2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение20.05.2023, 20:39 


12/08/22
34
Поскольку данный материал изучается в школе в обязательном порядке, то есть — для всех будущих и физиков и лириков, я позволил себе небольшое отступление от исключительной математической строгости изложения, добавив совсем чуть-чуть литературной приправы, которая должна помочь и лирикам разобраться в достаточно несложном для физиков материале.

Если у вас хорошая зрительная память и вы не лишены некоторой способности к математическому мышлению, то наверняка помните самое непонятное и странное из школьного курса геометрии. Речь идет о рисунке с запоминающимся названием: «Чертова лестница».

Изображение

Это метод исчерпывания (бесконечного приближения), открытый в античные времена, доказывающий равенство объемов двух пирамид с равновеликими основаниями и одинаковыми высотами. В конечном итоге эта лемма позволяет строго доказать, что:

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту (1).

Можно использовать для вывода этой формулы и интегральное исчисление.

В формулировке своей III проблемы Гильберт, опираясь на письма Гаусса Кристиану Герлингу, ставит вопрос:

Можно ли отказаться от предельного перехода в выводе формулы объема треугольной пирамиды и ограничиться только методом равносоставленности.

Первым ответ дал Макс Ден, и ответ этот отрицательный. Сегодня III проблема Гильберта считается окончательно закрытой.

А если математикам просто не повезло в поиске доказательства формулы (1) без перехода к пределу? (именно так ставит вопрос в своей книжке «Третья проблема Гильберта» В.Болтянский). Эта проблема всегда, начиная с античных времен и вплоть до наших дней, рассматривалась в свете взаимоотношения исключительно двух объектов — треугольных призмы и пирамиды.

Сейчас мы сделаем дерзкий шаг и усложним задачу — добавим еще одну призму в качестве объекта и посмотри, что из этого выйдет. Ведь иногда усложнение исходных условий может приводить к упрощению процесса решения (вспоминаем Д.Пойа).
Добавим такую треугольную призму, чтобы она, касаясь исходной, образовывала бы параллелепипед. Замечаем, что в этом случае она должна быть симметрична имеющейся призме, и поэтому будет иметь равный ей объем, что уже достаточно давно доказано без привлечения интегралов и «чертовых лестниц».

Теперь выведем формулу объема треугольной пирамиды — тетраэдра, без традиционного перехода к пределу.
Тетраэдр ABCD - исходный, объем которого надо определить.

Изображение

Дополним его до параллелепипеда следующим образом: выберем вершину D в качестве основной, а через вершины A, B и C проведем плоскости, параллельные противоположным граням тетраэдра. И продолжим эти грани тетраэдра до пересечения с новыми плоскостями.

Получаем параллелепипед DQ, состоящий из двух симметричных призм. Одна целиком содержит тетраэдр ABCD, вторая его не содержит.

Разделим ребра параллелепипеда AD, CD, BD пополам точками K, L, M соответственно. Через них проведем новые плоскости, параллельные граням параллелепипеда. Получаем параллелепипед DQ, разбитый на восемь конгруэнтных параллелепипедов (элементов), и все они подобны параллелепипеду DQ.

Несложно видеть, что также конгруэнтны тетраэдры AEFK, EBGM и FGCL, которые занимают определенную часть t соответствующих элементов (параллелепипедов AO, BO, CO). Точно в таком же отношении (иначе можно прийти к противоречию) находятся исходный тетраэдр ABCD и параллелепипед DQ, ибо тетраэдры и параллелепипеды соответственно подобны.

Из анализа чертежа также следует, что тетраэдр EGFO не конгруэнтен вышеописанным тетраэдрам, а симметричен им. Однако Герлингу удалось доказать равенство объемов симметричных многогранников при помощи разбиения их на конгруэнтные части.

Итак, объем искомого тетраэдра составлен из объемов следующих многогранников:

$V_{ABCD}=V_{DQ}t=(V_{AEFK}+V_{EBGM}+V_{FGCL})+(V_{DO}-V_{EGFO})$

Примем объем элемента за единицу.

Тогда: $8t=3t+(1-t)$

Откуда: $t=\frac{1}{6}$

То есть, любой тетраэдр занимает $\frac{1}{6}$ часть объема параллелепипеда, имеющего с ним общие вершину и выходящие из нее три ребра. Вспоминая, что параллелепипед составлен из двух симметричных призм одинакового объема, а так же, что площадь основания тетраэдра ABD составляет половину от верхней плоскости параллелепипеда, получаем искомое:

Объем тетраэдра равен трети объема призмы, имеющей с тетраэдром общие основание и высоту, что и требовалось доказать.

