ВТФ Доказательство клёвое весеннее

[Rak so dna]

Elfhybr вы же осознаёте, что моё $K(\varepsilon)$ это ваше $C(k)$ ? Допустим, ABC гипотеза доказана. На каком основании вы полагаете $C(1)=1$ ? Что будете делать, если вдруг $C(1)=10^{10^{10^{83}}}$ ?

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589995 писал(а):

Elfhybr вы же осознаёте, что моё $K(\varepsilon)$ это ваше $C(k)$ ? Допустим, ABC гипотеза доказана. На каком основании вы полагаете $C(1)=1$ ?

Так вот же ещё раз повторю:

Elfhybr в сообщении #1589987 писал(а):

Одна из слабых, но важных формулировок гипотезы утверждает, что для k=1 константа C(k) тоже равна 1

Эта одна из слабых формулировок гипотезы, которую нужно доказать.В этом всё и дело. Если докажут, то

Rak so dna в сообщении #1589995 писал(а):

Что будете делать, если вдруг $C(1)=10^{10^{10^{83}}}$ ?

делать ничего не будут, так как для этого случая константа C(k) тоже равна 1 и никак не может равняться ничему другому в том числе $C(1)=10^{10^{10^{83}}}$

Разве не так?

[Rak so dna]

Elfhybr слабая гипотеза должна следовать из сильной. Проверьте это.

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589999 писал(а):

Elfhybr слабая гипотеза должна следовать из сильной. Проверьте это.

Что я должен проверять? Вы не согласны с такой формулировкой одной из слабых abc-гипотез?
Так напишите, как она должна выглядеть по вашему мнению. И почему из вашего варианта не следует доказательство ВТФ для 6 степени и выше?

[Rak so dna]

Elfhybr в сообщении #1590002 писал(а):

Что я должен проверять?

то, что ваша "слабая ABC гипотеза" следует из классической.

Elfhybr в сообщении #1590002 писал(а):

Вы не согласны с такой формулировкой одной из слабых abc-гипотез?

Да, не согласен.

Elfhybr в сообщении #1590002 писал(а):

Так напишите, как она должна выглядеть по вашему мнению.

Существует постоянная $K$, при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел $a,b,c$, таких, что $a+b=c$, выполняется неравенство $\max(|a|,|b|,|c|)\leq K\cdot\left( rad(abc)\right)^2$

Elfhybr в сообщении #1590002 писал(а):

И почему из вашего варианта не следует доказательство ВТФ для 6 степени и выше?

Уже дважды писал.

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1590006 писал(а):

Уже дважды писал.

Ну что делать, извините, уж очень привлекательный вариант разместили в сети наши доморощенные математики в журнале soulmaths.

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589051 писал(а):

Нет, из нее следует, что ВТФ верна для всех достаточно больших степеней.

А вот эту вашу фразу как понимать? Всё-таки верна для всех без исключения достаточно больших степеней? Достаточно большие степени, есть какая-то примерная оценка?

[Rak so dna]

Elfhybr все ваши вопросы говорят о том, что вы не в силах самостоятельно разобраться в той тривиальщине, что я тут понаписал. Вы мечетесь между высказываниями участников форума и фразами из интернета и литературы не понимая их.

Пусть ABC гипотеза верна и (в ваших терминах) $C(1)=10^{10^{10^{83}}}$, оцените, при каких значениях показателя степени будет справедлива ВТФ в этом случае.

Пока вы сами не решите эту простую задачку, нет смысла что-либо вам отвечать.

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1590099 писал(а):

Elfhybr все ваши вопросы говорят о том, что вы не в силах самостоятельно разобраться в той тривиальщине, что я тут понаписал. Вы мечетесь между высказываниями участников форума и фразами из интернета и литературы не понимая их.

Хорошо, вы можете прокомментировать вот эту статью из электронного математического журнала:https://soulmaths.media/openabc?

[Rak so dna]

Elfhybr нет, не хорошо. Давайте так, вы (только сами) решаете предложенную задачу:

Rak so dna в сообщении #1590099 писал(а):

Пусть ABC гипотеза верна и (в ваших терминах) $C(1)=10^{10^{10^{83}}}$, оцените, при каких значениях показателя степени будет справедлива ВТФ в этом случае.

И только после этого я отвечу на ваши вопросы, если они ещё останутся. Ибо не хочу впустую содрогать и без того раздувшиеся поля этой темы.

