тогда: $8t=3t+(1-t)$

Откуда: $t=\frac{1}{6}$

То есть, любой тетраэдр занимает $\frac{1}{6}$ часть объема параллелепипеда, имеющего с ним общие вершину и выходящие из нее три ребра. Вспоминая, что параллелепипед составлен из двух симметричных призм одинакового объема, а так же, что площадь основания тетраэдра ABD составляет половину от верхней плоскости параллелепипеда, получаем искомое:

Объем тетраэдра равен трети объема призмы, имеющей с тетраэдром общие основание и высоту, что и требовалось доказать.

Несложно заметить, что ребра построенного параллелепипеда DQ можно разбивать на любое число k одинаковых отрезков и, используя Метод послойного разбиения, прийти к аналогичному результату. Только процесс построения в этом случае будет несколько более сложным и менее наглядным.

Мы с вами получили не совсем ординарное доказательство, которое просто обязано быть критически проанализировано профессионалами и, особенно, – специалистами по аксиоматике.

[Geen]

vekos в сообщении #1594550 писал(а):

Добавим такую треугольную призму, чтобы она, касаясь исходной, образовывала бы параллелепипед.

Можно этот момент подробнее, а то я в количестве вершин, видимо, путаюсь...

[vekos]

Перерисовал старый рисунок:



К треугольной призме ABDMNC пристыковываем вторую призму APBMQN. Площадь их соединения ABNM выделена красным цветом по периметру.
В сумме они образуют параллелепипед DQ.
Зеленый тетраэдр не входит в состав исходного тетраэдра ABCD, поэтому в сумму объемов многогранников в приведенной формуле он входит со знаком минус.

[vpb]

vekos в сообщении #1594550 писал(а):

А если математикам просто не повезло в поиске доказательства формулы (1) без перехода к пределу?

Там суть не в переходе к пределу, а в использовании того, что объем многогранника всегда положителен.

Т.е. вопрос такой. Объем многогранников обладает свойствами
1) аддитивность, т.е сумма объемов двух многогранников, имеющих лишь общие грани, равна объему их объединения;
2) инвариантность относительно движений, т.е. равные многогранники имеют одинаковые объемы;
3) положительность: объем любого могогранника, имеющего внутренние точки (т.е. не лежащего в одной плоскости), положителен.

И хорошо известно, как доказать формулу для объема тетраэдра, исходя из этих трех свойств (" чертова лестница"). И вопрос: а можно ли это сделать, не пользуясь положительность ? Ответ: нет.

И вы,правда, доказываете эту формулу, не пользуясь положительностью. Зато вы используете другое: если два тетраэдра подобны с коэффициентом $2$, то их объемы соотносятся как $8:1$. А это из свойств 1) и 2) вовсе не следует !

[vekos]

vpb в сообщении #1594572 писал(а):

И вы,правда, доказываете эту формулу, не пользуясь положительностью. Зато вы используете другое: если два тетраэдра подобны с коэффициентом $2$, то их объемы соотносятся как $8:1$. А это из свойств 1) и 2) вовсе не следует !

Спасибо за внимательное прочтение.
Вы правы, большой тетраэдр не составляется из маленьких тетраэдров, не может быть заполнен ими. Это я знаю и вроде бы никак не использую.

Я использую две другие достаточно очевидные вещи:

Любой параллелепипед легко заполняется меньшими параллелепипедами, и их число равно $K^3$, где K - число одинаковых частей каждого ребра исходного. У меня K=2, хотя можно взять и другое число. Визуальное восприятие чертежа будет только менее наглядным.

И второе. Проведение секущей плоскости ABC отсекает от параллелепипеда какую-то часть его объема, которую я обозначил t.
И принял, что эта величина не зависит от размеров самого параллелепипеда, главное чтобы он был всегда подобен исходному. В противном случае имеем парадокс — Гулливер бы очень удивился в стране лилипутов, что них совершенно другое t, отличное от его страны.

[vpb]

vekos в сообщении #1594603 писал(а):

И принял, что эта величина не зависит от размеров самого параллелепипеда, главное чтобы он был всегда подобен сходному

На каком основании Вы это приняли --- непонятно. Короче, та же история, как с двухтысячелетними попытками "доказать" пятый постулат Евклида.

[vekos]

На основании обычной человеческой логики.
Представьте — от любого параллелепипеда отрезаем плоскостью ABC тетраэдр в духе приведенного доказательства и обозначаем отношение объема тетраэдра к объему параллелепипеда любой буквой любого алфавита.