Несложно заметить, что ребра построенного параллелепипеда DQ можно разбивать на любое число k одинаковых отрезков и, используя Метод послойного разбиения, прийти к аналогичному результату. Только процесс построения в этом случае будет несколько более сложным и менее наглядным.

Мы с вами получили не совсем ординарное доказательство, которое просто обязано быть критически проанализировано профессионалами и, особенно, – специалистами по аксиоматике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение20.05.2023, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4676
vekos в сообщении #1594550 писал(а):
Добавим такую треугольную призму, чтобы она, касаясь исходной, образовывала бы параллелепипед.

Можно этот момент подробнее, а то я в количестве вершин, видимо, путаюсь...

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение21.05.2023, 01:49 


12/08/22
34
Перерисовал старый рисунок:

Изображение

К треугольной призме ABDMNC пристыковываем вторую призму APBMQN. Площадь их соединения ABNM выделена красным цветом по периметру.
В сумме они образуют параллелепипед DQ.
Зеленый тетраэдр не входит в состав исходного тетраэдра ABCD, поэтому в сумму объемов многогранников в приведенной формуле он входит со знаком минус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение21.05.2023, 06:21 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
vekos в сообщении #1594550 писал(а):
А если математикам просто не повезло в поиске доказательства формулы (1) без перехода к пределу?

Там суть не в переходе к пределу, а в использовании того, что объем многогранника всегда положителен.

Т.е. вопрос такой. Объем многогранников обладает свойствами
1) аддитивность, т.е сумма объемов двух многогранников, имеющих лишь общие грани, равна объему их объединения;
2) инвариантность относительно движений, т.е. равные многогранники имеют одинаковые объемы;
3) положительность: объем любого могогранника, имеющего внутренние точки (т.е. не лежащего в одной плоскости), положителен.

И хорошо известно, как доказать формулу для объема тетраэдра, исходя из этих трех свойств (" чертова лестница"). И вопрос: а можно ли это сделать, не пользуясь положительность ? Ответ: нет.

И вы,правда, доказываете эту формулу, не пользуясь положительностью. Зато вы используете другое: если два тетраэдра подобны с коэффициентом $2$, то их объемы соотносятся как $8:1$. А это из свойств 1) и 2) вовсе не следует !

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение21.05.2023, 14:05 


12/08/22
34
vpb в сообщении #1594572 писал(а):
И вы,правда, доказываете эту формулу, не пользуясь положительностью. Зато вы используете другое: если два тетраэдра подобны с коэффициентом $2$, то их объемы соотносятся как $8:1$. А это из свойств 1) и 2) вовсе не следует !

Спасибо за внимательное прочтение.
Вы правы, большой тетраэдр не составляется из маленьких тетраэдров, не может быть заполнен ими. Это я знаю и вроде бы никак не использую.

Я использую две другие достаточно очевидные вещи:

Любой параллелепипед легко заполняется меньшими параллелепипедами, и их число равно $K^3$, где K - число одинаковых частей каждого ребра исходного. У меня K=2, хотя можно взять и другое число. Визуальное восприятие чертежа будет только менее наглядным.

И второе. Проведение секущей плоскости ABC отсекает от параллелепипеда какую-то часть его объема, которую я обозначил t.
И принял, что эта величина не зависит от размеров самого параллелепипеда, главное чтобы он был всегда подобен исходному. В противном случае имеем парадокс — Гулливер бы очень удивился в стране лилипутов, что них совершенно другое t, отличное от его страны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение21.05.2023, 14:20 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
vekos в сообщении #1594603 писал(а):
И принял, что эта величина не зависит от размеров самого параллелепипеда, главное чтобы он был всегда подобен сходному
На каком основании Вы это приняли --- непонятно. Короче, та же история, как с двухтысячелетними попытками "доказать" пятый постулат Евклида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение21.05.2023, 20:42 


12/08/22
34
На основании обычной человеческой логики.
Представьте — от любого параллелепипеда отрезаем плоскостью ABC тетраэдр в духе приведенного доказательства и обозначаем отношение объема тетраэдра к объему параллелепипеда любой буквой любого алфавита.

Увеличим это построение параллелепипед-тетраэдр с сохранением подобия в миллион раз — отношение сохранится.
Уменьшим его с сохранением подобия в миллион раз — отношение сохранится.
Я с трудом могу представить иное.