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1587132 писал(а):

Antoshka в сообщении #1587085 писал(а):

а правая максимум $\frac{2\sqrt{r_1}}{r_1^2/9}$

это было бы верно, будь $r_2\geqslant\frac{r_1^2}{9}$, у вас же

Antoshka в сообщении #1587085 писал(а):

выполняется оценка $r_1\geqslant\frac{r_2^2}{9}$

-- 28.03.2023, 08:48 --

(Оффтоп)

Интересно, а существует ли на сегодня хоть какое-то элементарное доказательство ВТФ для третьей степени?

И опять вы правы. В силу леммы 2 $r_1\geqslant r_2^2/9;$Теперь можно рассмотреть случай, когда поставленное мною условие $r_2\geqslant r_1^2/9$ не выполняется, то есть имеет место неравенство $r_2\leqslant r_1^2/9;$
В этом случае нужно взять уже упомянутый корень $T+\frac{2}{3}=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}}+\frac{\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}}{r_2}$ и восстановить по нему уравнение, корнем которого он является! Это делается возведением обеих частей равенства в куб по принципу для правой части сумма кубов плюс утроенное произведение, помноженное на сумму! А в левой можно так и оставить куб суммы! Итак, получится уравнение относительно $T+\frac{2}{3}$ вида $(T+\frac{2}{3})^3=\frac{r_1^3}{r_2^3(r_4+ir_5\sqrt{r_6})}+\frac{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}{r_2^3}\Rightarrow (T+\frac{2}{3})^3=\frac{r_1^3(r_4-ir_5\sqrt{r_6})}{r_2^3(r_4^2+r_5^2r_6)}+\frac{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}{r_2^3}$\Rightarrow r_2^3(T+\frac{2}{3})^3=2r_4+3r_1r_2(T+\frac{2}{3});\eqno[17]$
Вот как видно получилось кубическое уравнение относительно неизвестной u, по определению равной $u=r_2(T+\frac{2}{3})$! Как видите, не зря я составлял систему уравнений в начале, вот ссылка на неё

Antoshka в сообщении #1586528 писал(а):

Действительно, в правильном виде система выглядит так

$$\left\{ \begin{array}{lcl} r_5+r_2^3R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=0 \\ r_5R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)+r_4R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=0 \\ \end{array} \right.\left\{ \begin{array}{lcl} r_1^3-r_2^3R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)r_4+r_2^3R_2r_5\sqrt{r_6}(3R_1^2-R_2^2R_3)\sqrt{R_3}=0 \\ r_4-r_2^3R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)=0\\ \end{array} \right.$$

потому что она помогла получить уравнение $\eqno[15]$ вида $r_1^3-r_4^2-r_5^2r_6=0$ которое только что пригодилось!
Сейчас будет наглядно видно, зачем я записывал систему $\eqno[16]$ и для чего я записал условие $r_4>0$

Antoshka в сообщении #1586528 писал(а):

То есть $j_1,j_2$ с учётом всего написанного выше принимают вид такой

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt{r_1}\big(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}}}\big)}\\ j_2=\frac{\sqrt{r_1}\big(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}}}\big)}{r_2} \\ Arg(r_3)=\arccos{\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}} \ \ \eqno[16] \end{array} \right.$$

К уравнению $\eqno[17]$ надо будет ещё вернуться, а пока надо понять, чему равны $k_1,k_2;$ дабы сделать изложение короче, я сразу напишу, что $k_1=k_2=0;$ то есть корни уравнения $\eqno[17]$ при условии, если его переписать относительно $T$, имеют вид такой
$\left\{ \begin{array}{lcl} T=-\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{r_1}}{r_2}(\cos{\frac{\varphi}{3}}\pm\sqrt{3}\sin{\frac{\varphi}{3}})\\ T=\frac{-2}{3}+2\frac{\sqrt{r_1}}{r_2}\cos{\frac{\varphi}{3}}\\ \varphi=\arccos{\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}}\\ r_4>0 \end{array} \right.$ Давайте я дальше буду писать просто $\varphi$, а то все время $\arccos$ писать неудобно. Да, в случае $r_{60}<0$ у уравнения $\eqno[17]$ получается три действительных корня, но в одном из своих предыдущих сообщений, вот ссылка на него https://dxdy.ru/post1585844.html#p1585844, я показал, что на самом деле надо брать корень, который является корнем линейного уравнения вследствие разложения уравнения $\eqno[17]$ согласно следствию из основной теоремы алгебры, ну то есть говоря простыми словами, для случая $r_{60}<0$ надо брать тот же самый корень, что и в случае $r_{60}>0$, правда я это показал для уравнения $\eqno[17]$ относительно $T$ с километровыми коэффициентами, как выразился mihaild, но тем не менее. Ну а раз так, то сразу понятно, какой корень нам нужен. Вот он $T=\frac{-2}{3}+2\frac{\sqrt{r_1}}{r_2}\cos{\frac{\varphi}{3}};$ Проверку же корней в том смысле, что удовлетворяют ли они уравнению $\eqno[17]$ можно осуществить методом неопределённых коэффициентов! Таким образом, действительно, оказалось, что $k_1=k_2=0;$ Теперь возникает вопрос, что делать дальше с этим корнем $T;$ Раз я его записал в тригонометрической форме, то ясно, что речь далее пойдёт про тригонометрию. Теперь кстати понятно думаю, почему я задал условие $r_4>0$ в самом начале. Вот цитата