Увеличим это построение параллелепипед-тетраэдр с сохранением подобия в миллион раз — отношение сохранится.
Уменьшим его с сохранением подобия в миллион раз — отношение сохранится.
Я с трудом могу представить иное.

Но если Вы приведете хотя бы один пример, опровергающий сохранение отношения, я немедленно с Вами соглашусь.
А если не приведете, то придется Вам согласиться со мной.

И еще. Попробуйте увидеть "красоту доказательства" (не мои слова, мне их прислали в виде обычного бумажного письма).
Еще раз смотрим на чертеж: тетраэдр, отсекаемый от любого параллелепипеда, заполняется вдвое меньшими подобными параллелепипедами, от которых секущая плоскость тетраэдра отсекает четыре меньших тетраэдра, три из которых входят в в исходный тетраэдр, а последний, симметричный к ним, не входит, оставляя в тетраэдре отрезанную часть малого параллелепипеда. И везде властвует отношение t.
При делении ребер параллелепипеда на три, четыре и более частей начинают появляться числа треугольника Паскаля. Поближе ознакомиться с этим можно здесь https://dxdy.ru/topic154097.html или, более подробно, тут https://shock-hakov.livejournal.com/774.html

[Aritaborian]

vekos в сообщении #1594657 писал(а):

На основании обычной человеческой логики.

Шатко.

[vpb]

Это не логика, а апелляция к наглядным представлениям, которые математиков много раз подводили. Само занятие мне представляется совершенно аналогичным доказыванию пятого постулата. Извините, но вынужден попрощаться.

[vpb]

vekos в сообщении #1594550 писал(а):

обязано быть критически проанализировано профессионалами и, особенно, – специалистами по аксиоматике.

P.S. К слову говоря, вот я и есть профессионал, и к тому же специалист по аксиоматике геометрии (во всяком случае в рамках нашего форума, в чем вы можете при желании убедиться, полистав форум.). Мое мнение см. выше.

[StepV]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1594693 писал(а):

я и есть профессионал, и к тому же специалист по аксиоматике геометрии

Обращаюсь к вам, как к специалисту, с просьбой: посмотрите мою тему о первом постулате Евклида.
Это https://dxdy.ru/topic150755.html
Я не нашел литературы, которая бы рассматривала подобные вопросы. В теме тоже никто не смог посоветовать что-то конкретное (если не считать совета по аксиоматике Гильберта). Может быть у вас есть на примете литература, в которой разбирают подобные задачи. И очень интересно ваше мнение о теме, как профессионала.

[vekos]

Aritaborian в сообщении #1594691 писал(а):

vekos в сообщении #1594657 писал(а):

На основании обычной человеческой логики.

Шатко.

Попробую доказать чуть строже.

Чтобы знать размер объекта, его надо с чем-то сравнивать. В подобии мы сравниваем исходный объект с ним же после преобразования подобия (изменение расстояния между любыми двумя его точками в k раз).
А почему бы не сравнивать исходный объект не с самим собой после преобразования, а с чем-то другим, например с каким-либо отрезком длины 1 или 2.
И если отношение длин отрезков 1 и 2 равно k, то преобразование подобия сведется просто к замене эталона измерения при неизменном исходном объекте. Очевидно, что отношение объемов тетраэдра и параллелепипеда останется при этом неизменным.

Не будем же мы настаивать на том, что при увеличении объекта вследствие преобразования подобия в нем увеличилось количество внутренних точек ))

[vekos]

Пролистал свой древний архив с перепиской на старой квартире. Оказывается, не один vpb заметил, что в доказательстве я использую утверждение:

Если два тетраэдра подобны с коэффициентом 2, то их объемы соотносятся как 8:1 (1)

Нашел письмо от одного эксперта, где он говорит то же самое. Только апеллирует он не к пятому постулату Евклида, а к весьма логичному утверждению: невозможно, чтобы такое простое доказательство не было бы обнаружено в течение двух тысячелетий после Евклида.
И оба делают одинаковый вывод — доказательство не интересно, ибо где-то скрыт подводный камень и в качестве такового приводят утверждение (1).

Мозг человека является очень интересным устройством: если он (человек) уверен в какой-то основополагающей личной идее, то любые мелкие с его точки зрения факты, противоречащие ей, отметаются как несущественные, неинтересные для более подробного анализа. Так психологи говорят.

