Метод разложения n-куба на слои n-кубиков

[vekos]

Обнаружена возможность послойного разбиения n-куба вдоль его главной диагонали на слои составляющих его n-кубиков.

Для двухмерного пространства:



Рис.1 Половина квадрата разложена на слои квадратиков

$ \frac{4^2}2=1+2+3+\frac{1}2{4} $

Целые числа показывают количество квадратиков в каждом слое, а дробь $\frac12$ – коэффициент разрезания квадратиков последнего слоя.

Для 3D:



Рис.2 Одна шестая куба разложена на слои кубиков

$ \frac{5^3}6=1+3+6+\frac{5}6{10}+\frac{1}6{15} $

Целые числа показывают количество кубиков в каждом слое, которые тесно связаны с числами треугольника Паскаля, а дроби $\frac56$ и $\frac16$ – коэффициенты разрезания предпоследнего и последнего слоев.

Для любого nD разложение n-куба на слои n-кубиков аналогично, причем сечение размерности (n-1)D всегда разрезает (n-1) слоев n-кубиков, что хорошо показывают рис.1 и рис.2 для 2D и 3D соответственно.
Для каждого nD существует свой набор коэффициентов разрезания n-кубиков, которые очень удобно разместились на треугольнике Паскаля.



Рис.3 Треугольник Паскаля с коэффициентами разрезания n-кубиков

Вычисление коэффициентов для любого nD несложно и начинается с разрезания первого слоя, состоящего из одного n-кубика, для которого коэффициент равен $\frac1{n!}$ .
Второй коэффициент вычисляется из анализа двух слоев n-кубиков и так далее.

$ \frac{4^3}6=1+3+\frac{5}6{6}+\frac{1}6{10}$

$ \frac{6^4}{24}=1+4+10+\frac{23}{24}{20}+\frac{12}{24}{35}+ \frac{1}{24}{56}$

Эти числовые примеры показаны на рис.3, где выделены штриховыми линиями.

Если рис.1 обычен и понятен, то рис.2 достаточно психологически непрост.

Предложенный метод послойного разбиения позволяет по-новому взглянуть на особенности строения n-кубов и их представление в виде слоев n-кубиков.

[vekos]

Возник вопрос при обсуждении данной темы чуть ранее https://dxdy.ru/topic153766.html - поскольку сечением 4-куба является правильный тетраэдр, то из каких 3D элементов он состоит?
Я не сильно интересовался этим ранее, помню только, что он был заполнен правильными тетраэдрами и октаэдрами.

Вот сегодняшние рассуждения.
Разрежем первый слой 4-куба, состоящий всего из одного 4-кубика. Сечение 3D будет состоять в этом случае из одного правильного тетраэдра.

Теперь разрежем два слоя 4-куба:

$\frac{2^4}{24}=\frac{12}{24}{1}+\frac{1}{24}{4}$

Сечение в этом случае будет состоять из пяти элементов: четырех тетраэдров и одного октаэдра. Причем никакого выделенного направления в секущем тетраэдре быть не должно, поэтому выбираем единственно возможный вариант:



Четыре тетраэдра размещены в каждой вершине секущего тетраэдра (светлый цвет), а в середине его – один октаэдр (темный цвет).

Теперь попробуем разрезать три слоя 4-куба:

$\frac{3^4}{24}=\frac{23}{24}{1}+\frac{12}{24}{4}+\frac{1}{24}{10}$

Сечение в этом случае будет состоять из пятнадцати элементов: одиннадцати тетраэдров и четырех октаэдров.
Один тетраэдр будет находиться в центре секущего тетраэдра, ко всем его четырем граням будут примыкать четыре октаэдра, а остальные 10 тетраэдров окажутся снаружи, образуя все четыре грани большого тетраэдра.



Считаем – четыре тетраэдра расположены в четырех углах большого тетраэдра и еще шесть находятся в середине каждого его ребра. Четыре октаэдра выделены по-прежнему темным цветом и мы наблюдаем только часть их наружных граней. Центральный маленький тетраэдр не виден ни с какой стороны большого тетраэдра.

Разрезание 4-куба 4x4x4x4 арифметически выглядит так:

$\frac{4^4}{24}=1+\frac{23}{24}{4}+\frac{12}{24}{10}+\frac{1}{24}{20}$

Один маленький 4-кубик останется неразрезанным, а сечение 3D – правильный тетраэдр – будет состоять из 4-х тетраэдров в центре, далее – слой из 10-ти октаэдров и расположение 20-ти тетраэдров снаружи завершает построение секущего тетраэдра.
Так должно быть, однако размещение четырех тетраэдров в центре секущего тетраэдра с необходимой симметрией в 3D у меня категорически не получается. Обязательно лезет в это построение октаэдр, как на первом рисунке чуть выше.
Ничего не понимаю, ибо этот октаэдр оказывается лишним арифметически.
Может кто укажет на ошибку?

[vekos]

Ошибку нашел самостоятельно. Всем спасибо, ибо ларчик открывался еще проще, чем представлялось в начале.