Antoshka в сообщении #1586528 писал(а):

Теперь находим $Arg(r_3);$ вообще говоря, он может принимать разные значения в зависимости от того, каким является $r_4$, положительным или отрицательным! Пусть будет $r_4>0;$ тогда раз $r_5$ по лемме 2 положительное, то $Arg(r_3)$ принадлежит первой четверти!

Идея состоит в том, чтобы составить ещё одно уравнение прямо из уравнения $\eqno[17]$ и вывести противоречие, исследуя корни этого уравнения! При этом используя соотношения для $r_i$ из леммы 2. Вот ссылка на неё

Antoshka в сообщении #1583842 писал(а):

Лемма 2. Корень такой $\cos\gamma=j_1+j_2-\frac{2}{3}$, где

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\ j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2} \ \ \eqno[10]\\ \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{lcl} r_1=16\sqrt[6]{7a}^2h_2^2+21(2a-FD)^2FD^3,\\ r_2=12\sqrt[6]{7a}h_2,\\ r_3=r_4+r_{50}\sqrt{r_{60}} \end{array} \right. $$

Кроме того,

$$\left\{ \begin{array}{lcl} r_4=64\sqrt[6]{7a}^3h_2^3-63\sqrt[6]{7a}(2a-FD)^2FD^2(3(2a-FD)F^5+h_2D),\\ r_{50}=3(2a-FD)D,\\ r_{61}=-21F(49(2a-FD)^4F^2D^7+128\sqrt[6]{7a}^4h_2^3((2a-FD)F^5+h_2D))\\ r_{62}=21F(7\sqrt[6]{7a}^2(2a-FD)^2FD^2(27(2a-FD)^2F^{10}+18(2a-FD)F^5h_2D-13h_2^2D^2))\\ r_{60}=r_{61}-r_{62}\\ \end{array} \right.$$

Доказательство С помощью компьютера, программа wolfram mathematica

Итак, сначала записываем равенство $2\cos\frac{\varphi}{3}\cos{\varphi}=\cos\frac{4\varphi}{3}+\cos\frac{2\varphi}{3}\Rightarrow 2\cos\varphi\cos\frac{\varphi}{3}=\cos\frac{4\varphi}{3}-2\sin^2\frac{\varphi}{3}+1;$ Как видите, получилось квадратное уравнение относительно $\sin\frac{\varphi}{3}=\sqrt{\frac{-2\cos{\varphi}\cos\frac{\varphi}{3}+\cos\frac{4\varphi}{3}+1}{2}};\eqno[18]$ Это значит, что надо найти $\cos\frac{\varphi}{3},\sin\frac{\varphi}{3}$, чтобы иметь возможность записать $\sin\frac{\varphi}{3};$ Делается это просто: косинус выражается из ранее полученного равенства $T=\frac{-2}{3}+2\frac{\sqrt{r_1}}{r_2}\cos{\frac{\varphi}{3}};$ А синус находится с помощью косинуса через основное тригонометрическое тождество. То есть получится, что $T=\frac{-2}{3}+2\frac{\sqrt{r_1}}{r_2}\cos{\frac{\varphi}{3}}\Rightarrow \cos{\frac{\varphi}{3}}=\frac{(T+2/3)r_2}{2\sqrt{r_1}}\Rightarrow \sin{\frac{\varphi}{3}}=\frac{\sqrt{4r_1-(T+2/3)^2r_2^2}}{2\sqrt{r_1}};$
А как найти $\cos\varphi, \sin\varphi$? Ну раз угол $\varphi$ известен, то опять же через тригонометрическое тождество с использованием уравнения $\eqno[15]$! Получится $\cos\varphi=\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}\Rightarrow \sin\varphi=\sqrt{1-r_4^2/r_1^3}=\frac{r_5\sqrt{r_6}}{r_1\sqrt{r_1}};$
Объединим только что полученные соотношения в одну систему, обозначая их как $\eqno[19]$