Не понимаю, где можно увидеть восьмерку в таком простом доказательстве, относящуюся к тетраэдру? Максимум, что могу предположить, это использование цифры 8 в формуле:

$8t=3t+(1-t)$ (2)

Но эта восьмерка не имеет отношения к объемам тетраэдров!

Еще раз смотрим на чертеж:

Параллелепипед разделен понятным из чертежа способом на восемь конгруэнтных (одинаковых, вдвое меньших) параллелепипедов, подобных исходному. Вот здесь мы и утверждаем: два в кубе равно восьми. Это справедливо для куба и для параллелепипеда, но нельзя прямо использовать для тетраэдра и треугольной призмы, ибо они не могут состоять из меньших, подобных им, многогранников.
Вот откуда в формуле (2) возникает восьмерка.

Еще раз распишем эту, оказавшуюся неожиданно сложной, часть доказательства подробнее:
Обозначим объем малого параллелепипеда (их всего восемь) — $V_m$. Тогда объем большого параллелепипеда $V_{DQ}=8V_m$.

Исходный тетраэдр состоит из следующих объемов: три малых тетраэдра и малый параллелепипед без такого же тетраэдра, но симметричного.

$V_{ABCD}=(V_{AEFK}+V_{EBGM}+V_{FGCL})+(V_{DO}-V_{EGFO})$

Предполагая (ниже докажем), что отношение объема тетраэдра и параллелепипеда (обозначенное далее t), при преобразовании подобия не изменяется, можем написать следующее:

$8V_mt=3V_mt+(V_m-V_mt)$

Сокращая все на $V_m$, получаем искомое:

$t=\frac{1}{6}$

Про использование подобия еще раз.
Мы использовали недоказанное утверждение, что отношение объема тетраэдра к объему параллелепипеда, в котором он выделен, не зависит от преобразования подобия.
Сейчас докажем это.

Предположим, что это не так, и какая-то часть внутренних точек тетраэдра при преобразовании подобия переходит в точки оставшейся части параллелепипеда, т.е. нарушается отношение их объемов.
Выберем из этих переходящих точек тетраэдра любую, пусть это будет точка $A_0$.
Опустим из нее перпендикуляр на плоскость ABC, разделяющую рассматриваемые объемы, получим точку $A_1$. Продолжим перпендикуляр за точку $A_0$ в сторону от плоскости ABC, не выходя за пределы тетраэдра. Получим точку $A_2$.
Так вот, преобразование подобия одним из следствий утверждает, что порядок точек при любом преобразовании не меняется.
Таким образом точка $A_0$ никогда не сможет перейти по другую сторону плоскости АВС.
Аналогично доказывается, что ни одна из точек с другой стороны плоскости не может перейти в тетраэдр.

Следовательно, отношение объемов рассматриваемых многогранников при преобразовании подобия не меняется и мы имеем право использовать данный факт в нашем доказательстве.

[vekos]

Требование перпендикулярности отрезка $A_0A_1$ к плоскости ABC излишне, поскольку основное определение подобия позволяет сделать выбор любой пары точек, расстояние между которыми при преобразовании подобия изменяется с коэффициентом k.
Если первую точку $A_0$ мы выбираем среди определенных (по предположению переходящих через плоскость ABC), то вторая — $A_1$ может быть любой из состава точек плоскости ABC.
Точку $A_2$ выбираем как и ранее, продолжив прямую $A_1A_0$ за точку $A_0$.
Поскольку порядок трех точек на прямой $A_1A_2$ при преобразовании подобия не меняется, то точка $A_0$ всегда будет находиться внутри тетраэдра.

[vekos]

vekos в сообщении #1594657 писал(а):

А почему бы не сравнивать исходный объект не с самим собой после преобразования, а с чем-то другим, например с каким-либо отрезком длины 1 или 2.
И если отношение длин отрезков 1 и 2 равно k, то преобразование подобия сведется просто к замене эталона измерения при неизменном исходном объекте. Очевидно, что отношение объемов тетраэдра и параллелепипеда останется при этом неизменным.

Обозначения отрезков выбрал крайне неудачными. Так обозначил их на рисунке, а потом решил его не вставлять в текст.
Лучше их обозначить p и q. Причем отрезок p неизменяемый, который определяет исходный размер объекта (выделенный тетраэдр в параллелепипеде), а отрезок q — изменяемый по отношению к p в k раз.
В результате объект, неизменный по отношению к p, изменяется по отношению к q в k раз, что эквивалентно выполнению над ним операции преобразования подобия, хотя сам объект остается неизменным. Очевидно, что отношение объема тетраэдра к объему параллелепипеда при этом не меняется.