Гравитация на релятивистских скоростях

[Geen]

Что такое $v$ и $1/v$?

[amon]

need_to_learn в сообщении #1590756 писал(а):

Зависимость расстояния от времени как не получалось найти, так и не получается

Продолжаем пример.

$$ \begin{align} v&=\frac{dr}{dt}=\sqrt{2ar}\\ dt&=\frac{dr}{\sqrt{2ar}}\\ t&=\int\frac{dr}{\sqrt{2ar}}=\sqrt{\frac{2(r+\operatorname{const})}{a}}\\ r(t)&=\frac{at^2}{2}+\operatorname{const} \end{align} $$

С константой надо аккуратнее, но идея, я надеюсь, понятна.

[Dedekind]

need_to_learn в сообщении #1590756 писал(а):

Зависимость расстояния от времени как не получалось найти, так и не получается.

Теперь нужно вспомнить, что $v = \dfrac{dr}{dt}$ и выразить его из закона сохранения (вы это уже проделали):

$$v = \sqrt{2C + \dfrac{4\gamma m}{r}} = \dfrac{dr}{dt}$$

где $C$ - константа, которую Вы нашли. А потом решить уравнение разделением переменных:

$$\dfrac{dr}{ \sqrt{2C + \dfrac{4\gamma m}{r}}} = dt$$

$$t = \int{\frac{dr}{ \sqrt{2C + \frac{4\gamma m}{r}}}}$$

Как я уже писал в начале темы, непонятно, интегрируется ли такое в элементарных функциях. Попробуйте в Wolfram Alpha.

-- 23.04.2023, 13:22 --

amon, а как это у Вас получилось?

amon в сообщении #1590765 писал(а):

$$ \begin{align} v&=\frac{dr}{dt}=\sqrt{2ar}\\ \end{align} $$

Это же только при падении в постоянном $g$.

-- 23.04.2023, 13:32 --

amon, прошу прощения, не понял, что это другой пример:)

[need_to_learn]

amon

Простите, немного не понял, это Вы разобрали сейчас случай для равноускоренного движения? И задумка, видимо, в том, чтобы я по аналогии додумался найти неопределённый интеграл

$$t = \int \left( 2 \sqrt{ \dfrac{\gamma m (r_0 - r)}{r_0r}} \right)^{-1}dr$$

Я боялся, что будет нечто подобное. :) Если так, то "на этом мои полномочия всё, исчерпаны". :) Разве что, действительно, в Wolfram Alpha попробовать.

[amon]

need_to_learn в сообщении #1590773 писал(а):

И задумка, видимо, в том, чтобы я по аналогии додумался найти неопределённый интеграл

$$t = \int \left( 2 \sqrt{ \dfrac{\gamma m (r_0 - r)}{r_0r}} \right)^{-1}dr$$

Именно так. Я в Вас верю ;) Только интеграл там определенный - от начальной точки к конечной.

[Red_Herring]

Dedekind в сообщении #1590770 писал(а):

Как я уже писал в начале темы, непонятно, интегрируется ли такое в элементарных функциях.

Разумеется, интегрируется, $\int \sqrt\frac{r}{r+B}}\,dr$ заменой "подкоренное выражение$=z^2$" Вот если б угловой момент был ненулевым, но даже и в этом случае определенный интеграл от перигея до апогея вычислялся бы.

[wrest]

need_to_learn в сообщении #1590773 писал(а):

Если так, то "на этом мои полномочия всё, исчерпаны". :) Разве что, действительно, в Wolfram Alpha попробовать

Ну вы ж всё-таки не на экзамене, вольфрам подойдёт, и численно тоже подойдёт если невмоготу будет.

И у вас впереди ещё падение шара на прут :)
А потом, если повезёт, падение двух шаров на прут.

Не забудьте, что вам надо определиться, что вы будете брать за конечную точку -- будете ли учитывать конечный размер шаров (и потом, прута).

[wrest]

need_to_learn
Ну как вы там, посчитали? Минут за 10 упадут?

[need_to_learn]

wrest

Пока было немного не до этого. Возможно, вернусь к этой задаче позже, в свободное время. Хочется всё-таки узнать, что там произойдёт с этими шарами. :)

Кстати, мне кажется, Ваше замечание насчёт того, что наличие прута ускорит сближение шаров, будет не верно в случае, если шары летят строго друг за другом по прямой, параллельной пруту. В этом случае прут, конечно, будет притягивать их к себе, но на скорость их сближения это никак не должно повлиять.

[wrest]

need_to_learn в сообщении #1590990 писал(а):

Кстати, мне кажется, Ваше замечание насчёт того, что наличие прута ускорит сближение шаров, будет не верно в случае, если шары летят строго друг за другом по прямой, параллельной пруту.

Ну на первый взгляд кажется, что в такой конфигурации приливное ускорение в направлении шар-шар нулевое, да.