Докажите что одно из них, квадрат

[rightways]

Про натуральные числа $x,y$ известно, что числа $x(y+1)$ и $y(x+1)$ полные квадраты. Докажите, что одно из чисел $x,y$ есть полный квадрат.

[nnosipov]

rightways
Хе-хе. Этот шедевр мы по косточкам разобрали лет шесть-семь назад. В наиболее извращенном виде он звучит так: докажите, что либо $\gcd{(x,y+1)}=1$, либо $\gcd{(y,x+1)}=1$.

Попозже могу ссылку дать, если сами не найдете.

Upd. Вот topic37895.html Однако, десять лет назад дело было.

[wrest]

$x$ (или $y$) может быть 1,4,8,9,16,25,36,49,64,80,81,100,121,144,288,360,1088,1444,1681,2600,5328,9800,13689...
Этого нет в OEIS! Непорядок...

[Shadow]

wrest в сообщении #1458606 писал(а):

$x$ (или $y$) может быть 1,4,8,9,16,25,36,49,64,80,81,100,121,144,288,360,1088,1444,1681,2600,5328,9800,13689...
Этого нет в OEIS! Непорядок...

Вообще то $(x,y)$ могут быть два последователные члены последовательности:

$a_1=k^2,a_2=4k^4+4k^2, a_n=\dfrac{(a_{n-1}-k^2)^2}{a_{n-2}}$

[kotenok gav]

Shadow в сообщении #1458672 писал(а):

$a_1=k^2,a_2=4k^4+4k^2, a_n=\dfrac{(a_{n-1}-k^2)^2}{a_{n-2}}$

А эта двумерная табличка есть в OEIS?

[Shadow]

kotenok gav в сообщении #1458681 писал(а):

А эта двумерная табличка есть в OEIS?

Не знаю, табличек в OEIS не встречал. Я просто решал более слабое условие: $xy(x+1)(y+1)$ - квадрат. Которое сводится к симетричному относительно 3-х переменных уравнение:

$x^2+y^2+k^2-4kxy-2xy-2kx-2ky=0$

или

$x^2-2(2ky+k+y)x+(y-k)^2$

при фиксираном $k$ спуском легко показать, что наименьшее решение $y=k,x=4k^2+4k$

Ну и дальше пошло, поехало...Но это не решения исходной системы. Там более жестко.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #1458693 писал(а):

Там более жестко.

Наслаждайтесь, господа Я страдал пару месяцев, и выстрадал какого-то крокодила. Это действительно классная задача с богатой историей. Удивительно, но человек, который ее придумал, известен мне по совершенно другим делам. Впрочем, не исключено, что до него ее тоже придумывали.

[rightways]

Shadow
А как свели

$$xy(x+1)(y+1)$$

в квадратное, можете показать?

[rightways]

Оказывается (хотя наверное вы об этом уже знаете) эту задачу можно доказать, через topic136218.html

[Shadow]

rightways в сообщении #1458760 писал(а):

Shadow
А как свели

$$xy(x+1)(y+1)$$

в квадратное, можете показать?

$4xy(x+1)(y+1)=(2xy+x+y)^2-(x-y)^2$ должно быть квадратом, а значит

$(x-y)^2=2k(2xy+x+y)-k^2$ для некоторого целого $k$ Но это тупиковый путь.

Альтеративная формулировка задачи: Не существуют натуральные, свободные от квадратов $a,b$, такие, что уравнения

$aX^2-bY^2=1$

$aX^2-bY^2=-1$

одновременно разрешимы в целых числах. Кажется nnosipov об этом писал...где-то на форуме.

[nnosipov]

rightways в сообщении #1458766 писал(а):

Оказывается (хотя наверное вы об этом уже знаете) эту задачу можно доказать, через topic136218.html

Да, именно такое решение предлагается в книге Andreescu T., Andrica D., Cucurezeanu I. An introduction to Diophantine equations: a problem-based approach. Basel: Birkh äuser, 2010.