2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Докажите что одно из них, квадрат
Сообщение28.04.2020, 14:44 


24/12/13
351
Про натуральные числа $x,y$ известно, что числа $x(y+1)$ и $y(x+1)$ полные квадраты. Докажите, что одно из чисел $x,y$ есть полный квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите что одно из них, квадрат
Сообщение28.04.2020, 16:03 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
rightways
Хе-хе. Этот шедевр мы по косточкам разобрали лет шесть-семь назад. В наиболее извращенном виде он звучит так: докажите, что либо $\gcd{(x,y+1)}=1$, либо $\gcd{(y,x+1)}=1$.

Попозже могу ссылку дать, если сами не найдете.

Upd. Вот topic37895.html Однако, десять лет назад дело было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите что одно из них, квадрат
Сообщение28.04.2020, 16:47 


05/09/16
11416
$x$ (или $y$) может быть 1,4,8,9,16,25,36,49,64,80,81,100,121,144,288,360,1088,1444,1681,2600,5328,9800,13689...
Этого нет в OEIS! Непорядок...

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите что одно из них, квадрат
Сообщение28.04.2020, 19:16 


26/08/11
2055
wrest в сообщении #1458606 писал(а):
$x$ (или $y$) может быть 1,4,8,9,16,25,36,49,64,80,81,100,121,144,288,360,1088,1444,1681,2600,5328,9800,13689...
Этого нет в OEIS! Непорядок...
Вообще то $(x,y)$ могут быть два последователные члены последовательности:

$a_1=k^2,a_2=4k^4+4k^2, a_n=\dfrac{(a_{n-1}-k^2)^2}{a_{n-2}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите что одно из них, квадрат
Сообщение28.04.2020, 19:46 


21/05/16
4292
Аделаида
Shadow в сообщении #1458672 писал(а):
$a_1=k^2,a_2=4k^4+4k^2, a_n=\dfrac{(a_{n-1}-k^2)^2}{a_{n-2}}$

А эта двумерная табличка есть в OEIS?

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите что одно из них, квадрат
Сообщение28.04.2020, 20:32 


26/08/11
2055
kotenok gav в сообщении #1458681 писал(а):
А эта двумерная табличка есть в OEIS?
Не знаю, табличек в OEIS не встречал. Я просто решал более слабое условие: $xy(x+1)(y+1)$ - квадрат. Которое сводится к симетричному относительно 3-х переменных уравнение:

$x^2+y^2+k^2-4kxy-2xy-2kx-2ky=0$

или

$x^2-2(2ky+k+y)x+(y-k)^2$

при фиксираном $k$ спуском легко показать, что наименьшее решение $y=k,x=4k^2+4k$

Ну и дальше пошло, поехало...Но это не решения исходной системы. Там более жестко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите что одно из них, квадрат
Сообщение28.04.2020, 21:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow в сообщении #1458693 писал(а):
Там более жестко.
Наслаждайтесь, господа :-) Я страдал пару месяцев, и выстрадал какого-то крокодила. Это действительно классная задача с богатой историей. Удивительно, но человек, который ее придумал, известен мне по совершенно другим делам. Впрочем, не исключено, что до него ее тоже придумывали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите что одно из них, квадрат
Сообщение29.04.2020, 03:33 


24/12/13
351
Shadow
А как свели $$xy(x+1)(y+1)$$ в квадратное, можете показать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите что одно из них, квадрат
Сообщение29.04.2020, 07:26 


24/12/13
351
Оказывается (хотя наверное вы об этом уже знаете) эту задачу можно доказать, через topic136218.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите что одно из них, квадрат
Сообщение29.04.2020, 09:44 


26/08/11
2055
rightways в сообщении #1458760 писал(а):
Shadow
А как свели $$xy(x+1)(y+1)$$ в квадратное, можете показать?
$4xy(x+1)(y+1)=(2xy+x+y)^2-(x-y)^2$ должно быть квадратом, а значит

$(x-y)^2=2k(2xy+x+y)-k^2$ для некоторого целого $k$ Но это тупиковый путь.

Альтеративная формулировка задачи: Не существуют натуральные, свободные от квадратов $a,b$, такие, что уравнения

$aX^2-bY^2=1$

$aX^2-bY^2=-1$

одновременно разрешимы в целых числах. Кажется nnosipov об этом писал...где-то на форуме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите что одно из них, квадрат
Сообщение29.04.2020, 10:17 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
rightways в сообщении #1458766 писал(а):
Оказывается (хотя наверное вы об этом уже знаете) эту задачу можно доказать, через topic136218.html
Да, именно такое решение предлагается в книге Andreescu T., Andrica D., Cucurezeanu I. An introduction to Diophantine equations: a problem-based approach. Basel: Birkh äuser, 2010.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group