$$\left\{ \begin{array}{lcl} \cos\varphi=\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}\\ \sin\varphi=\sqrt{1-r_4^2/r_1^3}=\frac{r_5\sqrt{r_6}}{r_1\sqrt{r_1}}\\ \sin{\frac{\varphi}{3}}=\frac{\sqrt{4r_1-(T+2/3)^2r_2^2}}{2\sqrt{r_1}}\\ \cos{\frac{\varphi}{3}}=\frac{(T+2/3)r_2}{2\sqrt{r_1}} \end{array} \right.$$

С их помощью записываем $\sin\frac{\varphi}{3}$ из уравнения $\eqno[18]$, расписав при этом $\cos\frac{4\varphi}{3}=\cos\frac{\varphi}{3}\cos\varphi-\sin\frac{\varphi}{3}\sin\varphi;$
Тогда $-2\cos\frac{\varphi}{3}\cos\varphi+\cos\frac{4\varphi}{3}+1=-\frac{-r_2r_4(T+2/3)}{r_1^2}+\frac{r_2r_4(T+2/3)}{2r_1^2}$ $-\frac{r_5\sqrt{r_6}\sqrt{4r_1-(T+2/3)^2r_2^2}}{2r_1^2}+1=-\frac{r_2r_4(T+2/3)}{2r_1^2}-\frac{r_5\sqrt{r_6}\sqrt{4r_1-(T+2/3)^2r_2^2}}{2r_1^2}+1;$ Теперь есть все необходимое, чтобы записать $\sin\frac{\varphi}{3}$ двумя способами: через соотношения $\eqno[18],[19]$
Получится $(\sin\frac{\varphi}{3})^2=\frac{-r_2r_4(T+2/3)-r_5\sqrt{r_6}\sqrt{4r_1-(T+2/3)^2r_2^2}+2r_1^2}{4r_1^2}=\frac{4r_1-(T+2/3)^2r_2^2}{4r_1};
-r_2r_4(T+2/3)-r_5\sqrt{r_6}\sqrt{4r_1-(T+2/3)^2r_2^2}+2r_1^2=r_1(4r_1-(T+2/3)^2r_2^2);\eqno[20]$
Уравнение $\eqno[20]$ полезно тем, что из него сразу видно, что раз $r_4>0$, то $u^2=(T+2/3)^2r_2^2\geqslant 2r_1;\eqno[21]$
Настала пора наконец составить уравнение, которое приведёт к противоречию. Получается оно из уравнения $\eqno[17]$ его умножением на $(u^3-3r_1u+2r_4)$, где $u=(T+2/3)r_2$, то есть $(u^3-3r_1u-2r_4)(u^3-3r_1u+2r_4)=0\Rightarrow \delta^3-3r_1^2\delta-2(-r_4^2+r_5^2r_6)=0;\eqno[22]$
Здесь $\delta=2r_1-u^2;u=(T+2/3)r_2;$
Уравнение $\eqno[22]$ взялось из того, что если сложить $(u^3-3r_1u-2r_4)(u^3-3r_1u+2r_4)+\delta^3-3r_1^2\delta-2(-r_4^2+r_5^2r_6)$, то с учётом уравнения $r_1^3-r_4^2-r_5^2r_6=0$ получится ноль.
Сколько корней имеет уравнение $\eqno[22]$? Три действительных корня! Смотрите, рассмотрим функцию $f(\delta)=\delta^3-3r_1^2\delta-2(-r_4^2+r_5^2r_6);$ Очевидно, что $f(0)=-2(-r_4^2+r_5^2r_6)=-2(r_1^3-2r_4^2)$ в силу равенства $\eqno[15]$ вида $r_1^3-r_4^2-r_5^2r_6=0;$
Может ли $f(0)<0$?
$f(0)<0\Rightarrow r_1^3-2r_4^2>0\Rightarrow \frac{r_4^2}{r_1^3}<1/2;$ В таком случае $f(-r_1)=4r_4^2>0\Rightarrow$ один из корней уравнения $\eqno[22]$ принадлежит $(-r_1;0)$, но $f(-2r_1)=-2r_1^3-2(r_1^3-2r_4^2)=-4r_1^3+4r_4^2=-4(r_1^3-r_4^2)=-4r_5^2r_6<0$ в силу уравнения $\eqno[15]$ значит ещё один отрицательный корень лежит на интервале $(-2r_1;-r_1)$! Но по теореме Виета произведение корней уравнения $\eqno[22]>0\Rightarrow$ хотя бы один из корней положительный! Можно начинать исследование корней этого уравнения начиная с положительного! Итак, ранее была получена оценка $\eqno[21]\u^2>2r_1\Rightarrow \delta<0$, а так как по определению $\delta=2r_1-u^2$, значит продолжительный корень можно отбросить!
Рассмотрим наибольший отрицательный корень
Раз $\delta\in (-r_1;0)$, это даёт возможность оценить $\frac{r_4^2}{r_1^3}$ сверху и вывести противоречие! Вернёмся в самое начало к уравнению $T+\frac{2}{3}=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}}+\frac{\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}}{r_2};$
Его можно рассмотреть как квадратное относительно $t=\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}$! Его дискриминант $D_t=-(4r_1-u^2)\Rightarrow(T+2/3)=\frac{\sqrt{4r_1-\left\lvert D_t\right\rvert}}{r_2};$ Но $\left\lvert D_t\right\rvert=\delta+2r_1\Rightarrow \left\lvert D_t\right\rvert\in (r_1;2r_1);\eqno[23]$
Теперь пользуемся оценкой $\eqno[23]$ и записываем $T+2/3\geqslant 2/3$, так как $T\geqslant 0$, как показал mihaild, значит $\frac{\sqrt{3r_1}}{r_2}\geqslant 2/3\Rightarrow r_2\leqslant \frac{3\sqrt{3}\sqrt{r_1}}{2};\eqno[24]$
Из соотношений леммы 2 имеем, используя оценку $[24]$ $r_4\leqslant \frac{r_2^3}{27}\Rightarrow \frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{8};\eqno[25]$
Теперь надо составить ещё одно уравнение с помощью уравнения $\eqno[17]$, подставив в него $u>0, u=\sqrt{4r_1-\left\lvert D_t\right\rvert};$ В результате получится два уравнения относительно $\left\lvert D_t\right\rvert$! Об этом в следующем сообщении