Но если Вы приведете хотя бы один пример, опровергающий сохранение отношения, я немедленно с Вами соглашусь.
А если не приведете, то придется Вам согласиться со мной.

И еще. Попробуйте увидеть "красоту доказательства" (не мои слова, мне их прислали в виде обычного бумажного письма).
Еще раз смотрим на чертеж: тетраэдр, отсекаемый от любого параллелепипеда, заполняется вдвое меньшими подобными параллелепипедами, от которых секущая плоскость тетраэдра отсекает четыре меньших тетраэдра, три из которых входят в в исходный тетраэдр, а последний, симметричный к ним, не входит, оставляя в тетраэдре отрезанную часть малого параллелепипеда. И везде властвует отношение t.
При делении ребер параллелепипеда на три, четыре и более частей начинают появляться числа треугольника Паскаля. Поближе ознакомиться с этим можно здесь https://dxdy.ru/topic154097.html или, более подробно, тут https://shock-hakov.livejournal.com/774.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение22.05.2023, 01:49 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
vekos в сообщении #1594657 писал(а):
На основании обычной человеческой логики.
Шатко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение22.05.2023, 01:59 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
Это не логика, а апелляция к наглядным представлениям, которые математиков много раз подводили. Само занятие мне представляется совершенно аналогичным доказыванию пятого постулата. Извините, но вынужден попрощаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение22.05.2023, 03:09 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
vekos в сообщении #1594550 писал(а):
обязано быть критически проанализировано профессионалами и, особенно, – специалистами по аксиоматике.
P.S. К слову говоря, вот я и есть профессионал, и к тому же специалист по аксиоматике геометрии (во всяком случае в рамках нашего форума, в чем вы можете при желании убедиться, полистав форум.). Мое мнение см. выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение22.05.2023, 12:27 
Аватара пользователя


23/05/20
396
Беларусь

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1594693 писал(а):
я и есть профессионал, и к тому же специалист по аксиоматике геометрии


Обращаюсь к вам, как к специалисту, с просьбой: посмотрите мою тему о первом постулате Евклида.
Это https://dxdy.ru/topic150755.html
Я не нашел литературы, которая бы рассматривала подобные вопросы. В теме тоже никто не смог посоветовать что-то конкретное (если не считать совета по аксиоматике Гильберта). Может быть у вас есть на примете литература, в которой разбирают подобные задачи. И очень интересно ваше мнение о теме, как профессионала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение22.05.2023, 21:27 


12/08/22
34
Aritaborian в сообщении #1594691 писал(а):
vekos в сообщении #1594657 писал(а):
На основании обычной человеческой логики.
Шатко.
Попробую доказать чуть строже.

Чтобы знать размер объекта, его надо с чем-то сравнивать. В подобии мы сравниваем исходный объект с ним же после преобразования подобия (изменение расстояния между любыми двумя его точками в k раз).
А почему бы не сравнивать исходный объект не с самим собой после преобразования, а с чем-то другим, например с каким-либо отрезком длины 1 или 2.
И если отношение длин отрезков 1 и 2 равно k, то преобразование подобия сведется просто к замене эталона измерения при неизменном исходном объекте. Очевидно, что отношение объемов тетраэдра и параллелепипеда останется при этом неизменным.

Не будем же мы настаивать на том, что при увеличении объекта вследствие преобразования подобия в нем увеличилось количество внутренних точек ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение02.06.2023, 20:24 


12/08/22
34
Пролистал свой древний архив с перепиской на старой квартире. Оказывается, не один vpb заметил, что в доказательстве я использую утверждение:

Если два тетраэдра подобны с коэффициентом 2, то их объемы соотносятся как 8:1 (1)

Нашел письмо от одного эксперта, где он говорит то же самое. Только апеллирует он не к пятому постулату Евклида, а к весьма логичному утверждению: невозможно, чтобы такое простое доказательство не было бы обнаружено в течение двух тысячелетий после Евклида.
И оба делают одинаковый вывод — доказательство не интересно, ибо где-то скрыт подводный камень и в качестве такового приводят утверждение (1).

Мозг человека является очень интересным устройством: если он (человек) уверен в какой-то основополагающей личной идее, то любые мелкие с его точки зрения факты, противоречащие ей, отметаются как несущественные, неинтересные для более подробного анализа. Так психологи говорят.

Не понимаю, где можно увидеть восьмерку в таком простом доказательстве, относящуюся к тетраэдру? Максимум, что могу предположить, это использование цифры 8 в формуле:

$8t=3t+(1-t)$ (2)

Но эта восьмерка не имеет отношения к объемам тетраэдров!

