Да, серьезная задача. Это не жук на скатерть начхал (вольный перевод с английского); но ничего, кое-что выяснить удалось. Назовем "зелеными" для краткости суммы двух взаимно простых квадратов. Поскольку
![$x^2 \equiv -1 \pmod {y^2}$ $x^2 \equiv -1 \pmod {y^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/6/15657b41e600c3c179023c017bb0664f82.png)
,
![$y^2$ $y^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/c/78c9c8b66beb94081ec0e836309fe39482.png)
— зеленое. Более того,
![$y^2$ $y^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/c/78c9c8b66beb94081ec0e836309fe39482.png)
— нечетное зеленое, так как
![$x^2+1$ $x^2+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/6/166cd087a440e670eb7ba08e6a4f359782.png)
не делится на
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
тоже зеленое. Выяснить, не является ли данное
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
исключением (четный период) иного способа нет, кроме как посчитать количество знаков разложения
![$\sqrt{A}$ $\sqrt{A}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/0/dc0fd24d7ac718533dd1ce20cfa2e4c782.png)
(чтобы узнать вкус пудинга... и т.д.) Но можно попробовать упорядочить зеленые, и начать лучше как раз с "правильных" (нечетный период). Наименьший
![$y=5.$ $y=5.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/7/8371d2346bc0bb7734852a0bf280b6f082.png)
Найдем
![$x^2 \equiv -1 \pmod {5^2}=7^2,$ $x^2 \equiv -1 \pmod {5^2}=7^2,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/3/e73cf221ef2d06ca603db8271d9db9a382.png)
и перепишем наше уравнение так:
![$\dfrac{7^2+1}{5^2}=2.$ $\dfrac{7^2+1}{5^2}=2.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/9/c39cf992fcae69d4a6faa5be6794f03982.png)
Теперь ничто не мешает взять
![$7 \pmod {5^2}$ $7 \pmod {5^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/0/56001d01f8a3c3b432c5ef436c58b1b982.png)
и получить последовательность
![$$\dfrac{(7+25n)^2+1}{5^2}=2,41,130,269,458,697,...$$ $$\dfrac{(7+25n)^2+1}{5^2}=2,41,130,269,458,697,...$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/6/4d6eaecaccc0db1af4bf8131653eebb782.png)
Нечетные периоды разложения членов такой последовательности содержат одинаковое количество знаков и отличаются друг от друга только последним знаком. Значит, можем брать зеленые игреки по возрастанию и строить от каждого подобные последовательности, перечислив таким способом на некотором участке числовой прямой все "правильные"
![$A.$ $A.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/3/0934df6f84bd3081594a8ad70aaba3c782.png)
Которые сюда не вошли — суть исключения. Но на практике действовать по остаточному принципу — не очень хороший выход. Четный период разложения "неправильные" зеленые все же имеют. Значит, можем выбрать
![$y^2$ $y^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/c/78c9c8b66beb94081ec0e836309fe39482.png)
(уже не обязательно зеленый), найти для него квадрат сравнимый с единицей и завести подобную процедуру, выискивая в последовательности "зеленые члены". Но тут возникает масса тонкостей. Во-первых периоды из одного знака. Строго говоря, они нечетные, но маленькие периоды были описаны выше явной формулой, и во избежание путаницы лучше ей и ограничится. Во-вторых четность иксов. Честно сказать, до сих пор я был уверен, что квадрат без единицы (кроме
![$3^2-1=8$ $3^2-1=8$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/e/b2ee15ed67249d89bed25187a13dbc1f82.png)
) содержит в каноническом разложении нечетное простое вида
![$4k+3$ $4k+3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/5/7d55314c2be03f50a7a9541b74fa21fb82.png)
в нечетной степени. Но это верно только для четных квадратов, иначе и проблемы не было бы. Значит
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
нечетное,
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
четное (поскольку двойку зеленое число может содержать только в
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
-й степени). Далее возникает ограничение
![$x \equiv 1,3 \pmod 8.$ $x \equiv 1,3 \pmod 8.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/2/1d24469708c25d8fcacaa9f923c1abd282.png)
И, если нужно совсем точно, предложу следующую формулировку. Выпишем по возрастанию числа, содержащие простые делители вида
![$4k+3$ $4k+3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/5/7d55314c2be03f50a7a9541b74fa21fb82.png)
только в четных степенях:
![$1,2,4,5,8,9,10,13,16,17,18,...$ $1,2,4,5,8,9,10,13,16,17,18,...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/f/aefd1860399b152705c52868553ac93082.png)
OEIS
A001481. Суммы соседних членов в ней, отличных на
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
возвращают последовательность иксов пригодных для нашей задачи:
![$1+2=3,4+5=9,8+9=17,9+10=19,...$ $1+2=3,4+5=9,8+9=17,9+10=19,...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/0/a4052d003bfd13a5538f07649b03668682.png)
и т.д. Она тоже есть в OEIS
A050795. Остальные можно сразу откидывать, но я выпишу пример
![$x_0=199,y_0=30$ $x_0=199,y_0=30$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/1/9c10adf8a3f17973b14b3a9387f141fa82.png)
уж как есть. Да, и важная деталь: в случае четного
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
иксы берутся не по
![$\mod {y^2},$ $\mod {y^2},$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/0/a90305cd9d9aface827ed6488897d6aa82.png)
а по
![$208514=2\cdot 137\cdot 761.$ $208514=2\cdot 137\cdot 761.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/c/45c086cb799f946017922ea20793c23b82.png)
![$\sqrt{208514}=456,\overline{1,1,1,2,1,1,1,912},...$ $\sqrt{208514}=456,\overline{1,1,1,2,1,1,1,912},...$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/b/72b2e47510893c9a3d65bec7510d339a82.png)
Получили зеленое число с четным периодом в
![$8$ $8$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/005c128d6e551735fa5d938e44e7a61382.png)
знаков. Утверждать, что их бесконечно много и любой длины — не возьмусь, это требует доказательства. Но похоже на то.