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1590270 писал(а):

И только после этого я отвечу на ваши вопросы, если они ещё останутся. Ибо не хочу впустую содрогать и без того раздувшиеся поля этой темы.

Действительно, давайте, закончим нашу дискуссию, не буду больше отвлекать ваше внимание своими незрелыми вопросами, тем более автор поста вернулся!

[Elfhybr]

Antoshka в сообщении #1590631 писал(а):

С их помощью записываем $\sin\frac{\varphi}{3}$ из уравнения $\eqno[18]$, расписав при этом $\cos\frac{4\varphi}{3}=\cos\frac{\varphi}{3}\cos\varphi-\sin\frac{\varphi}{3}\sin\varphi;$
Тогда $-2\cos\frac{\varphi}{3}\cos\varphi+\cos\frac{4\varphi}{3}+1=-\frac{-r_2r_4(T+2/3)}{r_1^2}+\frac{r_2r_4(T+2/3)}{2r_1^2}$ $-\frac{r_5\sqrt{r_6}\sqrt{4r_1-(T+2/3)^2r_2^2}}{2r_1^2}+1=-\frac{r_2r_4(T+2/3)}{2r_1^2}-\frac{r_5\sqrt{r_6}\sqrt{4r_1-(T+2/3)^2r_2^2}}{2r_1^2}+1;$ Теперь есть все необходимое, чтобы записать $\sin\frac{\varphi}{3}$ двумя способами: через соотношения $\eqno[18],[19]$

Вы уверены, что ваше доказательство проще чем у Уайлза?)

[Antoshka]

Elfhybr в сообщении #1590678 писал(а):

Вы уверены, что ваше доказательство проще чем у Уайлза?)

Конечно. Я использую только математику первого курса технического университета, а именно комплексные числа, формулу Кардано и теорию пределов

[Elfhybr]

Antoshka в сообщении #1590682 писал(а):

Конечно. Я использую только математику первого курса технического университета, а именно комплексные числа, формулу Кардано и теорию пределов

Я восхищаюсь, как вы не путаетесь в хитросплетениях вашего доказательства!