Еще раз смотрим на чертеж:

Изображение


Параллелепипед разделен понятным из чертежа способом на восемь конгруэнтных (одинаковых, вдвое меньших) параллелепипедов, подобных исходному. Вот здесь мы и утверждаем: два в кубе равно восьми. Это справедливо для куба и для параллелепипеда, но нельзя прямо использовать для тетраэдра и треугольной призмы, ибо они не могут состоять из меньших, подобных им, многогранников.
Вот откуда в формуле (2) возникает восьмерка.

Еще раз распишем эту, оказавшуюся неожиданно сложной, часть доказательства подробнее:
Обозначим объем малого параллелепипеда (их всего восемь) — $V_m$. Тогда объем большого параллелепипеда $V_{DQ}=8V_m$.

Исходный тетраэдр состоит из следующих объемов: три малых тетраэдра и малый параллелепипед без такого же тетраэдра, но симметричного.

$V_{ABCD}=(V_{AEFK}+V_{EBGM}+V_{FGCL})+(V_{DO}-V_{EGFO})$


Предполагая (ниже докажем), что отношение объема тетраэдра и параллелепипеда (обозначенное далее t), при преобразовании подобия не изменяется, можем написать следующее:

$8V_mt=3V_mt+(V_m-V_mt)$


Сокращая все на $V_m$, получаем искомое:

$t=\frac{1}{6}$


Про использование подобия еще раз.
Мы использовали недоказанное утверждение, что отношение объема тетраэдра к объему параллелепипеда, в котором он выделен, не зависит от преобразования подобия.
Сейчас докажем это.

Изображение


Предположим, что это не так, и какая-то часть внутренних точек тетраэдра при преобразовании подобия переходит в точки оставшейся части параллелепипеда, т.е. нарушается отношение их объемов.
Выберем из этих переходящих точек тетраэдра любую, пусть это будет точка $A_0$.
Опустим из нее перпендикуляр на плоскость ABC, разделяющую рассматриваемые объемы, получим точку $A_1$. Продолжим перпендикуляр за точку $A_0$ в сторону от плоскости ABC, не выходя за пределы тетраэдра. Получим точку $A_2$.
Так вот, преобразование подобия одним из следствий утверждает, что порядок точек при любом преобразовании не меняется.
Таким образом точка $A_0$ никогда не сможет перейти по другую сторону плоскости АВС.
Аналогично доказывается, что ни одна из точек с другой стороны плоскости не может перейти в тетраэдр.

Следовательно, отношение объемов рассматриваемых многогранников при преобразовании подобия не меняется и мы имеем право использовать данный факт в нашем доказательстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение04.06.2023, 12:23 


12/08/22
34
Требование перпендикулярности отрезка $A_0A_1$ к плоскости ABC излишне, поскольку основное определение подобия позволяет сделать выбор любой пары точек, расстояние между которыми при преобразовании подобия изменяется с коэффициентом k.
Если первую точку $A_0$ мы выбираем среди определенных (по предположению переходящих через плоскость ABC), то вторая — $A_1$ может быть любой из состава точек плоскости ABC.
Точку $A_2$ выбираем как и ранее, продолжив прямую $A_1A_0$ за точку $A_0$.
Поскольку порядок трех точек на прямой $A_1A_2$ при преобразовании подобия не меняется, то точка $A_0$ всегда будет находиться внутри тетраэдра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Сообщение04.06.2023, 13:35 


12/08/22
34
vekos в сообщении #1594657 писал(а):
А почему бы не сравнивать исходный объект не с самим собой после преобразования, а с чем-то другим, например с каким-либо отрезком длины 1 или 2.
И если отношение длин отрезков 1 и 2 равно k, то преобразование подобия сведется просто к замене эталона измерения при неизменном исходном объекте. Очевидно, что отношение объемов тетраэдра и параллелепипеда останется при этом неизменным.
Обозначения отрезков выбрал крайне неудачными. Так обозначил их на рисунке, а потом решил его не вставлять в текст.
Лучше их обозначить p и q. Причем отрезок p неизменяемый, который определяет исходный размер объекта (выделенный тетраэдр в параллелепипеде), а отрезок q — изменяемый по отношению к p в k раз.
В результате объект, неизменный по отношению к p, изменяется по отношению к q в k раз, что эквивалентно выполнению над ним операции преобразования подобия, хотя сам объект остается неизменным. Очевидно, что отношение объема тетраэдра к объему параллелепипеда при этом не меняется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group